Problème D631. Le tenon et la mortaise
Louis ROGLIANO
Q1 : Tracer à la règle et au compas un triangle équilatéral dont les trois sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.
Q2 : Avec les mêmes instruments, tracer le triangle équilatéral d’aire minimale dont les sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.
Question1: (voir figure)
On prend un pointasur la droite(BC)et on trace la transformée(A′B′)de la droite(AB)par la rotation de centreaet d’angle−60°. (A′B′)coupe la droite(AC)enb. Le transformécdebdans la rotation de centre a, d’angle60° se trouve sur la droite(AB). Le triangleabcest équilatéral.
Question2:
Un triangleabcétant tracé, les cercles circonscrits aux trianglesAbcetBcase coupent enO. Ce pointO appartient également au cercle circonscrit au triangleCbacar les angles de droites(Ob, Oa)et(Ca, Cb)sont égaux.
Les égalités d’angles de droites suivantes(Oc, Oa) = (Ba, Bc) et(Oc, Ob) = (Ab, Ac)montrent que la configuration triangleabcet pointOvarie en restant semblable à elle même. Les angles de droites(cO, ca)et (bO, ba)sont donc constants. Comme(cO, ca) = (BO, Ba)et(bO, ba) = (CO, Ca)il en résulte que le point Oest fixe lorsque avarie sur(BC). O est donc centre de similitude pour tous les trianglesabc. Le triangle d’aire minimuma0b0c0 s’obtient en projetant orthogonalementOsur les côtés du triangleABC.
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