D631. Le tenon et la mortaise

Texte intégral

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D631. Le tenon et la mortaise Problème proposé par Louis Rogliano

Q1 : Tracer à la règle et au compas un triangle équilatéral dont les trois sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.

Q2 : Avec les mêmes instruments, tracer le triangle équilatéral d’aire minimale dont les

sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.

Solution proposée par Paul Voyer:

Q1

Une construction "classique" est la suivante :

On peut lui préférer celle-ci, la position du point P est arbitraire sur AB :

R est l'image de Q dans la rotation P, 60°, P quelconque sur AB.

R est l'intersection de AC et de l'image LL' de BC dans ladite rotation.

On en tire Q par la rotation inverse. D'où le triangle PQR équilatéral.

(On peut aussi échanger les rôles de A et B et obtenir le même triangle PQR).

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Q2

En faisant varier la position de P sur AB, la longueur RP passe par un minimum.

Le lieu du centre de PQR est un segment de droite.

A la position d'aire minimale, les perpendiculaires en P, Q et R à AB, BC et CA

respectivement sont concourantes en Z, c'est le centre instantané de rotation pour PQR de taille quasi stationnaire.

Construction.

A la fin de la construction, les triangles AZB et ACD seront semblables.

1) construction de D, BCD équilatéral 2) projection orthogonale H de C sur AD

je ne montre pas les détails mais on sait faire à la règle et au compas 3) droite HP parallèle à BD

je ne montre pas les détails mais on sait faire à la règle et au compas donne le point P, sommet du triangle équilatéral d'aire minimale 4) droite perpendiculaire à AB en P

5) droite AZ par rotation de AC d'un angle égal à DAB

Donne le point Z, dont les projections orthogonales sur BC et CA sont Q et R.

Z est le transformé de C dans la similitude de pôle A qui transforme AD en AB.

ZP, ZQ, ZR sont respectivement perpendiculaires à AB, BC et CA.

PQ=QR=RP.

Se démontre en complétant la figure avec les homologues de D construits sur AB et AC.

Figure

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Références

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