Licence Sciences et Technologies A Licence 1 Profil MIMP
Second Semestre
Math 22A : Alg`ebre lin´eaire et affine 1
Feuilles d’exercices
2012-2013
http://math.univ-lille1.fr/∼mimp
Chapitre 0. Syst`emes lin´eaires, Pivot de Gauss 1
Chapitre I. Espaces vectoriels 2
1 D´efinition . . . 2
2 Sous-espaces vectoriels . . . 2
3 Familles g´en´eratrices, familles libres, bases . . . 4
4 Op´erations sur des sous-espaces vectoriels . . . 7
4.1 Intersection et somme . . . 7
4.2 Somme directe . . . 8
Chapitre II. Matrices 9 Chapitre III. Applications lin´eaires 11 1 D´efinition . . . 11
2 Image et noyau . . . 12
3 Matrice associ´ee `a une application lin´eaire . . . 14
1
Chapitre 0. Syst` emes lin´ eaires, Pivot de Gauss
Exercice 1. R´esoudre les syst`emes suivants
3x − y +2z = a
−x +2y −3z = b x +2y + z = c
x +y +2z = 5 x −y − z = 1
x + z = 3
Exercice 2. R´esoudre, suivant les valeurs de m : (S1)
mx+ (m+ 4)y = 3
x+ (m+ 1)y = m+ 2 (S2)
mx+ (m−1)y = m+ 2 (m+ 1)x−my = 5m+ 3 Exercice 3. Ecrire les conditions, portant sur les r´eels a, b, c, pour que le syst`eme suivant admet des solutions non nulles ; expliciter ces solutions.
x−a(y+z) = 0 y−b(x+z) = 0 z−c(x+y) = 0
Exercice 4. Soit f l’application deR4 dans lui-mˆeme d´efinie par
f(x, y, z, t) = (x+y+ 2z−t, x+ 2y−2z+ 3t,2x+ 3y+ 2t, x−2y+ 3z+t).
Trouver des conditions surb= (b1, b2, b3, b4) pour que b∈Im(f).
Exercices suppl´ementaires pour plus d’entrainement
Exercice 5. Discuter et r´eoudre suivant les valeurs des r´eels λ,a,b,c,d:
(S)
(1 +λ)x+y+z+t = a x+ (1 +λ)y+z+t = b x+y+ (1 +λ)z+t = c x+y+z+ (1 +λ)t = d
Exercice 6. Discuter et r´esoudre suivant les valeurs des r´eelsλeta:
(S)
3x+ 2y−z+t = λ 2x+y−z = λ−1 5x+ 4y−2z = 2λ (λ+ 2)x+ (λ+ 2)y−z = 3λ+a
3x−z+ 3t = −λ2 Exercice 7. R´esoudre suivant les valeurs deaetµ∈R
x+y+z= 1 ax+by+cz=d a2x+b2y+c2z=d2
Chapitre I. Espaces vectoriels
1. D´efinition
Exercice 1. Dire si les ensembles sont des espaces vectoriels : i) dansR3 : {a, a2, a3)|a∈R}.
ii) dans R3 : {x, y, z)|z=x2+y2}.
iii) dansR[X] : l’ensemble des polynˆomesP de degr´e trois; de degr´e au moins quatre;
v´erifiant P(e) = 1.
iv) l’ensemble des fonctions f: monotones; croissantes;
Exercice 2. Soit R∗+ muni de la loi interne ⊕d´efinie para⊕b=ab,∀a, b∈R∗+ et de la loi externe ⊗ telle que λ⊗a=aλ,∀a∈ R∗+,∀λ∈R. Montrer que E = (R∗+,⊕,⊗) est unR-espace vectoriel.
Exercice 3. On munit R2 de l’addition usuelle et de la loi externe λ(x, y) = (λx, y).
Est-ce unR-espace vectoriel ? 2. Sous-espaces vectoriels
Exercice 4. D´eterminer lesquels des ensembles sont des sous-espaces vectoriels : i) {(x, y, z)∈R3 |x+ 2y= 0};
ii) {(x, y, z)∈R3 |xy = 0}; {(x, y, z)∈R3 : x2−z2 = 0};
iii) {(x, y, z)∈R3 |x−y−2z=x+y+ 2z= 0};
iv) {(a+b, a−2b) |a, b∈R};
v) {(x, y, z)∈R3 : exey = 0};
vi) {(x, y, z)∈R3 : z(x2+y2) = 0};
vii) {(x, y, z, t)∈R4:y= 0, x=z};
viii) {(x, y, z)∈R3:x= 2};
ix) {(x, y)∈R2 :x2+xy >0};
x) {(x, y)∈R2 :x2+xy+y2>0};
xi) {f ∈C(R,R) :f(1) = 0};
xii) {f ∈C(R,R) :f(12) = 1};
xiii) {f ∈C(R,R) :f est croissante}.
2. SOUS-ESPACES VECTORIELS 3 Exercice 5. Parmi les ensembles suivants reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
F1 ={P ∈Rn[X]|P0= 2}; F2 ={P ∈Rn[X]|P0= 0}; F3 ={P ∈R[X]|P(0) = 2}, F4 ={P ∈R[X]|P0+ 2P = 0},
F5 ={P ∈Rn[X]|P est divisible par X(X+ 1)}. F6 ={P ∈Rn[X]|P(X+ 1)−P(X) = 0}. Exercices suppl´ementaires
Exercice 6. Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
1. L’ensemble des fonctions r´eelles sur [0,1], continues, positives ou nulles, pour l’addition et le produit par un r´eel.
L’ensemble des fonctions r´eelles surR v´erifiant limx→+∞f(x) = 0.
L’ensemble des fonctions impaires sur R.
L’ensemble des fonctions sur Rqui sont nulle en 1 ou nulle en 4.
2. L’ensemble des nombres complexes d’argumentπ/4 +kπ, (k∈Z).
3. L’ensemble des points (x, y) de R2, v´erifiant sin(x+y) = 0.
4. L’ensemble des vecteurs (x, y, z) de R3 orthogonaux au vecteur (−1,3,−2).
5. L’ensemble des polynˆomes ne comportant pas de terme de degr´e 7.
L’ensemble des polynˆomes de degr´e exactementn.
3. Familles g´en´eratrices, familles libres, bases
Exercice 7. Les familles suivantes sont-elles g´en´eratrices ? 1. (1,1),(3,1) dansR2.
2. (1,0,2),(1,2,1) dansR3.
Exercice 8. Soient les vecteurs v1 = (1,2,3,4), v2 = (1,−2,3,−4) de R4. Peut- on d´eterminer x et y pour que (x,1, y,1) ∈ Vect{v1, v2} ? pour que (x,1,1, y) ∈ Vect{v1, v2} ?
Exercice 9. Les familles suivantes sont-elles libres ? 1. v1= (1,0,1),v2 = (0,2,2), v3 = (3,7,1) dansR3. 2. v1= (1,0,0),v2 = (0,1,1), v3 = (1,1,1) dansR3.
3. v1= (2,4,3,−1,−2,1),v2 = (1,1,2,1,3,1),v3 = (0,−1,0,3,6,2) dans R6. 4. v1= (2,1,3,−1,4,−1),v2 = (−1,1,−2,2,−3,3),v3 = (1,5,0,4,−1,7) dansR6. Exercice 10. On consid`ere dans Rn une famille libre de 4 vecteurs : (e1, e2, e3, e4).
Les familles suivantes sont-elles libres ? (i) (e1, e3).
(ii) (e1,2e1+e4, e4).
(iii) (3e1+e3, e3, e2+e3).
(iv) (2e1+e2, e1−3e2, e4, e2−e1).
Exercice 11. On suppose quev1, v2, v3, . . . , vn sont des vecteurs ind´ependants deRn. 1. Les vecteursv1−v2, v2−v3, v3−v4, . . . , vn−v1sont-ils lin´eairement ind´ependants ? 2. Les vecteursv1+v2, v2+v3, v3+v4, . . . , vn+v1sont-ils lin´eairement ind´ependants ? 3. Les vecteursv1, v1+v2, v1+v2+v3, v1+v2+v3+v4, . . . , v1+v2+· · ·+vn sont-ils
lin´eairement ind´ependants ?
Exercice 12. Prouver que dans R3, les vecteurs u1 = (2,3,−1) et u2 = (1,−1,−2) engendrent le mˆeme s.e.v. que les vecteurs v1= (3,7,0) etv2= (5,0,−7).
Exercice 13.
a) Pour quelles valeurs du r´eel ale syst`eme suivant est-il libre?
{(1,1,−6,4),(1,−3,2,0),(2, a,2,1)}.
b) Quelles sont les parties libres maximales du syst`eme suivant?
{(1,1,−6,4),(1,−3,2,0),(0,1,−2,1)}.
3. FAMILLES G ´EN ´ERATRICES, FAMILLES LIBRES, BASES 5 Exercice 14.
1. Donner, dansR3, un exemple de famille libre, qui n’est pas g´en´eratrice.
2. Donner, dansR3, un exemple de famille g´en´eratrice, mais qui n’est pas libre.
Exercice 15. DansR4 on consid`ere l’ensembleE des vecteurs (x1, x2, x3, x4) v´erifiant x1+x2+x3+x4= 0. L’ensembleE est-il un sous espace vectoriel deR4 ? Si oui, en donner une base.
Exercice 16.
a) Calculer les coordonn´ees du vecteur (2,3,4,5), puis les coordonn´es de (x1, x2, x3, x4) dans la base {(0,1,2,3),(1,1,−6,4),(1,−3,2,0),(2,3,2,1)}.
b) Donner une base des sous-espaces deR4 d´efinis par les ´equations suivantes:
(i) x+ 2y+z+t= 0 etx−2y−z+t= 0.
(ii) x+ 2y+z+t= 0 etx−2y−3z+ 2t= 0.
c) Donner une base du sous-espace de R4 engendr´e par les vecteurs suivants.
{(1,1,−2,0),(4,1,−6,1),(0,−3,2,1)}.
d) Donner un syst`eme d’´equations pour le mˆeme sous-espace deR4. Exercice 17. Soit
V2 ={(a, b)∈C2 :a−ib= 0}, V3 ={(a, b, c)∈C3 :a+ 2b+c= 0},
V4 ={(a, b, c, d)∈C4 :a+ib=b+ic=c+id}.
Montrer queVk est un sous-espace vectoriel de Ck en tant que C-espace vectoriel, et en donner une base.
Exercice 18. Dans l’espace P5 des polynˆomes de degr´e 6 5, on d´efinit les sous- ensembles : E1={P ∈ P5|P(0) =P(1)}, E2 ={P ∈ P5|P0(1) =P(2)}.
Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels et en d´eterminer un base.
Exercices suppl´ementaires Exercice 19.
1. Montrer que les syst`emes : S1 = (1;√
2) et S2 = (1;√ 2;√
3) sont libres dansR consid´er´e commeQ-espace vectoriel.
2. Soient, dansR2, les vecteursu1 = (3 +√
5,2 + 3√
5) etu2 = (4,7√
5−9). Montrer que le syst`eme (u1, u2) est Q-libre et R-li´e.
3. Soient les vecteursv1 = (1−i, i) et v2 = (2,−1 +i) dansC2. (a) Montrer que le syst`eme (v1, v2) estR-libre et C-li´e.
(b) V´erifier que le syst`eme S ={(1,0),(i,0),(0,1),(0, i)} est une base de l’e.v.
C2 surR, et donner les composantes des vecteurs v1, v2 par rapport `a cette base.
Exercice 20. SoitEunC-espace vectoriel etS1 = (e1, e2, ..., en) un syst`eme libre dans E,n>2.
1. On consid`ere le syst`emeS2 = (e01, e02, ..., e0n) d´efini par : e0j =Pj
k=1ek,16j 6n.
S2 est-il libre ?
2. On consid`ere le syst`eme S3 = (ε1, ε2, ..., εn) d´efini par : εj =ej+ej+1,16j 6 n−1 et εn=en+e1. Montrer les r´esultats suivants :
(a) S3 libre ⇒S1 libre.
(b) nimpair : S3 libre ⇔S1 libre.
(c) npair : S3 li´e.
Exercice 21.
1. Montrer qu’on peut ´ecrire le polynˆome F = 3X−X2+ 8X3 sous la forme F = a+b(1−X) +c(X−X2) +d(X2−X3) (calculera, b, c, d r´eels), et aussi sous la formeF =α+β(1 +X) +γ(1 +X+X2) +δ(1 +X+X2+X3) (calculerα, β, γ, δ r´eels).
2. SoitP3 l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e63. V´erifier que les ensembles suivants sont des bases deP3 : B1 ={1, X, X2, X3},B2 ={1,1−X, X−X2, X2− X3},B3 ={1,1 +X,1 +X+X2,1 +X+X2+X3}.
Exercice 22. Dans l’espace R4, on se donne cinq vecteurs : V1 = (1,1,1,1), V2 = (1,2,3,4),V3 = (3,1,4,2),V4 = (10,4,13,7),V5= (1,7,8,14). A quelle(s) condition(s) un vecteurB = (b1, b2, b3, b4) appartient-il au sous-espace engendr´e par les vecteursV1, V2,V3,V4,V5 ? D´efinir ce sous-espace par une ou des ´equations.
Exercice 23. Pour quelles valeurs du r´eel ale syst`eme suivant est-il une base deR4? {(0,1, a,3),(1,1,−6,4),(1,−3,2,0),(2, a,2,1)}.
Exercice 24. Compl´eter le syst`eme{(1,−3,2,0),(0,1,−2,1)}en une base deR4. Exercice 25. Donner une base du sous-espace de R4 engendr´e par les vecteurs suiv- ants : {(1,1,−2,0),(4,1,−6,1),(0,−3,2,1)}.
Donner un syst`eme d’´equations pour le mˆeme sous-espace deR4.
4. OP ´ERATIONS SUR DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 7 4. Op´erations sur des sous-espaces vectoriels
4.1. Intersection et somme Exercice 26. Dans R4, on pose
v1 = (1,2,3,4), v2= (2,2,2,6), v3 = (0,2,4,4), v4 = (1,0,−1,2), v5= (2,3,0,1).
SoientF = Vect{v1, v2, v3} etG= Vect{v4, v5}. D´eterminer une base des sous-espaces F∩G, F, GetF+G.
Exercice 27. On consid`ere dans R4, F = Vect{a, b, c} et G = Vect{d, e}, avec a = (1,2,3,4), b= (2,2,2,6), c= (0,2,4,4),d= (1,0,−1,2) ete= (2,3,0,1). D´eterminer des bases des sous-espacesF ∩G,F,G,F+G.
Exercice 28. Dans l’espace P5 des polynˆomes de degr´e 6 5, on d´efinit les sous- ensembles :
E1 ={P ∈ P5 |P(0) = 0}
E2 ={P ∈ P5 |P0(1) = 0}
E3 ={P ∈ P5 |x2+ 1 diviseP}
E4 ={P ∈ P5 |x7→P(x) est une fonction paire}
E5 ={P ∈ P5 | ∀x, P(x) =xP0(x)}.
1. D´eterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1, E2, E3, E4, E5, E1 ∩E2, E1∩E3,E1∩E2∩E3,E1∩E2∩E3∩E4.
2. D´eterminer dansP5 des sous-espaces suppl´ementaires deE4 et de E1∩E3. Exercice 29. SiL, M, N sont trois sous-espaces vectoriels de E, a-t-on :
L∩(M+N) =L∩M+L∩N ? Exercice 30. Soient P0,P1,P2 etP3∈R2[X] d´efinis par
P0(X) = (X−1)(X−2)
2 , P1(X) = X(X−1)
2 ,
P2(X) = 2X(X−2), P3(X) = (X−1)(X−3)
3 .
Exprimer 1, X, X2 en fonction de P0, P1 et P2. On note F = V ect{P0, P1} et G=V ect{P2, P3}. Calculer dimF, dimG, dim(F+G) et dim(F∩G). V´erifier que
dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).
4.2. Somme directe
Exercice 31. Construire un suppl´ementaire du sous-espace deR4 d´efini par les ´equa- tions suivantes : x+ 2y+ 2z+t= 0 et 2y−3z+ 2t= 0.
Construire un suppl´ementaire du sous-espace deR4 engendr´e par les vecteurs suiv- ants : {(1,1,−2,0),(−1,−3,2,1)}.
Exercice 32. On consid`ere dans R4 les vecteurs
v1 = (1,0,0,1), v2= (0,0,1,0), v3= (0,1,0,0), v4= (0,0,0,1), v5 = (0,1,0,1).
1. Vect{v1, v2} et Vect{v3}sont-ils suppl´ementaires dans R4 ? 2. Mˆeme question pour Vect{v1, v3, v4}et Vect{v2, v5}.
Exercice 33. Soient le triplet v1 = (1,2,3,0),v2 = (−1,1,2,1),v3 = (1,5,8,1) et le triplet w1 = (0,3,5,1),w2 = (1,−1,1,0),w3 = (0,0,3,1). On consid`ere les sous- espaces vectorielsF = Vect(v1,v2,v3) etG= Vect(w1,w2,w3). Donner une base des sous-espaces suivantsF, G, F ∩Get F+G.
Exercice 34. On consid`ere dans R3,
Π = vect{(1,1,1),(1,1,−1)} etD= vect{(0,1,−1)}.
Montrer queR3 = Π⊕D.
Exercices suppl´ementaires
Exercice 35. Soit E = Rn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e 6 n. On d´efinit
Ea={P ∈E; (X−a)/P}
pour a ∈ R. Montrer que si a 6= b il existe un couple de r´eels (c, d) tels que 1 = c(X−a) +d(X−b). En d´eduire queE =Ea+Eb, la somme est-elle directe?
Exercice 36. Soit E = ∆1(R,R) et F = {f ∈E/f(0) =f0(0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel deE et d´eterminer un suppl´ementaire de F dans E.
Exercice 37. On d´eigne parE unR-espace vectoriel de dimension finie. Les propri´et´e suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. SoientD1, D2, D3 des droites vectorielles deR3 distinctes deux `a deux. AlorsR3 est somme deD1, D2, D3.
2. SoientF et Gdes hyperplans vectoriels deE. AlorsE 6=F ∪G.
3. SoientP1etP2 des plans vectoriels deEtels queP1∩P2 ={0}. Alors dimE>4.
4. SoientF et Gdes sous-espaces de dimension 3 deR5. AlorsF∩G6={0}.
5. Soit (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4 et F = lin{e1, e3}. Tout sous-espace vectoriel suppl´ementaire de F contiente2.
9
Chapitre II. Matrices
Exercice 1. Dire si les ensembles sont des espaces vectoriels :
i) dans M2 : de carr´e nul; triangulaires (resp. sup´erieures); sym´etriques; v´erifiant (3,4)P = 0; v´erifiant (3,4)P = (5,6); v´erifiant P Q= 0 (Qdonn´ee dansM2).
ii) dans L2 : de carr´e nul; v´erifiant f(5,4) = 0; v´erifiant f(5,4) = (3,6); v´erifiant gf = 0 (g donn´ee dansL2).
Exercice 2. Soit E le sous ensemble deM3(R) d´efini par
E= n
M(a, b, c) =
a 0 c 0 b 0 c 0 a
a, b, c∈R o
.
1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM3(R) stable pour la multiplication des matrices. D´eterminer une base de E et dim (E).
2. Soit M(a, b, c) un ´el´ement de E.D´eterminer, suivant les valeurs des param`etres a, b etc ∈R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverse M(a, b, c)−1 de M(a, b, c).
3. Donner une base de E form´ee de matrices inversibles et une autre form´ee de matrices de rang 1.
Exercice 3. Montrer que F ={M ∈M2(R);tr(M) = 0} est un sous-espace vectoriel deM2(R).D´eterminer une base de F et la compl´eter en une base deM2(R).
Exercice 4. Effectuer le produit des matrices : 2 1
3 2
1 −1
1 1
;
1 2 0 3 1 4
−1 −1 0
1 4 −1
2 1 2
; Exercice 5. CalculerM2, M3, M4, M5 o`u
M =
0 a b c 0 0 d e 0 0 0 f 0 0 0 0
.
Exercice 6. On consid`ere les trois matrices suivantes :
A=
2 −3 1 0
5 4 1 3
6 −2 −1 7
B =
7 2
−5 2
3 1
6 0
et C=
−1 2 6
3 5 7
1. CalculerAB puis (AB)C. CalculerBC puidA(BC).
2. Que remarque-t-on ?
Exercice 7. On consid`ere les deux matrices suivantes :
A=
2 3 −4 1
5 2 1 0
3 1 −6 7
2 4 0 1
, B =
3 −1 −3 7
4 0 2 1
2 3 0 −5
1 6 6 1
1. CalculerAB.
2. CalculerBA.
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 8. Trouver les matrices qui commutent avec A =
1 0 0 0 1 1 3 1 2
. De mˆeme avec A=
a b 0 a
.
Exercice 9. Soit A =
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
. Calculer A2 et montrer que A2 = 2I −A, en d´eduire queA est inversible et calculerA−1.
Exercice 10. Calculer l’inverse de
1 2 1
1 2 −1
−2 −2 −1
.
11
Chapitre III. Applications lin´ eaires
1. D´efinition
Exercice 1. Dire si les applications suivantes sont lin´eaires f1 : (x, y)∈R2 7→ (x−3y, ax+y)∈R2, f2 : (x, y, z)∈R3 7→ (xy,4x, y)∈R3, f3 : P ∈R[X] 7→ aP0+P ∈R[X], f4 : P ∈R3[X] 7→ P0 ∈R2[X],
f5 : P ∈R3[X] 7→ (P(−1), P(0), P(1))∈R3, f6 : P ∈R[X] 7→ P−(X−1)P0 ∈R[X].
Exercice 2. Soient f et g, applications de C dansC, d´efinies par f(z) = ¯z et g(z) =
<(z). Montrer que f etg sont lin´eaires sur C en tant que R-espace vectoriel, et non lin´eaires surCen tant queC-espace vectoriel.
Exercice 3. (exercices compl´ementaires) Dire si les applications suivantes sont des applications lin´eaires :
1. R→R:x7→4x−3.
2. R→R:x7→√ x2.
3. C([0,1],R)→C([0,1],R) :f 7→ {t7→ 1+tf(t)2}.
4. C([0,1],R)→R:f 7→f(3/4).
5. R2 →R: (x, y)7→p
3x2+ 5y2. 6. R2 →R: (x, y)7→xy.
7. R2 →R: (x, y)7→ x+yy si x+y6= 0 et 0 sinon.
8. R[X] → Rn[X] : A 7→ quotient de A par B `a l’ordre n selon les puissances croissantes (B etn fix´e, avecB(0)6= 0).
9. R3 →R:M 7→−−→
OM ·−→ V o`u−→
V = (4,−1,1/2).
10. R→R3:x7→(2x, x/π, x√ 2).
11. R2 →R2: (x, y)7→ la solution du syst`eme d’´equations en (u, v) : 3u−v = x
6u+ 2v = y.
2. Image et noyau
Exercice 4. Pour les applications lin´eaires trouv´ees dans l’exercice 1, d´eterminer les sous-espaces Ker(fi) et Im(fi), en d´eduire sifi est injective, surjective, bijective.
Exercice 5. E1 et E2 ´etant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectorielE, on d´efinit l’application f:E1×E2 →E par f(x1, x2) =x1+x2.
1. Montrer quef est lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image def. 3. Appliquer le th´eor`eme du rang.
Exercice 6. SoitE=Rn[x] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal
`
a n. Pourp6non note ep le polynˆome ep(x) =xp. Soit f l’application d´efinie surE parf(P) =Qavec Q(x) =P(x+ 1) +P(x−1)−2P(x).
1. Montrer quef est une application lin´eaire de E dansE.
2. Calculerf(ep) ; quel est son degr´e ? En d´eduire kerf, Imf et le rang def. 3. Soit Q un polynˆome de Imf ; montrer qu’il existe un polynˆome unique P tel
que : f(P) =Qet P(0) =P0(0) = 0.
Exercice 7. Soit E un espace vectoriel, et u une application lin´eaire de E dans E.
Dire si les propri´et´e suivantes sont vraies ou fausses :
1. Sie1, e2, . . . , ep est libre, il en est de mˆeme deu(e1), u(e2), . . . , u(ep) ? 2. Siu(e1), u(e2), . . . , u(ep) est libre, il en est de mˆeme de e1, e2, . . . , ep ? 3. Sie1, e2, . . . , ep est g´en´eratrice, il en est de mˆeme de u(e1), u(e2), . . . , u(ep) ? 4. Siu(e1), u(e2), . . . , u(ep) est g´en´eratrice, il en est de mˆeme dee1, e2, . . . , ep ? 5. Si u(e1), u(e2), . . . , u(ep) est une base de Imu, alors e1, e2, . . . , ep est une base
d’un sous-espace vectoriel suppl´ementaire de Keru ?
Exercice 8. Donner des exemples d’applications lin´eaires deR2 dansR2 v´erifiant : 1. Ker(f) = Im(f).
2. Ker(f) inclus strictement dans Im(f).
3. Im(f) inclus strictement dans Ker(f).
Exercice 9. Soient : E,F etGtrois sous espaces vectoriels de Rn,f une application lin´eaire de E dans F etg une application lin´eaire deF dansG. On rappelle que g◦f est l’application deE dansGd´efinie parg◦f(v) =g(f(v)), pour tout vecteurv de E.
1. Montrer queg◦f est une application lin´eaire.
2. Montrer que : Ker(g◦f) =f−1(Kerg∩Imf) =f−1(Kerg).
3. Montrer que Ker(f)⊂Ker(g◦f) et Im(g◦f)⊂Im(f).
2. IMAGE ET NOYAU 13 Exercice 10. Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d’un endomorphisme surjectif et non injectif.
Exercice 11. SoitE un espace vectoriel de dimension 3,{e1, e2, e3}une base deE, et λun param`etre r´eel. D´emontrer que la donn´ee de
ϕ(e1) =e1+e2, ϕ(e2) =e1−e2, ϕ(e3) =e1+λe3,
d´efinit une application lin´eaire ϕ de E dans E. Ecrire le transform´e du vecteur x = α1e1+α2e2+α3e3. Comment choisir λpour queϕsoit injective ? surjective ? Exercice 12. E ´etant un espace vectoriel de dimension n sur R, f une application lin´eaire deE dansE, construire dans les trois cas suivants deux applications lin´eaires bijectivesu etv de E dansE telles quef =u−v.
• f est bijective.
• Kerf+ Imf =E.
• f est quelconque.
Exercice 13. Montrer que si p < q il n’existe pas d’application lin´eaire surjective de Rp dansRq. Montrer que siq < pil n’existe pas non plus d’application lin´eaire injective deRp dansRq.
3. Matrice associ´ee `a une application lin´eaire
Exercice 14. Soit h l’application lin´eaire de R3 dans R2 d´efini par rapport `a deux bases (e1, e2, e3) et (f1, f2) par la matriceA=
2 −1 1
3 2 −3
. 1. On prend dans R3 la nouvelle base :
e01 =e2+e3, e02=e3+e1, e03 =e1+e2. Quelle est la nouvelle matriceA1 de h ?
2. On choisit pour base deR2 les vecteurs : f10 = 1
2(f1+f2), f20 = 1
2(f1−f2)
en conservant la base (e01, e02, e03) de R3. Quelle est la nouvelle matriceA2 de h ?
Exercice 15. Soitf ∈ L(R3) de matrice
3 −1 1
0 2 0
1 −1 3
dans la base canonique. D´eter- miner la matrice def dans la base (1,0,−1),(0,1,1),(1,0,1).
Exercice 16. Soit h une application lin´eaire de rang r, de E, espace vectoriel de dimensionn, dansF, espace vectoriel de dimension m.
1. Pr´eciser comment obtenir une base (ei)ni=1 de E, et une base (fj)mj=1 de F, telles queh(ek) =fk pour k= 1, . . . , r eth(ek) = 0 pour k > r. Quelle est la matrice deh dans un tel couple de bases ?
2. D´eterminer un tel couple de bases pour l’homomorphisme de R4 dans R3 d´efini dans les bases canoniques par :
h(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) avec
y1 = 2x1−x2+x3−x4 y2 = x2+x3−2x4
y3 = x1+ 2x2+x3+x4 3. Mˆeme question pour l’applicationf de R3 dans lui-mˆeme d´efinie par :
f(x, y, z) = (2x+y+z,−y+z, x+y).
3. MATRICE ASSOCI ´EE `A UNE APPLICATION LIN ´EAIRE 15 Exercice 17. On d´eigne parR2[X] l’espace des polynˆomes surRde degr´e inf´erieur ou
´egal `a 2. On d´esigne par (e0, e1, e2) la base canonique deR2[X] et on pose p0 =e0, p1 =e1−1
2e0, p2 =e2−e1+1 2e0.
1. Montrer que tout polynˆome deR2[X] peut s’´ecrire de fa¸con unique sous la forme p=b0p0+b1p1+b2p2.
2. Ecrire sous cette forme les polynˆomes : p00,p01,p02,p0,Xp0,p00.
3. Montrer que l’applicationϕ:R2[X]→R2[X] d´efinie par ϕ(p) =Xp0−12p0+14p00 est une application lin´eaire.
(a) Pr´eciser le noyau et l’image de cette application.
(b) Ecrire les matrices de cette application par rapport `a la base canonique (ei);
puis par rapport `a la base (pi).
(c) Ecrire la matrice de passage de la base (ei) `a la base (pi) ; quelle relation lie cette matrice aux deux pr´ec´edentes ?
Exercice 18. Soit f : C → C l’application z 7→ eiθz.¯ On consid`ere C comme un R-espace vectoriel et on fixe la base ε={1, i}.
1. Montrer quef estR-lin´eaire.
2. CalculerA= Mat(f, ε, ε).
3. Existent-ils x et y ∈ C\{0} tels que f(x) = x et f(y) = −y ? Si c’est le cas, d´eterminer un telxet un tel y.
4. D´ecrire g´eom´etriquementf.
5. Soit g : C → C l’application z 7→ eiρz.¯ Calculer A = Mat(g◦f, ε, ε) et d´ecrire g´eom´etriquement g◦f.
Exercice 19. Soit f ∈ L(R3) telle que f3=−f etf 6= 0.
1. Montrer que Ker(f)∩Ker(f2+I) ={0},Ker(f)6={0}et Ker(f2+I)6={0}.
2. Soitx un ´el´ement distinct de 0 de Ker(f2+I).Montrer qu’il n’existe pas α∈R tel que f(x) =αx. En d´eduire que{x, f(x)} est libre.
3. Calculer dim(Ker(f)) et dim(Ker(f2+I)).
4. D´eterminer une baseB de R3 telle que : Mat(f,B) =
0 0 0
0 0 −1
0 1 0
.
Exercice 20. Soient A=
−1 2
1 0
etf l’application de M2(R) dans lui-mˆemeM 7→
AM. Montrer que f est lin´eaire. D´eterminer sa matrice dans la base canonique de M2(R).
Exercice 21. Soient A = 1 1
0 1
et Φ :
(M2(R)→M2(R)
M 7→AM −M A . Montrer que Φ est lin´eaire, d´eterminer sa matrice dans la base canonique; calculer ker Φ et ImΦ.
Exercice 22. SoientP ={(x, y, z)∈R3; 2x+y−z= 0} etD={(x, y, z)∈R3; 2x− 2y+z= 0, x−y−z= 0}.On d´esigne parεla base canonique de R3.
1. Donner une base{v1, v2}de P et{v3}une base de D.Montrer queR3=P⊕D puis queε0 ={v1, v2, v3} est une base de R3.
2. Soitpla projection deR3 surP parall´element `aD.D´eterminer Mat(p, ε0, ε0) puis A= Mat(p, ε, ε).V´erifier A2 =A.
3. Soitsla sym´etrie deR3par rapport `aP parall´element `aD.D´eterminer la matrice Mat(s, ε0, ε0) puis B = Mat(s, ε, ε).V´erifierB2=I, AB=A etBA=A.
Exercice 23. SoientEun espace vectoriel de dimension 3 etϕune application lin´eaire de E dansE telle que ϕ2 = 0 etϕ6= 0. Posons r= rg(ϕ).
1. Montrer que Im (ϕ)⊂Ker (ϕ). D´eduiser-en que r63−r. Calculer r.
2. Soit e1 ∈ E tel que ϕ(e1) 6= 0. Posons e2 = ϕ(e1). Montrer qu’il existe e3 ∈ Ker (ϕ) tel que la famille{e2, e3} soit libre. Montrer que{e1, e2, e3}est une base deE.
3. D´eterminer la matrice de ϕdans la base {e1, e2, e3}.
Exercice 24. Soit f l’application de Rn[X] dans R[X], d´efinie en posant, pour tout P(X)∈Rn[X] : f(P(X)) =P(X+ 1) +P(X−1)−2P(X).
1. Montrer quef est lin´eaire et que son image est incluse dansRn[X].
2. Dans le cas o`u n= 3, donner la matrice de f dans la base 1, X, X2, X3. D´eter- miner ensuite, pour une valeur de n quelconque, la matrice de f dans la base 1, X, . . . , Xn.
3. D´eterminer le noyau et l’image def. Calculer leurs dimensions respectives.
4. SoitQun ´el´ement de l’image def. Montrer (en utilisant en particulier les r´esultats de la deuxi`eme question) qu’il existe un unique P ∈Rn[X] tel que : f(P) =Qet P(0) =P0(0) = 0.
Exercice 25. Soit (e1, e2, e3) une base de l’espace E `a trois dimensions sur un corps K. IdE d´esigne l’application identique de E. On consid`ere l’application lin´eaire f de E dans E telle que :
f(e1) = 2e2+ 3e3, f(e2) = 2e1−5e2−8e3, f(e3) =−e1+ 4e2+ 6e3. 1. Etudier le sous-espace ker(f −IdE) : dimension, base.
2. Etudier le sous-espace ker(f2+IdE) : dimension, base.
3. Montrer que la r´eunion des bases pr´ec´edentes constitue une base de E. Quelle est la matrice def dans cette nouvelle base ? et celle def2 ?
3. MATRICE ASSOCI ´EE `A UNE APPLICATION LIN ´EAIRE 17 Exercice 26. Soit trois vecteurs e1, e2, e3 formant une base de R3. On note T la transformation lin´eaire d´efinie par T(e1) =T(e3) =e3, T(e2) =−e1+e2+e3.
1. D´eterminer le noyau de cette application. Ecrire la matriceA de T dans la base (e1, e2, e3).
2. On pose f1 = e1 −e3, f2 = e1 −e2, f3 = −e1+e2 +e3. Calculer e1, e2, e3 en fonction def1, f2, f3. Les vecteursf1, f2, f3 forment-ils une base deR3 ´e
3. Calculer T(f1), T(f2), T(f3) en fonction de f1, f2, f3. Ecrire la matrice B de T dans la base (f1, f2, f3) et trouver la nature de l’applicationT.
4. On pose P =
1 1 −1
0 −1 1
−1 0 1
. V´erifier que P est inversible et calculer P−1. Quelle relation lie A,B,P etP−1 ?
Exercice 27. Soit f l’endomorphisme de R2 de matrice
2 23
−52 −23
dans la base canonique. Soiente1 = (−2,3) ete2 = (−2,5).
1. Montrer que (e1, e2) est une base deR2 et d´eterminer mat(f, e).
2. CalculerAn pour n∈N.
3. D´eterminer l’ensemble des suites r´eelles qui v´erifient∀n∈N
xn+1= 2xn+2 3yn, yn+1 =−5
2xn−2 3yn.
