UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2015-2016 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Correction du contrˆole Continu du lundi 9 novembre 2015 Question de cours
Soit E un K-espace vectoriel.
Donner la d´efinition et une caract´erisation(la justification de cette caract´erisation n’est pas demand´ee) d’une projection lin´eaire deE dans E.
Exercice 1
1. Donner un exemple d’espace vectoriel E contenant des sous-espaces vec- toriels F, G, H tels que E =F ⊕Gmais H 6= (H∩F)⊕(H∩G).
2. Soit E un espace vectoriel, F, G, H des sous-espaces vectoriels tels que E =F ⊕Get F ⊂H. Montrer queH = (H∩F)⊕(H∩G).
Exercice 2
On consid`ere l’application lin´eaire f de R3 dans R3 dont la matrice dans la base canonique est :
matBcanf =
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
1. Calculer le d´eterminant de cette matrice. En d´eduire quef est inversible.
2. Montrer que F = vect((1,1,1)) est stable par f.
3. D´eterminer le rang de f −id , o`u id d´esigne l’application identit´e de R3 dans R3.
4. D´eterminer une base du noyau de f −id . On noteraG= Ker (f −id ).
5. Montrer que R3 =F ⊕G.
6. D´eterminer la matrice de f dans une base de R3 form´ee de la r´eunion d’une base de F et d’une base de G.
Exercice 3
Soit n ∈Nun entier non nul. On consid`ere la permutation suivante de S2n :
σ = (1 2 3 . . . 2n−1 2n)◦(1 2 . . . 2n−1)◦...◦(1 2 3)◦(1 2).
1. Aucune justification n’est demand´ee dans la r´eponse `a cette question.
Donner la d´ecomposition en produit de cycles disjoints de σ.
2. Montrer que la signature de σ est (−1)n. Exercice 4 Soient a, b, c∈C. On consid`ere le d´eterminant :
D(a, b, c) =
0 a b c a 0 b c a b 0 c a b c 0 .
D´eterminer D(a, b, c). `A quelles conditions ce d´eterminant s’annule-t-il ?
