UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2015-2016 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Correction du contrˆole Continu du lundi 9 novembre 2015
Question de cours
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E.
1. Montrer que a ∈ K est valeur propre de f si et seulement si a est racine du polynˆome caract´eristique de f.
2. Montrer que si f est diagonalisable, alors le polynˆome caract´eristique de f est scind´e.
Exercice 1 Soit P(X) = X4+X3+ 2X2+X+ 1∈R[X]⊂C[X].
1. Montrer queiest racine du polynˆomeP(X) dansC. En d´eduire une autre racine complexe deP.
2. Donner la d´ecomposition de P(X) en produit de facteurs irr´eductibles dans R[X].
Exercice 2
Soient a, b ∈ C avec a 6= 0. On consid`ere l’endomorphisme f de Cn dont la matrice dans la base canonique est :
matcanf =
a+b a . . . a a a+b . .. ... ... . .. . .. a a . . . a a+b
.
1. Calculer l’image du vecteur (1, . . . ,1) par f et en d´eduire une valeur propre de f. 2. D´eterminer le polynˆome caract´eristique de f.
3. Montrer que f est diagonalisable. Donner une base de Rn form´ee de vecteurs propres de f et la matrice de f dans cette base.
Exercice 3
On consid`ere l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base canonique est :
matcanf =
3 1 0
−4 −1 0
4 8 −2
.
1. Montrer que f n’est pas diagonalisable.
2. Montrer que Ker (f−id )⊂Ker (f −id )2, d´eterminer une base (u1) de Ker (f−id ) et la compl´eter en une base (u1, u2) de Ker (f −id )2.
3. Montrer qu’il existe un vecteur propre u3 def tel que B= (u1, u2, u3) forme une base de
R3. Donner la matrice de f dans cette base.
