Devoir sur table n° 4

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Exercice n° 1 (lectures graphiques) – 5,5 points

La courbe ci-dessous représente une fonction ƒ et la droite représente une fonction g.

1. Résoudre graphiquement les équations suivantes :

(i) ƒ(x) = 3 (ii) ƒ(x) = −2 (iii) ƒ(x) = 0 (iv) ƒ(x) = 6

2. Qu’a-t-on déterminé à la question (i) ? Si l’on note a le réel solution de (ii), que représente ƒ(a) ? 3. Résoudre graphiquement l’équation ƒ(x) = g(x).

4. Donner le signe de ƒ(x) suivant les valeurs de x.

5. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

Exercice n° 2 (une courbe bien choisie) – 4 points

Tracer une courbe susceptible de représenter une fonction ƒ dont on donne plusieurs caractéristiques :

• 1 a pour antécédents, par la fonction ƒ, −2 et 1,5 ;

• ƒ(x) = 0 a pour solutions x = 2 ou x = 4 ;

• ƒ(−1) = 2 ;

• −1 est l’image par ƒ de 3 ;

• _ƒ = [−2 ; 4] ;

• la maximum de f sur ƒ est 3 ;

• le tableau de variations (que l’on pourra éventuellement compléter pour s’aider) de ƒ est le suivant :

x 0 3

ƒ(x) 1

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Exercice n° 3 (ensemble de définition et variations) – 7 points

Pour chacune des deux courbes suivantes, indiquer l’ensemble de définition de la fonction associée, puis dresser son tableau de variations :

1.

2.

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Exercice n° 4 (histoires d’inégalités) – 3,5 points

On donne le tableau des variations d’une fonction ƒ :

x −5 −3 0 3 8

ƒ(x) 3

0

1 0

−2 1. Recopier et compléter avec « », « » ou « = » s’il est possible de répondre, ou par une

croix sinon :

ƒ(−1) … ƒ(2) ; ƒ(−3) … ƒ(1) ; ƒ(−1) … 1 ; ƒ(−2) … ƒ(0,5) ƒ(−2) … ƒ(1,5) ; ƒ(4) … ƒ(2) ; 4 … ƒ(−4) ; ƒ(−3) … ƒ(3).

2. Dire, si c’est possible, quel est le maximum de la fonction et quel est son minimum, sur les intervalles suivants :

I1 = [−5 ; 8] ; I2 = [−5 ; 3] ; I3 = [0 ; 8].

Exercice « bonus » n° 4 (maximum par le calcul) – HORS-BARÊME

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = 3(1 − x)² + 2. On veut établir que le fonction ƒ est strictement croissante sur l’intervalle [1 ; +∞[.

1. Recopier et compléter la suite d’opérations suivantes, permettant de passer de x à ƒ(x) :

× (−1) +1 … … …

x −x = ƒ(x)

(dans le désordre, la liste des opérations disponibles est : × (−1) ; ⁺² ; ⁺¹ ; ×3 ; ^carré ) 2. Appliquer successivement ces opérations à l’inégalité a < b pour a et b deux réels de [1 ; +∞[

(on rappelle que la fonction carré inverse l’ordre sur ]−∞ ; 0], autrement si x et y sont deux réels négatifs, x < y x² > y²). 3. Conclure.