HAL Id: inria-00072829
https://hal.inria.fr/inria-00072829
Submitted on 24 May 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Space-Time Adaptive Simulation of Highly Deformable Substances
Mathieu Desbrun, Marie-Paule Cani
To cite this version:
Mathieu Desbrun, Marie-Paule Cani. Space-Time Adaptive Simulation of Highly Deformable Sub- stances. [Research Report] RR-3829, INRIA. 1999. �inria-00072829�
ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--3829--FR+ENG
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Space-Time Adaptive Simulation of Highly Deformable Substances
Mathieu Desbrun Marie-Paule Cani
Caltech iMAGIS
[email protected] [email protected]
No 3829
D´ecembre 1999
TH `EME 3b
#%'&(!)* +-,./%0#123 4356$/5
798:<;>=@?BADCE?BF<G>HIA>J 7K8LH<=M?ONPQ8LA>RM?TS8LJ>=
S8LRU:V?BW0; =X7KY[Z]\^
_a`0bdcfehgiLjQkIl!mnk`OopbdgIkqcrmgIsfi tu`wvdehg!xXy>`Oifohgwm{z|`w}feUj~eh_`wmv
"r 0T[0!VruTVT!rr
Twwrr 0ww¡Vr6U!!6Vw
¢/£0U¤¦¥§¨
©ª«r«ªw!r0!!r(¬®¯°²±ª wV0rT³w¯¯¯´®®]«6w
µ·¶¸w¹wºB»r¼¹½ "rU/0«¾¿«rw0!ÀT«r«rfTÁX¿VÂTV0ÃÄÄ0À«rwVU0ÃÄÅrÃUrrrÃÄVÁ@TrÃU
År6!!6Vw[!rrÁ@ÆÃUrÇÃUÈÅrUr0Éu"rTÊ0Ä'UwUËÅ6!TÍÌVÎÏÎÐÐÑ0ÒÏÎÔÓ@ÕfÖÁX«¾wV×ÁXÄUrØr
ÄL6uU0~ÁÙrÅr6!6VÉ¿±ÚÅrr]ÅrÃU2ÛrÚT0UþUQ!u«rÃwTÛÄ·«6UVÃw~6"0Uܪr0
0!V°ÁX!VwÁXrU![wÈÛÅ62É"¨6VrU06Årwr[!uÈÅ6Ã!ܾ06wÜLÝ60Ü0
rU!V0ÞwU]!LØr«rܪ!r0uª0ؾÅ6wTÅrUrÅrÃU6wßàr«6UVÃUÄ0ár«r!
BÜ0«6V[6T0V!Ur]TEÜ0°Vu«ruU!Ú¾0Ý~00Ë«rwVU!°6°Vu«rÅr!6Ã2VÂTV06VÄÉ
"rÄ0áVâ6rwÚãXÉnÉ×Û«6MVÃwÀÅr>ÜMw¾äà·w~År60rÃU~ÁX~VÁ@TU60ÛÝrÃU
ET«rÃ×â6w]ãXÉnÉ×/r0UrÇ«6UVÃUwu0w¾ä9!rÃT0U60ÉͤËwÝrÃ/rÜÃUÅrw[Ár
6UÜUÅ6ÃL0!uu"0«6/Å6!wÁ@åw!T«6UVÃÅrTU0ÃUÃÄar«rwuaOÜUE6!rÃUw0É
¥ªØVUÜu«rÃUUV/ÅrqÁÔVU~Å6wuÜLUÅ6ÃÞ0rÅr6!6VÉ¿æ~!urÃUÄVf!QrÚ«6UVÃwQ6uâ6Ã0!
BÜ0u06ÃÙ!6rwÁ|!ÅrÃUæÄÉ
ç !V0ß~TrU0ÅèÚ00Éé0Ãw!2ÉnwÅ2¤ÇV¢|ÅrÃÉç r@èªUTrÉÁ@
ê°ëÛì>í!îï ºBð|¸½ ¨ÅrÃU2rVÁXTrÃL£qwV!w6«6UVÃÄ0r«6VVTar«r
ñóòàôdõöw÷"ô"øùhõúXûwü
Unit´e de recherche INRIA Rhˆone-Alpes
655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN (France) T´el´ephone : 04 76 61 52 00 - International: +33 4 76 61 52 00
T´el´ecopie : 04 76 61 52 52 - International: +33 4 76 61 52 52
·#1 ! 5 !"#$ "
1>! 1/5
%0#123E !/5
¸ ½ ç "!«r«å"w!r0!!r«r w!0ÛÅrrQrÅrÜ0ÃÃ"«r«rLr""ÅrÃU[!«rU~0|«r wUVÜ
ET 0UÅÇ w VÁ@TrÃUw02ÃUwŦÃUUÈÛÅrMw0ÉnU 0]wVUVEwnÅrÃU0ªÅrrÑ0ÒÏÎÔÓ@ÕfÖVÎÏÎ
«¾ÅrT«¾ wV×â60]ðVu«¾0u0ÛTTVf!V«rUÈÅrnÅrrËÅr6!6VÉ ±ÚÅr!ÛuÃUÍ!ÅrÃM2¿Ã°T 0MÅ
w w!6ÃÃr ·«6w«6UVÅrÃw 0Ü[Ã0År![ÁX!Vwn0!VDØÃn wÈÅ6 n 0!0É2T0T
Vu«¾0u0¿ÈÛÅ6ÃU!×Á6 0!Û¿!!År ÈÛÅr0ÃUÈÅr"|ÃUªâ6rw!U!V 0U2ÅrE!r 0Tr«r!×Á¾«0År
0ÅrÃU ß|ÃaÄ 0u«6UVÅrÃMaér«r[0°0T«600w«6V¾â6ËÁXÅrrÅr¾ËVu«ruM
0ÚVÂT0VU Ú0Q«r wVUU·wQ0ÃUVÅrÃU0É2w"«6UVÅrÃw~År¾UÜU!0ÛÀ6r6QÃw¿ 0U6~! ªÁ@w
VÁXT6å/Ã0Å2fÃ!/ÈÅ"n0ÃÃw|"0År«0~r6åÃwå 0U6/!rÃw嫾År|TruU!0àÃwå0ÃUVÅrÃU0É|¥
Årª6!Û0¾Ã«6Ú[0u«6ªnÛ 0!UËwÅr·UÈÛÅr0T0Ûª 00Tr a«¾År!År0ªÅrr!rÃU
Åru 0UÈÅra wÈÛÅ6É$#/â626Årr[ÅrqÁÔVu«rÃUUVªVUÜ0rÃÃUÅr06«0T0!ÛÅrrÜLUÅ6ÃM!
VÂT0VÃM[ÅrqÁÔVªÅØT 0UÅ·År~0·T!ÈÅ6ÛQÃwÀ6r0u0Û!ª!ÛÅrÃU ÅTTL 0ÃÛ0rÉ
% ï ¹w¸ í ¼'& ½ ¨ÅrÃU2L£0! VÁ@·rÃw0rÄ 0ua«6UVÅrÃwwr«r!U00u«6"0w!«6VÉ
" #
$ª¡1>#Ù!#$
"rØ«rrÃ0 Ár·r°rrÃÄ'VÁ@·rÃTÅr6!6Vw60«rÅrwDËÃaÁ0ÛKÅr« ÇrOÝ
w«rUÁ~rEÂTVÅrÃİUÅrÃU6¦Ø060r0wÃMU0ÃÃÄÉÚ©rr·ÁXr]UÅrÃUUÁ
fÞ00Å6«rr0ru06%$é®'&LQ³w)(ÀrØrTÍÁ"ÜM!VÅ6aÅr6!6Vw*$é®,+r®L.-(ÙufTL0ÃUa0ÃÄÇ
«6UVÃUÄ0TªrTwÅr60Uu«rÃ×â6wØÃUOݪÁ¿«rÄL!U00ɨÅ6ÇTL0ÃUªU«¾06[rErTÁ@
rÃU¾Å6"wØÁÙÊ0ÄTUTw0É0/BÝÀ0Ü00râ66rE«6!u00"ÜÃÅrwQÁ«rÛÄU0ÃÃUÄÛ6w·Ä0 U
!0E«rÅ6Va]«¾wV×â¡Ú06OÜ"UQr°wÄ·!ʾÉ夦ÛÄØUÃU"Å6Å6ÃUÃÄ]wÈÛÅrUw·]0â6r
6Í!rÃUErUT2É"ruÂTVÅrÃÄÇUÚ6Vww¦ÛĦrEÁXV6u×ÁXÄUrTr]ÛÅr¾0Á~«6UVÃw
Å6wÇÇrwTL0ÃUrEÜÃÅraÁÀrÛ0!UÇT[0«¦Twİ«rÅ6VEÅrr«rwUV!rÃ6rwÁ
r[!ÅrÃMw·¾06wÜL0É
"rM«6«¾0«rw0Û!]T0rLÁX6Vw!r]VÂTV06VÄÝrÃwUrurr·é!ʾÉQ±Úwrw
ÁXErrÃÄ VÁXTrÃÅr6!6Vw0ÀÅrur«rÜuL0Ã"w!V¾wrwwD06OÜUU60«060ÃÄ
Ár·!«6Vuau]w!ÃÅr2É·"rw!·U!V0UÞw6·ÅrTM0ÃÃÄÇ6 ÃL0ÃUÃÄËB£Å6w Årr
UÅrÃUU2°!0]«ruÞ0Vu«rÅr!6ÝrÃwÜUUruÜ006VÉ
13241 576984:!;'6=<?>A@CBDE@GFIHKJML3HN8POQ<K69RS@CBTU:WVN8M6XTU:W;,69BJM:Y84Z
¥(â6!«r«rf!9ÇUÅrÃU[6ÅrULÃUÊ]T0UÃUaUrÅr9 #/ÅrÃ0M ÅrÃU2à 06Ü0ÃUÄÇÅ6w
ÄLÄL6uU00É ¥ â w9U w]·!]06æÄK6 Ü0ÃLVUÄ ÁrËUÅrÃUw\[6ÅrU OÜ0uTÉ
]/0ÄwÃU!UrTÁåÝ~0f0¾r!rw^$׳_+rà³³_(àrÅrËraÜLUÅ6ÃUÞw·ÁåTÊ0!
0ÜÃÜLraU]rÜ0ÃVÄâ60ÃU>É/¤ÇÅrÃUE!r0uwÀVÅrÃMu¾u«rÃ0T0ÛwE[Uu«rOÜVÂTVU06VÄÉ`/BÝÀ0Ü00
ÄLÄ6TU0"wÈÛÅ6U6aÃÃ×V6Urw]ÁXba>0Q!År6!6VwÅ6Ë"Ü0Ä·ÜLU!VÅ6"ÃUUÈÛÅrMr0År2
Å6>2ÚVÃMwÄÉaæ¦rU2#¿ÅrÃ0U'«r«rf!rwrÃÄË66ÃVÃUÃU6ÝÇ6!!VÃwÚ6]ÃUrw
ݰr[Ü 0ÃU0rÝrU°TwÄØÃUu!ÜÉ
¢¿ÛÄU0ÃÃÄ6w·«6UVÃÄ0T~6wÜa¾00 L06!Ü0ÃÄuÅ6wØ ç u«rÅr0§Ú!«rrM0QÁ@rTUr
År6Å6VÅrw År6!6Vw]6]TOÄD0«6!69VfrUÞ0KÜÅ6EÝQwÄc$é®,+r¿®-³w¯)(É9¤Ç0]U
UV0Þ0wÍ0V!rËÇ à!rUÍÁXTÃM>ÉnÉ×ÙUÛT0Ã0u0Û!a6[0!VarÅr Ãr
!r!V 6!r!r°0«rÅrÃMDÁ@!Vw0ÉK"rwØÁ@!VwwÀÃrÅr «r«rÃwDr0]¦!ÃÃÄ
ba>00ÛØ!0Ã0ܰÁX r20r6!L4drwØu0à !Vw ÁX uUVfV«rU60Ü6e$é®,+,(É
¨6Vu°!0Á~«rÅr6VÅ6ÃÀ«6MVÃw0rr]060w wVÃÄàT«rÃUV!ÅrqÁXVwÚ ÉnÉ×2UÅrqÁÔVwÁ
!0ÃMÀâ60ÃUr~0r0!wÛÄTrª«6UVÃUw/ 6wܾ00ØÅ6!wuÁX~ÜLUÅ6ÃUÞ0rrrT6¿Á@"År6!6Vw
!rrT0æÝÀ00Ç!ÃUr"6°ÃUÈÅrUrf$é®!-g(É
æ]«r"Á¡rwUrw!|Áu«rÃU0u0Û!2«¾0qÁ@uUrÚVu«rÃU ÅrÃU6ÙÝ]ª«6MVÃÄL!0 U
r"·w!Ä]!ÊÉih|!ÃUÄ«6VÚwÃÅr2L!6!V0Þ0wØÄurªÅr¾0"6TrÞ0ªÁà«6UVÃw0Å6
¾ªrf0·¾VÁX066>É¿"rUN'qÏÖ6Ò×Ï'IÓ@ÎP!rÅrÃUur~ªÜU!Å6ÃÃÄ[«¾0!V0Üw>ÝrU!ØÅ6Å6ÃÃÄwÅrÃ!ÀuÃU
År¾0!"Á«6UVÃUw~6Å6"ÃrÅrrrUrUuw0Éå"rÛ0!Tª0«UQÃUE×ÂTVÅrÃQ]B£qÅ60
¾0rwVÃÄw«¾6rÃÀÁ@å6!!rÃw>Á6ÃU"6Á@|rVÂTV06VÄaÁ6TÃUÃÉàÃÄr"Årrr
ÁÀrEÅrÃUw°¾06wÜLªrÅr¦r«6!u00!ÚÁ¿0!VËÁX!VwªwÈÛÅrwªÅ6!'ÊUÃÃrw«¾wVUÃÃÄ
r]wÅrÃU!ªrwOÜUÃÄ0«06'ÍrEÅr¾0a6'Þ0Á~«6UVÃww>Ý~0ÃÃ/'r]Û0!'T
0«2É¿æTr0~ÝÀ!r0rªTB£qQVÁXÅrÃU¿ÁÙVÛÜ06Ã>«6UVê!ÄL0·/U/6QrÚ!ÅrÃMwE06OÜ
ÐuÐjÛÐIÌÁX4rVÅr«rÃwÁX!Vw6ªVª0æÝÀ00¦«6!Á/«6UVÃwwÉQ¨«6UÃÙw!ÃÅr°U"â wÅrr
UÅrÃUU606Vu×ÁXÄrª¿VÅrÃUE«rÅ6V!TU6rwÀÁ>rUÅrÃUw¾06wÜL0Éå"rU/wÅrÃ!
!ÅrÃM6À60«6Á@0rErUÛÅrÜ6!u×ÂTVÅrÃ"T0År«2¡ÁÔÁXVÂTV0Û0É
132k lmTU6 BL36=FNno6p@3Rrqs<`:WtK;'JPuG6wvx@i<`6=84Z
¥r«rÜ[u0rLrªUTÄØâ60ÃUrÁ ç u«rÅr0Ú§Ú!«rrM00ÉÀ"r0Ä L«rwraÊ0ÄUwEÁÏÒLÎÕ']ÏÎP
Ój!Ï,yz!ÕfÖ=ÐVÖ6ÎPqÏÎÔÓ@ÖeÕ' ÒÎÏfÎÔÓ@ÕÖÏ,/Ðj{Õ'IÎ}|.rÐqÐuÏÖ A|.ÐVÖÍÖ¾Ð!Ð ÛÐ É"rw!u0rrr«rUÜ0ÃİVâ6r
Uu«rÃ×ÁXÄ]uVÅr0ÛªuL0Ã>°!0]06År[0VÅr!VÄÝrÃ!OÜruVT«rÅr!2É
"rM"0r0!Ãà«6! 6ÃwÄØ¾00Å60Vw!qÁXÅrÃÃÄ]Å6wUØÃU6Ã2ÃÃÅruU6uu0rr0ß/©f
æÄ 6Efrw90T06Å6EVÂTV06VÄD690ÃMrÃæÄ¦ÝUKrU0!!!rU0ÃÃUrT[6uÅr·U0ÃÃÄ
År>ÜLUaVÃÅ60ÅrqÁÔV]«6!!rwa°06!ÅruÜ0Í0VÅr!VÄ'ÃUOÝ Vf $׳w®à®(ÉEÍÜLUÅ6ÃUÞw
Lrrr«rÜÚ«r«rLUTTÁL£qwV!QUQ!r0ÜwTÁX~6!!6VªÄuuwØu«rÃâ¡0]TBÜ0q!u«rÃw
wª6°uwVâ6r0u0rwrÜL0ÝÀ0 $׳¡ ,(É
ç
ÃUf0]ÅrV6V02¡r«rÜÁX!u0ÝÀÊØ6w«6MVÃwQ6000Ü0ÃU«wØÁX"raÛ0q
VÜuu«rÃr6ÍVÛÿÁ"u«rÃUUVÅrqÁÔVw $鮯(É]¥á!0Á~0«rÅrÃUUÜ«6MVÃwV6!rw'!OÄ
]rªU!ÅrqÁXV«rw·!«rUÃÄ]BÜ0QÅr60qu«rÃwØw"ÛÄTr«rrEr0Q!Å6~ÁÙ0«rÅrÃUU2Éå¥"
rØ!u]uàâ¡!66D0Ã06Á«6UVÃwaTÅ6wÍr! rTwwÍ!T«rÃr°06æÄ'
wÈÅrÃrUÅrÉ
"rEÃ0Ü0ÃÁ~0!Ã|«6!«r«ww¦uwV0ÛÃÄÇÇr·%$é)(É/0¾rET«rrÃU0 U
'r«r[u0ÃU[ÝrÃ]06ÅrrÇ6wDÃU0Ü0ÃÀÁ0!Ã~!Ãÿ«r«r TwUÜ0D6DÝÀ0ÃÃ×Vâ6rw
¾06wÜL0É¥ªÇr«rÜ«rÛÄU0ÃÃÄ6wu0ÃàÁXVÁXTrÃa·0UÃUUÅrÃUU°Ý~Ú0Ü0ëwÁ@
6rrÍÜLU!V0ÃMUTVÃUrwz$׳(ÉK"rVÃU"é]6«°MVT«rÅrwKÁ@ ¦T!«rr¦r0ÝÀÊ96
Ã0ÃÃÄØVâ6rwÚÝr0'rrÃ0æÝÀ00ÍæÝÀ°B£V0«rrfª V0wr·Ü0ËrwrÃM>ÉfhrwÇr0Ý
TÚrw>2r]Uu0«'Uª6ÃÜw>2ÝrÃUba>rw!ªÁ~r0UrØ«rUrfªMÚÅrrÃUwKãXrMªÊ00«6r
VÁXTEÝ~OÜ«¾0w/ÚV6!ÛÀÜÃÅrä!É./BÝÀ0Ü00rQT0rLELwråÅ6!06/rÅrqÁXV
Ê00«6~uÃMàÅr60ÃÄLr«rÛÄU0Ãr¾06wÜL¿ÅrrrrTU2É|"rÃ6Ãr·!/!6rwÀOÜ0¿T
0Ü0 ÁQVÃÃM6ÚuwwÍ«r«¾0ÃÄÉu¤Ë0BÜ00år]«rrÃ0 Áu«rÃÁ@ÄLr]6!Ê'rur0æÝÀÊÍÝr0
«¾f!rÃUªU"rªrw!w>É
132 zuG69BuiJM6 >
"rU"«6«¾0«rw0!r«rÜu0r·Á@rUTrÜUVÅ6År6!6Vw"!rr]¾0Ý~00ÇÃMr~6
ÃMÈÛÅrUrwr6ª«rw0Ür0ªÜÃÅruarÅrÚTwİ0«6!Úu0ÃÅrrrT6wɪÅr«r«rf!'0ÃUw
ÍVÁXTrðTL0Ã"ÝrfËVÁXT6]ÇV6!rw9ÛÄÍ!°wÈÅ6 $é(É æuVâ6rwur
T0MÃ|ÝU'ØÃ6Ãå«r«¾0Ħ0f!Ãw!ÁQru«6UÃ|0u«!ÃåwÃUÅr226'ÛÅ6«rBÜUw
LLØÁX!u0Ý~Ê·ÁXr«rÜ[rUT°!!r0TÉ
±ÚÅrr !ÅrÃM2rÍT0°MØu«rÃw ÛÄ «6UVÃw0É¥"!VB0«rÅrÃM Á@!Vw0æÝÀ00
r0 0ÜwTÁ@r!wÈÅ62Å6ÄL0ÃUr[a¾00"«r«rLUT6~ÁÙr!uÚ06OÜ
Ý60Ü0r]!u«rÃUruwÃÅrU2É àL0Ã|â¡!U6ª6ËÁ@Å6!6Á~«6UVÃwÅr·U0ÃÃÄ0r0!w
'!0°«rTÞ0VT«rÅr!'ÝrÃÊ00«rrØ«rw!V¾w¦0VÅr!VÄÉu¥ÚwÅrÃ0>ÁX0ÝÀ0a6'ÃU0
«6UVÃUwQÅ6!w·UØ!rÃUw"ÝrUêVâ6r0T0Û!"0VÅrÝr0r!År6!6VÅr60wVÁXT2É
ͪr0Tr«rÀrU6ÜMÅ6ÃLUu0«uÁ2w!·«6UVÃ[OÜU]6!!rÃwwÉ3hU6ÃÃÄfTVܪÅrqÁXV
u0Ãf6w[u«rÃUVU¡ÁXÅrÃMauLrÃÄVf!Ùr~«6UVÃw0B«rOÜLUr0r66Vw[Ä0VÂTV0Û
ÜLUÅ6ÃUÞw·ÁårarTU2É
"rØ0T60ÁrU«6«00Ü0ë6[ÁXÃÃOÝwß]¨wV®°0ÜL0Ýr·VÁXTr÷uL0Ã~Û
Å6VwË^$é)(É"¨wVË] L06rrUu0Ã2]«6UVÃwÁ/ba>00Û·!w0É¿"r«rrÃ0Á¿r«rÜ0ÃÄ
UV0Þ0r]«6V[6°Uuaw«¾wVÜ0ÃÄ·rww°Ç¨wV6u6LÉQ¨wVs&EwVwÜU!Å6Ã×
ÞwUØÝUVÜu«rÃMVÀÅrqÁÔVÉ¿©wÅrÃU!Q6«0qÁXT6Va«rw0w°Ë¨wV -É~¨wVË
r0ËV6VÃUÅ6wÝØÁXÅrÅraÝÀʾÉ
/$5¡qL+ f3E5¡/ /%0#1>3E !#/
"rUÙwV0ÜL0Ý2rÀ06UÄ6waVÁXTrÃ/u0ërw0Ûw[ $é)(É"rMàrTwrrUÈÛÅrÀÝ~
6!«rw]ÁX ]ÕwÕfÎÐ Ï'IÎÔÓjÐIÌ !'qÕ 'Ö¡Ï'EÓj<ÌI[T0rLTrUÃÃUÄ0Ü0ë¾wuÄT«rÛÄUVM! $鮳(
6600Ë!rOÝwÈÅrÜÃ0Û"TT§ÃU0ÊØâ6r0ÃU0u0Ûu0r°«6V[6u $é¯)(É
k0241 .;':!;'6p6K:W;'JM@3F
¥TVf!V«rM°Vâ6rÁ VÁ@·rÃuL0Ã0 °«rBÜMwÛÄÍ!wÈÅ6 6TOÜ06
r0ÜÃÅrÁÀ ÐIÌÌVÒÐâ60ÃU
P 6UrEÅr6!6VÉ ç 60ÜUÜ[06ÃàÁX!Vw0¾0ÃUÃw«rw!År
ÁX!Vw!åu«r«U6ÃÀr·!0ÛaÁ«rw!!Åre$׳(É·¤ÇfaÁX02|rw]ÁX!Vw[TVrrwÍÝ
U«6ܪÁ@!Vw6u0Ã2Û06Ã2ÁXUV6!UraVÁ@TrÃUÄÉ
æ'!0rUTØÜLU!VÅ6ÚÅr6!6V]6VuwÚ6!ÊǰØV6!!ÛÜÃÅruÝr0'r L06Ã
ÁX!VaU«r«rÃUw>Lr!wÈÛÅ6UË0°a!0c$é)(ß
P = k(ρ−ρ0) ã³ä
"rUa0r0!w[«rw!!År]Á@!Vwa6a06Íw·°w[06UÄ
ρ0 Ýr0 rTVÅr006UÄ
ρ 6
¾wVu¿Lr[ÙLÃOÝÉ|"rÀ«6!u00
k[wÈÛÅ6·ã³ä¾VÛÃMàr~!0r[Á¡06æÄwVOÜ0rr
6°M"ÛÅ66ÃUÅ6T]ba>rw!"«6!u000É
k02k .tN:Cno6X<`J4Z,n B69;,J :!;'JM@GF?>sJP;'H Z)TU@0@C;'HK6=<Qt :WB;'J4no8M6=Z
ª6Vara!!wÈÛÅ6°MQ!006Eu0rLØÁXÅrÃUrraÅr6!6VÅ6¾«rOÜLUw>É¿©r06
UV0Þ0r·!«6Vݦuâ w¦UË6'Å6ÄLr·Ý6 [6BÝÇ6¦ÅrÚÁÀw!'Ü 0Ã|OÜ0uªU
#/ÅrÃU0U«r«rfrw0ÛrN[6ÅrUU|!u«rÃw[ÛÄ[Ú0|Á¡T!0Ã0u0!00ÃÃw]Ì]ÕwÕÎÐ Ï'<ÎÔÓj×Ð<ÌN$鮳®L)(É
¥K«6UVÃ
i0«rw0Û!|Qâ LwaT!
mi
U!rÅrwa«6V¿År6[rÀVÅr0Û«fU
i
Árr¿«6UVÃU
0V!rÇËæTrr°Ê0r0Ã
WhÉ·"r·!urUrØÃU0r
h VÛÃUar· L06 «6VTÁr
T¿UrÅrU2É|"rªÛ0!Ã6Á
Wh wÈÛÅ6ÃU¿[rÁXÀÃÃ
h6 Wh 06r¿r±Ú!0Ã!Á@År6V
Ýr0
h 06ruÞ00rÉ~¥ «¾f!rÃUªwÈÅ6Á@
Wh U"Ü0°°¥ª«r«06ÚÉ
¨TrwË«6UVÃwÅ6wÚ!u«rë¾!ÁXU!V0Þ0UruVÛÅrÅ6ª«rÄL!U0Ãàâ60ÃUr6Ur
År6!!6V>!Å6!ǪT!ª06æÄ6Ë«rw!!Årß""rÜÃÅrwÁ¿rw[â60ÃUrÚ«6UVÃ
i w«¾wVÜ0ÃÄ
0rw
ρj
6
Pj
É h|0ÃU9ÜÃÅrwu0 r0 Ë0ÜÃÅ6wÁ@ rwË!u«rÃUwuTÛÄ«¾u «6V
rÅr¦]¤ËV
ç
ÃT«r«r TU°Áå]VÜÃÅr ãÔ0a¥ª«r«¾06¥[ä!rÄL0ÃUrrß
f( ) =X
j
fjmj
ρj Wh( − j) ã®ä
Ýr0Çr
fj rËu«rðÜÃÅrwEÁ
f T«6UVð«¾f60É ¨uLrw«6UVÃUw]ÃUÍ«rOÜLUË
«r«rL·°Á|raâ60ÃUé"!0Û[ß
∇f( ) = X
j
fjmj
ρj ∇Wh( − j) ãä
¥ª«r«rÃwØ]«rw!År¡ÝÀ[00ÜuãÔ!0a¥«r«¾06 ç ÁX«rLÁ0äåraÁ@ÃÃUOÝrEÄLuu0Uª L«rwØÁ@
«rw!!ÅrÁ@!Vwwr0Á@!Vr]rVwV«r6VU«rÃß
∇P
i =X
j6=i
−mimj Pi ρ2i +Pj
ρ2j
!
∇iWhij ãä
Ýr0
∇iWhij 0rwr·!0ÛÁ
Wh( i− j) !Ê0KÝ w«¾wV[Çr·VL!6waÁ«6UVÃU
iÉ "rw!ÁX!Vw·0 UÛ0«r0w Tr¦År Á«6ÝU!°«r«fU°Á@!Vw· 0w w «6UuÁ
«6UVÃUw0ÉÚ¢|ÝU![ÁX!VwÚTwľ[0Ur0ª0«rÅrÃU!Ü[!VÜ]0V!rØÃL0Ã|06æÄÜÃUÅrw06
ÜrUKÝr0r°U!6V0æÝÀ00 æÝÀÍ«6UVÃUw rV0wr
2hÉK"rw!VB0«rÅrÃUUKUÛ0!V
ÁX!VwÛÅ66År!ÃÃÄ«r«w"ÁX r[!!wÈÛÅ62rU6wÁ|¾0rur!UÃÄ]â w>É
k02 q7FNJMTU:!;'JMFNLU;,HN6p<K69FNZJP;gOVN:CZ6=< TU@i<`698
Ù·«¾0qÁ@T!ÅrÃM2rr[ÜÃÅrT[rMÃÃÄ]0VÅr«rwÄrÅr6!!6VUâ6!0ÅrÃMÃİ!u«rÃw°Ä
«6UVÃUwÁ¿wÈÅ6÷!
miɪ"r022ÚÇÄ«6UVÃÄL!0¡rwÈÛÅ6UÇÁ¿uUÁXw!'«6UVÃU
U"UÛ0!wBÜ0uÉ/¥"wu0«Íß
³É
ç
u«rÅrr0Ý ÜÃÅrw¿Á¾T¿06æÄEÀ«6UVÃw/«¾f6wf0V!ra[wÈÅ6ã®ä|Ý
f ≡ρÉ
®LɱÚwÅ6Va«rw!Åra«6MVëfU6~Á@ r!wÈÛÅ6U ã³ä!É
LÉ ç u«rÅr«rw!ÅraÁ@!VwUÜ0°ÛÄwÈÛÅ6U ãä!É
rÉ¥rr0ÁX!VwÅ6ËÜLU!VfæÄËãÔ0a¥ª«r«06رä~6!wÜLæÄÉ
LÉ0!Tr·wÈÛÅ6 ÁQuU ÁQwD«6MVÃàÉnÉ×|År«¾rT!a0V0Ã0!2嫾0w 6Ír0
«f!·Á@ ra!0Áå«r«rÃUwØÁ@!Vw0É
"rUÚ06æÄÛ6!wËu0ÃÙÅ6ÚwÅrÃ!ªÇÇu«rÃ0u0!ËUuÃU"VÛÜ0ÛU6Ã/«6UVÃ!ÄL0·0É
¥.â Lw'UÇOÜ0a!«6Vu0ÍEÅ6w¦«0qÁX rwwr0!a!w!!2àwÅ6Vr°Vu«rÅr!U¦
ÃUrwaÃruUVfaÝUÍw«wVËruÛÅr0[ÁQ«6UVÃUw $é®,+,(É¿0aruTL0Ã/«rBÜUw[«wVâ¡
ÜÛ!w0ß
• 0!VaÁX!Vwà¾0Ý~00«6MVÃwà~0UÜwÁX !ÀwÈÛÅ6!r0Ù60rªr!ÃÄ
wrwDÛÄDrØÅ6!00É "r!!ØwÈÅ6K«rOÜLUw]ÇTVf!V«rUØw!V«rKÁªrT0MÃ
ÝrU!°MVâ6rwrÅrr0[!u«rÃÚ«6!u00!0ß¿·!06æÄ6ba>rw!0r6ÜM!VfæÄÉ
• "ra¤ËV
ç
Ã]0«r0!Á/¨L¢K/ 06Årw"6!!rÃæÄu6Vww"ÝrÅr¾0Á«6q
UVÃw0Éå¢|UVÃw0Å6¾a00!T«rë!6Mªra·0UÃÉ
• ¨!rÃæÄDV0MËÁXur°0! T!0« !rUVÇ0 0UÜw9Á@ rÍÌ ÐÐ 9ÕSÌVÕÒLÖ
c ÁrØ!ÅrÃMw'T0UÃÝrU!K0«rw0Û!rTÁXw![Ü0ÃVÄ'ÝrU!KËVÁXT TOÄ
«r«6fÉ"¨6V«rwÅrÝ~OÜw«r«6f«0w
c=p∂P/∂ρ $׳(6wÈÅ6 ã³äÀ6Å6Vwwß
c=√
k ãä
# 1¾5 | [¾ !"!#$
¥Úr06!Ä6wDuL0Ã"Lwr0ÃÄ 9ÛÄDÛÄL«rw!U[«6MÃ~0u«¾!Ã~wÃUÅr2¿×Á@
ÁX00Û]«r«r TUDÃ0Ü0ÃMaÁr!uØÅr6!6V°0D¾Ør!rwKÛÄ Uu«rÃÄ'!6rr'rØÛÅr0
Á!urw «6UVÃwØ6 r'ÜÃÅrÇÁ[r'0Ã0u0!Ä T!
miÉ "rU·UØ ·B£qÜ!ÍOÜ0
VÜ0Û6Ã|«6UVÃaÄ0TwÉ`/BÝÀ0Ü00¾Å6ruEÃUaÅr¾0[ãÔ0Ü0!ÃÛÅr6wrVäQÁå!TÃÃ>«6UVÃw
r!uªâ6r0ÀrUTÝ]TÃÃ0u"0«]wÜU]UÜ006VÃwr|ÅrÛ¾w!rÃÅrrrrTÉ
Ù¦ÃUÃ0ÜM]r·Vu«rÅr!6Ã~rÅr!02/ÝÀØ«r«f!·Dr«rUÜuÁX!u0ÝÀÊ'ÁXarÅrÃU'Á
rrÃUÄVÁXTrÃÅr6!6Vw0ÉæÇrUË·0r66Vr·¾Ç0VÅr!VÄÇ6ËVÂTV06VľrUÁ@!u0Ý~Ê
Vu«rÃU00ÃÄ]ÁX0w"rÅ60"Á@rrUÛÅrÜ«¾wV×â¡0ØÁå!«6Va6uÚwÃÅr60É/"r6M
Uw·Uª°r«rÜ0ÃÄËÜLU«6UVÃwªÇw «0U06Vr·rUÇÜU6ªÁÀ«rw!År>ÝrÃUu0Ur
r0Ur¦rwEU9!!rÃØwwÀÝr0°«rw!ÅrUEÃTf[Årr×ÁXÉ "rM«r«rf UÜ0ÄKVÃUf·U
«rUØr[â¡!!wÇ«rVw!Vâ6rw¦\$鮯)(É /ªOÝÀ0Ü00à!6V[Ý~Å6ª0Á@!V«rÛÄU0Ã|ÃUwÝwrU
UªËÃ0r0ba>00Û«rrÃU0É h6ª6!!6V¡uu00Ã0Á¿«6UVÃUwÝÀÅrÃUËr¾a«¾f!rÃU
År0!a6V«6UVÃw"0«rw!0Û·!"0Ã0u0!0É
ÍÅ6 'r«rUÜuÅrÃU2¾r!ÅrÃUæÄÇÁQT0ÝÃÃ|ÃL0ÃUÃİ!6ruBÜ0uɨ6V
«6UVÃUwÁ"ba>00Û·!w6 UÞ0wªÝUÃÃ/ÅrÃ!r0Å6Ãݾ]«rw0Û[Ü0Íu2ru!ÅrÃM
«rVw!Ú6 L06w¦rru0r0Å6«6MVÃÄ0TwɤÇ0OÜ00àÅ6r0Í6r]Çr
År¾0Á«6MVÃw[rÅrÃM r[«rÅ6VØ6!rÃUwÅr·ÇÃL0Ã~ÜM6ÁT!06æÄÉàÃÄ
«6VU!V0UÞw·0rr"¾ªr«rwØÝrÅr"r«rrUuªUV0ÞwuØV6wÈÅr06VL06År
VwV¾06wÜL"6ØOÜU·6!rÃUw0ÉÙ"r0T60QÁÙrUQwVrw!wQrwr0«rrÃ0TwÉ
0241 0JMT K84:!;'JM@GF >eJP;'HI:\@3F %@3TU@3L36=FK69@ Zm:WB;'J4no8M6 O`Z);'69T
ð Mð » &Q¸ ï2ï ¹¡ë º ë &@¸
ç
!ÄT[rªu0áبwVUØ®Ýr0ÚrªuÊ0r0Ã
Wh ÝQÀÅ6wTÁX¿w!Ø«6UVÃÝÀÚrOÝ Å6
!!K96UÜUÅ6Ã~uLrrËÃ0r9¦w!«6UVÃUÉ'æ60w>¿rUETrrÇÃ0r
h rÅrÃUD
0ÃUw]raÜÃÅruÁåT0E«6UVÃ0«rw0!0ß~Á·ÛİTÃþ«6UVÃw[Å6wEÜ0w
0VÅr!0ÃÄU!V0UÞ0a«rw!ÅrÜM60¡'wÈÛÅ60ÃUÄTÃÃ2ÜÃÅr[Á
h Å6¾[Å6w>É ªr0ÝU
r¦«rw!ÅrÇÜUU6uÝÃþËL Å6! â6Ã0w>É ª rËr0Ø66>
h Å6!T¾ËÃUÇ0rÅr
wÚ!u«rÃwÄØÁ@0Ý ÃMa«6UVÃw0ÉQ"rUÃwrur[rUV[Á¿uTrr]ÃU0r
h 6ªÊ00«6r
År¾0Á r0!ÚÅr6°[«6UVÃUª]°«r«r T0ÃÄuV6!!ÛÜÃÅrÉ/¥«6UVÃÚÁÙT!
mi U
ØÅr6!6VÁ¿wª06UÄ
ρ0 0«rw0Û!TÜÃÅruaÁ¿T0
mi/ρ0ÉÚ¨6Vu«6UVÃUU!«rU¡rU
ÜÃÅrTa0°a00Ç]«rr0aÁå!Å6
ri Å660ß
4
3πri3= mi ρ0
ãM&ä
/ª06V6ÝÀ0r[uLrrEÃ0r
hi Áå«6UVÃ
iu]ÜÃUÅrÚ«r«¾6Ãà
ri ß
h=ξq3 mi/ρ0. ã4-Ûä
"rÜÃÅr"Á>rV6!Û
ξ M/!rf0T0V!UrarwÜ0!ªÛÅr0¿Á¾r0Û¾r«6UVÃUwåÝÀÝQÛ
ur!UÅr6°«6UVÃ
iÉ
ï2ï ¹ ภ»¹ ë º
¨6V¦6ÜLUÅ6ÃÊ0r0ÃMØ'Å6w ÁX·w «6MVÃr¦0
Wh Å6w r¦wÈÅ6 Á[«rw!År
ÁX!VwuãXwÈÅ6 ärÅrÃU¦0r0¾0«rÃMVw'ÛĦruuLrr·Ê0r0Ã
Whi Á~r]«rVw!w'«6UVÃU
ØÃ06Ü0ÃÄ9ÛÄrÇÊ0r0ÃU
Whj ÁaU!]r0Û¾!0É Q Ý~wÄØ¦VwV06 ÃwDÜÃÅ6rÃU
0«r0!6QÁàuLrw]«6UVÃw$׳w)(ß|Uurâ6!Q0rfÏÎrÐIÓ@Öu0ruU/Å6!w>LU6Va«6UVÃU
VÃÃUwV!a6 Ý~06VrÅr6[Á@ r0Û¾r«6UVÃUw[0V!rÇ!aBÝ TaUrÅrU
ËrwV6Ç0¾°ÌLÕwÕfÎÔÓMÖ[u0rUÅ6w>¡ÉnÉ×¾]«6UVÃÅrTÝ~0Ûw¦VÛUrÅr6ÁX4r0
«6UVÃUw0É/·År~T«rÃ0u0Û!U2fÝÀVrrªrLr6Tfr0rrÉ¿"rÚ«rw!ÅrªÁX!Vª«r«rÃwTØ
«6UVÃU
iMVâ6rw]årwÜ0!Ár"Ý~Á@!Vw/0ÜwÁX fr0ra6ErUrª0«r0!6
ÁåwÈÛÅ6U ãä!ß
∇P
i =−kmiX
j6=i
mj ρi−ρ0
ρ2i +ρj−ρ0 ρ2j
!∇i(Whiji+Whijj) 2
ãä
"Å60r·0aÁ"r0Û¾r°«6UVÃw
j ÝÍÝrM! ru«6MVÃ
i 0!V!aUrarÃUĦVÃÃwÍÄ
rÞ0·Á
WhiårÅrM[!6!V0UÞ0wDÄß
|| i − j|| < 2 max(hi, hj)ÉrÃUÊu«rÅrØ!rrÇ[«rÅr
fr0rrªrUTÁ@ÅrÃU 6TrÍÜÛ!'Á[0ÁX!Vrª0Ý"ér! ÃMwÝ!rK6ØV
rÅrÃM«r«¾f]wV2É~¥ÃÃ>rar0wÈÛÅ666Å6r[TrrEÊ0r0ÃÙ[uLâ6w·U
ru~ÝQwİãXwÈÅ66ã³³äÙ6°ã®®äàÁXå6!6Vä!ÉÀ¨uÃMÃÄOr"ÁÔV
h EwÈÅ6ã®äàUå0«rÃUVw
Ä (hi+hj)/2É
02k ^J 6 B69F.;'JM:Y8"!*@3F.;,B@38f@3R# 6=FNZJP;O
"r]06æÄÛ6!w¦VÁXTrÃu0Ã0ÜL0ÝÀwÇ ¨wVÍ®TVu«rÅrw'06UÄËÚw!ÍT[0«¦Á@
wÈÅ6 ã®ä!6ÄL0ÃUrrß
ρi =X
j
mjWh( i− j) ã¯ä
~~N