2.2 Principes g´ en´ eraux d’utilisation des m´ ethodes d´ erivatives.

Extraction de contours

1 Introduction.

En g´en´eral, les variations d’intensit´e dans une image correspondent `a des zones pertinentes.

Ces informations sont tr`es importantes pour les op´erations subs´equentes `a cette premi`ere phase.

Pour extraire de l’information de plus haut niveau, on doit d’abord avoir des informations de bas niveau (les contours).

Ces informations correspondent `a des fronti`eres de r´egions homog`enes dans l’image.

2 M´ ethodes d´ erivatives.

2.1 G´ en´ eralit´ es.

Fig.1 – Cas bidimensionnel

Dans le cas bidimensionnel, le vecteur gradient est d´efini au pointM(x, y) par :

−

→∇A(x, y) = ^t µ∂A

∂x.∂A

∂y

¶

−

→∇A(x, y) est normal `a la courbe de niveau donn´ee parA(x, y) =cstequi passe par M. Remarques :

– Le gradient est une d´eriv´ee

– Le laplacien est une d´eriv´ee seconde

Au pointM(x, y) l’orientation Φ du gradient est donn´ee par : Φ =arctan

Ã_∂A

∂y

∂A

∂x

!

et le vecteur unitaire~nnormal au contour :

~n= ^t(cosΦ.sinΦ) L’orientation du contour a pour expression :

θ= Π 2 −Φ

Fig.2 – Orientation du contour

La recherche des maximas locaux et des passages par 0 implique le calcul de d´eriv´ees direc- tionnelles.

La d´eriv´ee premi`ere directionnelle deA(x, y) suivant~n est donn´ee par :

∂A

∂n =−→∇A(x, y).~n=∂A

∂x.cosΦ +∂A

∂y.sinΦ La d´eriv´ee seconde est donn´ee par :

∂²A

∂n² = ∂²A

∂x².cos²Φ + 2. ∂²A

∂x.∂y.cosΦ.sinΦ +∂²A

∂y².sin²Φ Le passage par 0 du laplacien est donn´e par :

4A(x, y) =∂²A

∂x² +∂²A

∂y² Et, selon les directions~net n~⊥ (n orthogonal), on a :

4A(x, y) = ∂²A

∂n² + ∂²A

∂n²_⊥ et

∂²A

∂n²_⊥ =∂²A

∂x².sin²Φ−2. ∂²A

∂x.∂y.cosΦ.sinΦ +∂²A

∂y².cos²Φ

2.2 Principes g´ en´ eraux d’utilisation des m´ ethodes d´ erivatives.

2.2.1 Utilisation du gradient

– Calcul du gradient en chaque point de l’image – Cr´eation de l’image de la norme du gradient

– Extraction des maximas locaux dans la direction du gradient – Seuillage

2.2.2 Utilisation de la d´eriv´ee seconde

– Calcul de la d´eriv´ee seconde dans la direction du gradient

– Recherche du passage par 0 de la d´eriv´ee seconde dans la direction du gradient – Cr´eation de l’image des passages par 0 affect´ee `a la norme du gradient

– Seuillage

2.2.3 Utilisation du laplacien – Calcul du laplacien

– Recherche du passage par 0 du laplacien

– Cr´eation de l’image des passages par 0 affect´ee `a la norme du gradient – Seuillage

Les calculs du laplacien et des d´eriv´ees sont tr`es diff´erents lorsque l’on travaille en binaire. En effet, ils se r´esument `a des diff´erences.

L’´etape la plus dure `a aborder reste le seuillage.

2.3 Op´ erateurs d´ erivatifs du premier ordre

Fig.3 – Rep`eres

Pour une image num´erique, on a :

∂A

∂y =∆A

∆i =Ai[i, j] =A[i+ 1, j]−A[i, j]

∂A

∂x = ∆A

∆j =Aj[i, j] =A[i+ 1, j]−A[i, j]

La norme du gradient est :

|∇A[i, j]|= q

A²_j[i, j] +A²_i[i, j]

ou :

|∇A[i, j]|=max{Aj[i, j], Ai[i, j]}

2.3.1 Op´erateurs Prewitt et Sobel Aj[i, j] =hj∗A[i, j]

Ai[i, j] =hi∗A[i, j]

hj =



 1 0 −1 c 0 −c 1 0 −1



 (1)

hi =



 1 c 1

0 0 0

−1 −c −1



 (2)

Les matriceshj ethi sont appel´ees masques. Elles sont les noyaux de convolution de filtres `a r´eponse impulsionnelle finie.

Pour Prewitt, on prend c = 1. Pour Sobel, on prend c = 2.

Remarque : h∗A[i, j] =

XM

m=−M

XN

n=−N

h[m,1]A[i−m, j−n] =

−MX

m=M

X−N

n=N

h[−m,−n]A[i+m, j+n]

h : noyau de convolution de taille (2M+1)(2N+1) 2.3.2 Op´erateur de Kirsh

C’est un op´erateur `a 8 masques correspondant chacun `a une direction pr´ef´erentielle et obtenue par rotation deπ/4 de l’op´erateur de baseh0.

h0 =



 5 5 5

−3 0 −3

−3 −3 −3



 (3)

ω0 = 1 15



 −3 −3 5

−3 0 5

−3 −3 5



 (4)

ω45 = 1 15



 −3 −3 −3

−3 0 5

−3 5 5



 (5)

ω90 = 1 15



 −3 −3 −3

−3 0 −3

5 5 5



 (6)

ω135 = 1 15



 −3 5 5

−3 0 5

−3 −3 −3



 (7)

2.3.3 Op´erateurs MDIF et NAGDIF

Ces deux op´erateurs sont la combinaison d’un lissage et d’une d´erivation.

a. MDIF : filtre moyenneur + d´erivateur de PREWITT

m =



 0 1 0

1 1 1 0 1 0



 (8)

h0 =



 1 1 1

0 0 0

−1 −1 −1



 (9)

h1 =



 1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1



 (10)

mj = m∗h2=









0 1 0 −1 0

1 2 0 −2 −1

1 3 0 −3 −1

1 2 0 −2 −1

0 1 0 −1 0







 (11)

mi = m∗h1=









0 1 1 1 0

1 2 3 2 1

0 0 0 0 0

−1 −2 −3 −2 −1

0 1 1 1 0







 (12)

Aj=A∗mj(imaged⁰origine) Ai=A∗mi

b. NAGDIF : lissage + d´erivation Lissage : lissage bas´e sur un masque 5x5

D´erivation : contour simax{|B[i, j]−B[i−²1, j−²2]|}> seuil

²1 et²2 sont des valeurs enti`eres comprises entre -1 et 1 et B est l’image liss´ee.

2.4 Op´ erateurs d´ erivatifs du second ordre

Les contours peuvent ˆetre localis´es par le passage par 0 du laplacien.

∆A(x, y) = ∂²A

∂x² +∂²A

∂y² Ce qui donne, en coordonn´ees polaires :

∆A(r,Θ) = ∂²A

∂r² +1 r

∂A

∂r + 1 r²

∂²A

∂Θ² 2.4.1 Op´erateur laplacien sur un voisinage r´eduit

Au voisinage de 3x3, on a :

toto=



 0 −1 0

−1 4 −1

0 −1 0





par approximation dirrecte du laplacien.

2.4.2 Op´erateur de Marr et Hildreth [Marr80]

SoitA(x, y) l’image `a traiter etB(x, y) l’image r´esultat.

MH = lissage par un filtre gaussien g(x,y) + calcul de la d´eriv´ee seconde dans la direction de

~ndu gradient et on recherche le passage par 0.

L’image B sera d´efinie par :

B(x, y) = ∆(A∗g(x, y))

ce qui revient `a appliquer directement sur l’image A(x, y) l’op´erateur ∆g(x, y).

Concr`etement, ∆g(x, y) est approch´ee par la diff´erence de deux gaussiennes : DOG.

DOG(x) = 1

σ√

2πexp− x²

2σ² − 1 σi

√2πexp− x² 2σ²_i σi = σ+∂σ

√2πDOG(x) = 1

σexp− x²

2σ² − 1

σ+∂σexp− x² 2(σ+∂σ)² p2πDOG(x) = ∂σ ∂

∂σ µ1

σexp− x² 2σ²

¶

p2πDOG(x) = − µ 1

σ² −x² σ⁴

¶

exp−x² 2σ²

Or, commeg est gaussienne, µ 1

σ²−−x² σ⁴

¶

exp−x²

2σ² = ∂²g(x)

∂x² 2.4.3 Op´erateur de Huertas [Huer86]

∆g(x, y) = 1 G0

µ

2−x²+y² σ²

¶

exp(−x²+y² 2σ² ) G0est un coeficient de normalisation.

∆g(x, y) =g₁(x)g₂(y) +g₂(x)g₁(y) avec

g1(x) = 1

√2G0

µ 1−x²

σ²

¶

exp−x²

2σ² (gaussienne) g2(x) = 1

√2G0

exp− x²

2σ² (lissage)

Remarque :Dans la pratique, cet op´erateur est un filtre num´erique `a r´eponse impulsionnelle finie (RIF).

2.5 Approche par filtrage optimal

Dans ce paragraphe, le contour est mod´elis´e par un ´echelon d’amplitude U0 noy´e dans un bruit blanc.

2.5.1 Approche de Canny [Canny86]

Filtre optimal de r´eponse impulsionnelleh(x) qui satisfait les trois contraintes suivantes : – Bonne d´etection

– Bonne localisation – R´eponse unique

Soit A(x) un signal mono-dimensionnel repr´esentant un saut d’amplitude U0 noy´e dans un bruit blanc stationnaireN(x²) de moyenne nulle et de densit´e sp´ectraleN_O².

A(x) =U0U(x) +N(x) Le signal de sortie est :

C(x) =A∗h(x) = Z _∞

−∞

A(t)h(x−t)dt

Probl`eme : comment trouver h(x) ? Il faut que C(x) soit maximum au point x=0 en respectant les 3 contraintes pr´ec´edentes.

Bonne d´etection :Le rapport RSB doit ˆetre maximis´e.

RSB= U0

R_∞

0 h(x−t)dt

· E

µ¯¯

¯R_∞

−∞N(t)h(x−t)dt

¯¯

¯²

¶¸¹

2

= U0

R_∞

0 h(x−t)dt N0

hR_∞

−∞h²(t)dt i¹

2

Bonne localisation :Les points d´et´ect´es doivent ˆetre aussi pr`es que possible du centre du contour v´eritable (`a maximiser)

U₀ N0

|h⁰(0)|

hR_∞

−∞h⁰²(t)dti_1/2

Unicit´e de la r´eponse :On utilise le crit`ere de Canny. On veut minimiser la densit´ed0des pasages par 0 de la r´eponse du bruit.

Crit`ere g´en´eralis´e :

d0= 1 π

" R_∞

−∞h⁰⁰²(t)dt R_∞

−∞h⁰²(t)dt

#¹

2

Crit`ere de Canny :

d0= 1 π

" R_M

−Mh⁰⁰²(t)dt R_M

−Mh⁰²(t)dt

#¹₂

h(x) est un RIF d´efini sur l’intervalle [−M, M] Canny a d´efini les conditions aux limites suivantes :

– h(0) = 0 – h(M) = 0

– h’(0) = S (pente `a l’origine) – h’(M) = 0

La fonctionh(x) est solution de l’´equation diff´erentielle suivante : 2h(x)−2λ1h⁰⁰(x) + 2λ2h⁰⁰⁰⁰(x) Solution g´en´erale :

h(x) =a1expαxsinωx+a2expαxcosωx avec

λ2−λ²₁

4 > 0 α²−ω² = λ1

2λ2

4α²ω² = λ²₁−4λ2

4λ²₂