G2966. Une jolie maquette en bois de buis
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui
nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
Solution
La pyramide est composée de
n
niveaux. Vu de dessus chaque niveau est composé de i lignes et de i colonnes.Sur chacune des i lignes le nombre de points de colle est de i-1, de même sur chacune des i colonne, ce qui représente : 2 i(i-1) points de colle.
Ce niveau supporte les boules du niveau supérieur qui sont au nombre de (i-1)². Chacune de ces boules nécessite 4 points de colle.
Donc un niveau génère 2 i(i-1) + 4(i-1)² points de colle, soit
6i²-10i+4
points de colle.La pyramide étant composée de n niveaux, le nombre total de points de colle est de : Nbtot =
∑
𝑛𝑖=1(6𝑖² − 10𝑖 + 4) = n(n+1)(2n+1) – 5n(n+1) + 4n
Nbtot = 2(n
3-n²)
Or le nombre de points de colle est de 30 000, on en déduit que
n=25
Le nombre de boules est de :
Nboules =
∑
25𝑖=1𝑖²
= n(n+1)(2n+1)/6Nboules = 5525
Soit un poids total y compris la colle de : Poids = 5525 *13 + 1175
Poids = 73000 g = 73 kg
Pour déterminer la hauteur de la pyramide, on considère une coupe de la pyramide passant par son sommet et selon une diagonale.
Soit R le rayon de la boule (R= 15 mm)
On constate sur la vue de dessus que le distance entre les centres A et B est de 2R√2.
Le centre K de la boule de niveau supérieur est à une hauteur H par rapport au plan défini par les centres des boules du niveau inférieur :
H=
√𝐴
′𝐾
′2− 𝐴𝐵
2/4
= R√2.La hauteur totale de la pyramide (points extrêmes en bas et en haut de la pyramide) est donc de :
Htot = R + (n-1) R√2 + R = R ((n-1)√2+2)
