Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée

G2966. Une jolie maquette en bois de buis **

Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.

Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30 000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.

Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche)

PROPOSITION Th Eveilleau

Zig a donc obtenu 30 000 points de contact.

Les boules n’ont pas toutes le même nombre de points de contact.

Nous compterons les points de contact de bas en haut étage par étage

--- De manière évidente, le nombre total N de boules est la somme des carrés des n premiers entiers : N = 1² + 2² + ... + n².

C’est donc

--- ANALYSE

.Étage fixé : carré ayant n boules de côté

Nombre de contacts des boules de cet étage entre elles.

Il contient par exemple n² boules.

Le nombre de points de contact avec les boules de ce même niveau est : (n-1) *n + n*(n-1) =2*n(n-1)

Si nous avons une base de côté n, qui donnera donc n étages, nous aurons donc : 2*[ n(n-1) + (n-1) (n-2) + (n-2) (n-3) + (n-3) (n-4) + ... 0 ]

Chaque boule d’un étage a 4 contacts avec l’étage en dessous.

Si l’étage a m boules de côté, nous avons à nouveau 4*m contacts.

--- Exemple avec une pyramide à quatre étages :

Etage de côté 4 (base)  24 (contacts sur les côtés)  SOIT 24

Etage de côté 3  12 (contacts sur les côtés) ET 36 sur l’étage en dessous SOIT 48 Etage de côté 2  4 (contacts sur les côtés) ET 16 sur l’étage en dessous SOIT 20 Etage de côté 1  4 sur l’étage en dessous SOIT 4.

Nous avons ici 24 + 48 +20 + 4 = 96 contacts.

Exemple avec une pyramide à cinq étages :

Etage de côté 5 (base)  40 (contacts sur les côtés)  SOIT 40

Etage de côté 4  24 (contacts sur les côtés) ET 16*4 =64 sur l’étage en dessous SOIT 88 Etage de côté 3  12 (contacts sur les côtés) ET 36 sur l’étage en dessous SOIT 48 Etage de côté 2  4 (contacts sur les côtés) ET 16 sur l’étage en dessous SOIT 20 Etage de côté 1  4 sur l’étage en dessous SOIT 4

Nous avons ici 40 + 88 + 48 + 20 + 4 = 200 contacts.

--- .Avec 25 étages, nous avons 30 000 points de contact :

Etage de côté 25 (base)  1200 (contacts sur les côtés)  SOIT 1200

Etage de côté 24 (base)  1104 (contacts sur les côtés) ET 2304 sur l’étage en dessous SOIT 3408 Etage de côté 23 (base)  1012 (contacts sur les côtés) ET 2116 sur l’étage en dessous SOIT 3128 Etage de côté 22 (base)  924 (contacts sur les côtés) ET 1936 sur l’étage en dessous SOIT 2860 Etage de côté 21 (base)  840 (contacts sur les côtés) ET 1764 sur l’étage en dessous SOIT 2604 Etage de côté 20 (base)  760 (contacts sur les côtés) ET 1600 sur l’étage en dessous SOIT 2360 Etage de côté 19 (base)  684 (contacts sur les côtés) ET 1444 sur l’étage en dessous SOIT 2128 Etage de côté 18 (base)  612 (contacts sur les côtés) ET 1296 sur l’étage en dessous SOIT 1908 Etage de côté 17 (base)  544 (contacts sur les côtés) ET 1156 sur l’étage en dessous SOIT 1700 Etage de côté 16 (base)  480 (contacts sur les côtés) ET 1024 sur l’étage en dessous SOIT 1504 Etage de côté 15 (base)  420 (contacts sur les côtés) ET 900 sur l’étage en dessous SOIT 1320 Etage de côté 14 (base)  364 (contacts sur les côtés) ET 784 sur l’étage en dessous SOIT 1148 Etage de côté 13 (base)  312 (contacts sur les côtés) ET 676 sur l’étage en dessous SOIT 988 Etage de côté 12 (base)  264 (contacts sur les côtés) ET 576 sur l’étage en dessous SOIT 840 Etage de côté 11 (base)  220 (contacts sur les côtés) ET 484 sur l’étage en dessous SOIT 704 Etage de côté 10 (base)  180 (contacts sur les côtés) ET 400 sur l’étage en dessous SOIT 580 Etage de côté 9 (base)  144 (contacts sur les côtés) ET 324 sur l’étage en dessous SOIT 468 Etage de côté 8 (base)  112 (contacts sur les côtés) ET 256 sur l’étage en dessous SOIT 368 Etage de côté 7 (base)  84 (contacts sur les côtés) ET 196 sur l’étage en dessous SOIT 280 Etage de côté 6 (base)  60 (contacts sur les côtés) ET 144 sur l’étage en dessous SOIT 204 Etage de côté 5 (base)  40 (contacts sur les côtés) ET 100 sur l’étage en dessous SOIT 140 Etage de côté 4  24 (contacts sur les côtés) ET 64 sur l’étage en dessous SOIT 88

Etage de côté 3  12 (contacts sur les côtés) ET 36 sur l’étage en dessous SOIT 48 Etage de côté 2  4 (contacts sur les côtés) ET 16 sur l’étage en dessous SOIT 20 Etage de côté 1  4 sur l’étage en dessous SOIT 4

Nous avons ici 30 000 contacts.

La pyramide construite a donc une base de 25 boules.

Elle est constituée de

Elle pèse 5525*13 grammes SOIT 71,825 kg

Avec les points de colle elle pèse : 71,825 +1.175 = 73 kg soit 73 000g.

Base de la pyramide : 25 * 30 = 75 cm

Hauteur de la pyramide

La hauteur d’une pyramide à base carré de côté c est h =

.

Ici il faut tenir compte des boules...

Une pyramide à base carrée est obtenue en prenant comme sommets, le centre des quatre boules des quatre coins de la base et le centre de la boule du haut.

Cela donne une pyramide de côté 24*30 +30/2 (demi-hauteur d’une boule au rang 0) +30/2 (demi-hauteur de la boule du haut) :

Coupe de la pyramide de boules La hauteur de la pyramide de boules est donc celle de

la pyramide dessinée en noir à la quelle on ajoute la hauteur de deux demi-boules :

Comme nous avons 25 boules à la base, cela donne en mm :

La hauteur cherchée est donc d’environ 539 mm