G2966. Une jolie maquette en bois de buis **
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangu- laires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hau- teur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
Solution de Claude Felloneau
La pyramide mesure 539 mm de hauteur et pèse 73 kg
Soitcnle nombre de points de colle pour une pyramide à base carrée den2boules.
Lorsqu’on ajoute un (n+1)−ième niveau, chacune desn2boules nécessite 4 points de colle sur la pyra- mide existante et 2n(n+1) points de colle pour coller les (n+1)2boules entre elles, ainsi
cn+1=cn+4n2+2n(n+1)=cn+6n2+2n.
De plusc1=0, donccn=
n−1X
k=0
¡ck+1−ck¢
=6
n−1X
k=0
n2+2
n−1X
k=0
k=(n−1)n(2n−1)+(n−1)n=2n2(n−1).
cn=30000 donnen=25.
Le nombre de boules est
25
X
k=1
k2=25×26×51
6 =5525.
La masse en grammes de la pyramide est donc 5525×13+1175=73000.
L’ajout d’un niveau augmente la hauteur de la pyramide dehmm oùhest la hauteur d’une pyra- mide à base carrée dont toutes les arêtes ont pour mesured=30 en mm.
Ainsih2+ Ãdp
2 2
!2
=d2donch= d p2.
La hauteur, en mm, de la pyramide est doncd+(n−1) d p2=30¡
1+12p 2¢
≈539 arrondi à l’unité.
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![[T F] est la hauteur de la pyramide et mesure5cm](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)