Exercices supplémentaires de GSE
1] Dans le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ci-dessous, choisis une arête. Combien d’arêtes du cube sont respectivement :
a) parallèles à l’arête choisie ? b) perpendiculaires à celle-ci ? c) orthogonales à celle-ci ? d) gauches avec celle-ci ?
2] Dans le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ ci-dessous, les droites suivantes sont-elles orthogonales ? Justifie.
a) 𝐴𝐵 et 𝐵′𝐶 b) 𝐴𝐷 et 𝐶′𝐶 c) 𝐷𝐶 et 𝐴′𝐵 d) 𝐴′𝐷 et 𝐵𝐶′
e) 𝐷𝐵 et 𝐶′𝐶 f) 𝐷𝐶 et 𝐷′𝐵′
3] Dans le parallélépipède rectangle ci-dessous, les faces 𝐵𝐶𝐺𝐹 et 𝐴𝐷𝐻𝐸 sont des carrés. Justifie tes réponses dans chaque cas.
a) Donner les plans perpendiculaires aux plans suivants : 1. 𝐻𝐷𝐶
2. 𝐴𝐸𝐻 3. 𝐸𝐹𝐶
b) Rechercher le plan :
1. contenant 𝐷𝐺 et perpendiculaire à 𝐴𝐵𝐹 2. contenant 𝐵𝐺 et perpendiculaire à 𝐴𝐷𝐻 3. contenant 𝐷𝐸 et perpendiculaire à 𝐴𝐵𝐺
4] On considère un prisme droit (= solide avec base quelconque et faces verticales rectangulaires) avec 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵′, 𝐶𝐶′ et 𝐷𝐷′ perpendiculaires à la face 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′.
Vrai ou faux ? Justifie dans chaque cas.
a) 𝐴𝐵𝐵′ et 𝐵𝐵′𝐶 sont perpendiculaires.
b) 𝐴𝐴′𝐷 et 𝐴𝐵𝐶 sont perpendiculaires.
c) 𝐴𝐴′ et 𝐵𝐶 sont orthogonales.
d) 𝐴𝐵 et 𝐵′𝐶′𝐶 sont perpendiculaires.
5] On considère un tétraèdre régulier (= solide avec 4 faces qui sont des triangles équilatéraux → voir ex.2 p.18). Quelle propriété a la droite 𝑀𝑃, avec 𝑀 milieu de [𝐴𝐵] et 𝑃 milieu de [𝐶𝐷] ? Justifie.
6] Dans le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, détermine et justifie la perpendiculaire commune aux droites :
a) 𝐵𝐶 et 𝐸𝐻 b) 𝐸𝐹 et 𝐶𝐻
c) 𝐸𝐹 et 𝐶𝑀 avec 𝑀, milieu de [𝐴𝐵]
7] Dans le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, détermine et justifie la perpendiculaire commune aux droites :
a) 𝐷𝐶 et 𝐴𝐸 b) 𝐵𝐺 et 𝐶𝐹
c) 𝐴𝐷 et 𝐹𝑃 avec 𝑃, point quelconque de [𝐵𝐶]
8] Soit un tétraèdre 𝑀𝑁𝑃𝑄. On suppose que les triangles 𝑀𝑁𝑃 et 𝑀𝑁𝑄 sont respectivement isocèles en 𝑃 et 𝑄. Prouve que les droites 𝑃𝑄 et 𝑀𝑁 sont orthogonales.
9] Dans une pyramide régulière à base carrée 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 (les faces triangulaires sont donc des triangles isocèles isométriques), on appelle 𝑂 le centre de la base carrée 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prouve que la droite 𝐴𝐷 est perpendiculaire au plan 𝑆𝑂𝑀 où 𝑀 est le milieu de [𝐴𝐷].
10] Dans le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ci-dessous, prouve que la diagonale 𝐴𝐺 est perpendiculaire au plan 𝐷𝐵𝐸.
11] Démonstrations de propriétés nouvelles
➔ très ressemblantes à celles du cours
➔ donner les hypothèses et la thèse avant de faire la démo
➔ faire un schéma si ça vous aide à vous représenter la situation
a) Si une droite est perpendiculaire à 2 plans, ces 2 plans sont parallèles.
b) Si une droite est orthogonale à une autre et si un plan est perpendiculaire à cette même 2ème droite, alors la 1ère droite et le plan sont parallèles entre eux.
