A633. Répartitions égalitaires **
Puce dispose d’une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d’elles pèse un nombre entierkde grammes aveckprenant toutes les valeurs de 1 à 200.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombreN de plaques (N 625) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu’il peut répartir successivement lesN plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles,etc...et enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les poids des piles sont tous identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale deN.
Solution de Claude Felloneau
Soitmla masse en grammes desNplaques choisies par Puce.mdoit être un multiple de 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 doncmest un multiple de 840.
On suppose quem=840.
Lorsqu’on répartit les plaques en 8 piles, chaque pile a pour masse 105 g.
Il est clair qu’en regroupant ces piles deux par deux on obtient 4 piles de 210 g chacune. En les regroupant quatre par quatre, on obtient 2 piles de 420 g chacune.
Si l’une des piles est constituée de 7 plaques de 15 g, on peut éliminer cette pile par répartition sur les sept autres, on obtient alors 7 piles de 120 g chacune.
Si deux piles sont constituées de trois plaques de 35 g, en répartissant ces deux piles sur les six autres, on obtient 6 piles de 140 g chacune. On en déduit alors une répartition en 3 piles de 280 g chacune en les regroupant deux par deux.
On peut obtenir une répartition acceptable en 5 piles si on peut répartir trois piles (soit 315 g) sur les cinq autres autres (soit 63 g sur chacune), il suffit pour cela que deux ces trois piles soient formées d’une plaque de 63 g et d’une plaque de 42 g et la troisième d’une plaque de 63 g et deux plaques de 21 g.
Finalement avec 7 plaques de 15 g, 6 plaques de 35 g, 3 plaques de 63 g, 2 plaques de 42 g, 2 plaques de 21 g et 2 plaques de 105 g la répartition égalitaire en 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 piles est possible.
On a alorsN=22.
page 1 / 1
