A633 – Répartitions égalitaires
Puce dispose d'une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu'il peut répartir successivement les N plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles, etc. et enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les poids des piles sont tous identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N.
Solution par Patrick Gordon
La démonstration n'est à faire que pour 5, 6, 7, 8 piles car, pour 4 piles, il suffit de grouper les 8 piles 2 par 2 et de même mutatis mutandis pour 3 et pour 2 piles.
Le poids total des plaques doit être divisible par 5, 6, 7, 8, donc être multiple de leur PPCM 840.
Voici une répartition théorique avec en apparence N = 20 plaques. Reste à voir moyennant quels découpages et regroupements on peut passer de la répartition 8 à la répartition 7, puis à 6, puis à 5, ou inversement.
8 105 105 105 105 105 105 105 105
7 105 105 105 105 105 105 105
15 15 15 15 15 15 15
6 105 105 105 105 105 105
15 15 15 15 15 15
20 20 20 20 20 20
5 105 105 105 105 105
15 15 15 15 15 20 20 20 20 20 28 28 28 28 28
On part de la répartition 5 remaniée comme suit. Chaque pile pèse 840 / 5 = 168 grammes. Cette répartition utilise 23 plaques. La signification des couleurs apparaîtra dans un instant.
105 105 105 105 105
15 15 15 15 15
20 20 20 20 20
28 28 28 21
5 15
2 13
Pour passer à la répartition 6 (où chaque pile pèse 840 / 6 = 140 grammes), on fait passer :
- les 4 plaques sur fond bleu (28 + 28 + 28 + 21 = 105) de la ligne 4 dans la colonne 5 - les 2 plaques sur fond jaune (15 + 5 = 20) de la ligne 5 dans la colonne 6
- les 2 plaques sur fond vert (13 + 2 = 15) de la ligne 6 dans la colonne 6
105 105 105 105 105
15 15 15 15 15 15
20 20 20 20 20 5
28 13
28 2
28 21
Pour passer à la répartition 7 (où chaque pile pèse 840 / 7 = 120 grammes) :
- on fait passer les 6 plaques en rouge (5 × 20 + 5 = 105) de la ligne 3 dans la colonne 7 - on maintient les 4 plaques sur fond bleu (28 + 28 + 28 + 21 = 105) de la colonne 5 dans
cette colonne
- on fait passer les 2 plaques sur fond vert de la colonne 6 dans la colonne 7
105 105 105 105 105 20
15 15 15 15 15 15 20
28 20
28 20
28 20
21 5
13
2
Pour passer à la répartition 8 (où chaque pile pèse 840 / 8 = 105 grammes), il n'y a plus qu'à faire passer les 6 plaques en bleu (6 × 15 = 90) de la ligne 2 ainsi que les 2 plaques sur fond vert de la colonne 7 dans la colonne 8.
105 105 105 105 28 105 20 15
28 20 15
28 20 15
21 20 15
20 15
5 15 13
2
On vérifie que chacune des répartitions en 8, 7, 6, 5 piles utilise le même nombre de plaques de 2, 5, 13… 105 grammes, selon le tableau récapitulatif suivant, qui montre en outre que le nombre de plaques utilisées (N = 23) est bien ≤ 25.
plaques de nombre poids
2 1 2
5 1 5
13 1 13
15 6 90
20 5 100
21 1 21
28 3 84
105 5 525
Total 23 840
