A633. Répartitions égalitaires
Puce dispose d'une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune
d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à
200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25)
dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu'il peut répartir
successivement les N plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles, etc., et
enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les poids des piles sont tous
identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N.
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SOLUTION.
La masse totale de l’ensemble de plaques qui conviennent doit être un multiple de 3, 5, 7 et 8, soit un multiple de 840. Je suppose qu’il existe une solution de masse totale 840 g.
Faute de mieux, j’explicite un « multiensemble » de 25 masses qui fait l’affaire : - 4 plaques de 105 g.
- 6 plaques de 35 g…
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- 4 plaques de 21 g…
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- 6 plaques de 15 g…
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- 1 plaques de 8 g…..
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- 4 plaques de 7 g …
.. Vérifications :
8 piles de 105 g : 105 105 105 105 3 × 35 3 × 35
4 × 21 + 3 × 7 6 × 15 + 8 + 7 7 piles de 120 g : 105+15
105+15 105+15 105+15 3 × 35 + 15 3 × 35 + 15
4 × 21 + 8 + 4 × 7
6 piles de 140 g : 105+35 105+35 105+35 105+35
35 + 4 × 21 + 3 × 7 35 + 6 × 15 + 8 + 7
5 piles de 168 g : 105+35+21+7 105+35+21+7 105+35+21+7 105+35+21+7 2 × 35 + 6 × 15 + 8
Pour former 4 piles, on regroupe les 8 piles précédentes deux par deux ;
Pour former 3 piles, on regroupe les 6 piles précédentes deux par deux ;
Pour former 2 piles, on regroupe les 8 piles précédentes quatre par quatre.
