A1746 – Rationnel, manque(1) et impair [** à la main]
Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme 1 2k
1 4k
pour toutes les valeurs entières de k ≥1.
Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.
Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.
Application numérique : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.
a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97
b) Calculer f(n) pour les entiers inpairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)
(1) Nota : comme dans le jargon des croupiers, le dénominateur dépasse la moitié du numérateur…
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons F_k = (4k-1)/(2k+1) pour k>=1.
Remarquons que F_{3k+1} = (4k+1)/(2k+1).
Montrons par récurrence que Puce peut obtenir tous les nombres impairs de 1 à 2^n+1 pour n entier.
Montrons le déjà pour les premières valeurs : 1 = F_1
3 = F_7 * F_4 5 = F_7 * (F_4)²
Supposons le résultat démontré pour n>=2 et montrons que les nombres impairs 2^n + 3 à 2^n + 2^n+1 = 2^(n+1)+1 peuvent être obtenus.
Ce sont les nombres 2^n + i avec 3 =< i =< 2^n + 1 impair, ou encore i = 4j ± 1 pour 1 =< j =< 2^(n-2).
Ainsi 2^n + i = 4k ± 1 avec k = 2^(n-2)+j.
Nous avons 2k+1 =< 2^n+1 <=> k =< 2^(n-1) <=> j =< 2^(n-2).
En écrivant 4k+1 = F_{3k+1} * (2k+1) ou 4k-1 = F_k * (2k+1) et l'on utilise l'hypothèse de récurrence sur 2k+1 pour conclure.
Cette méthode est constructive mais ne garantit en rien le caractère minimal sur le nombre de fractions utilisées.
Voyons un exemple avec 11 = F_3 * F_2 * F_4 * 3 (5 fractions) mais on peut faire mieux avec 11 = F_25 * F_13 * F_7 * F_4 (4 fractions).
Voici les résultats obtenus en programmant la fonction par récurrence, sans garantie de la minimalité, c'est donc une majoration de f(n) :
(entre [] la liste des indices k des fractions F_k ; le 3 final ajoute F_7 * F_4) a)
61 [46, 8, 13, 7, 4] 3 => 7 fractions 67 [17, 9, 5, 3, 2, 4] 3 => 8 fractions
améliorable : 67 [17, 9, 5] 11 => 7 fractions 71 [18, 28, 5, 3, 2, 4] 3 => 8 fractions
améliorable : 71 [18, 28, 5] 11 => 7 fractions 73 [55, 28, 5, 3, 2, 4] 3 => 8 fractions
améliorable : 73 [55, 28, 5] 11 => 7 fractions 79 [20, 31, 16, 3, 2, 4] 3 => 8 fractions
améliorable : 79 [20, 31, 16] 11 => 7 fractions 83 [21, 11, 6, 10, 2, 4] 3 => 8 fractions
89 [67, 34, 6, 10, 2, 4] 3 => 8 fractions 97 [73, 37, 19, 10, 2, 4] 3 => 8 fractions b)
2011 [503, 252, 379, 190, 32, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions
2013 [1510, 252, 379, 190, 32, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions 2015 [504, 757, 379, 190, 32, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions 2017 [1513, 757, 379, 190, 32, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions 2019 [505, 253, 127, 64, 97, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions 2021 [1516, 253, 127, 64, 97, 49, 25, 13, 7, 4] 3 => 12 fractions
Remarque : intuitivement on doit être sur un ordre de grandeur de 1 + [log(n)/log(2)] fractions
