Diophante A633 répartitions égalitaires
Les 8 piles peuvent constituer 4 ou 2 piles. Les 6 piles peuvent constituer 3 piles. Il suffit que la répartition soit possible entre 8, 7, 6 ou 5 piles.
Le pgcd de ces nombres est 840. Le poids d’une pile est 105, 120, 140 ou 168 g multiplié par un facteur. Ce facteur est forcément 1 car le poids d’une plaquette ne dépasse pas 200 g.
Afin d’obtenir 8 piles, il nous faut huit ensembles Pa (1 ≤ a ≤ 8), d’une ou de plusieurs plaquettes, tels que le poids de chacun d’eux totalise 105.
Afin d’obtenir 7 piles, le pgcd de 105 et 120 étant 15, il faut que par exemple P8 soit l’union de sept ensembles P8,b (1 ≤ b ≤ 7) tels que le poids de chacun d’eux totalise 15. Les 7 piles sont alors les Px U P8,x (1 ≤ x ≤ 7).
Afin d’obtenir 6 piles, le pgcd de 120 et 140 étant 20, il faut que par exemple P7 soit l’union de trois ensembles P7,c (1 ≤ c ≤ 3) tels que le poids de chacun d’eux totalise 35, et que par exemple P8,7 soit l’union de trois ensembles P8,7,d (1 ≤ d ≤ 3) tels que le poids de chacun d’eux totalise 5. Les 6 piles sont alors, d’une part, les Py U P7,y (1 ≤ y ≤ 3) et, d’autre part, les Pz+3 U P8,(2z-1) U P8,(2z) U P8,7,z (1 ≤ z ≤ 3).
Afin d’obtenir 5 piles, le pgcd de 140 et 168 étant 28, il faut que par exemple P6 soit l’union de quatre ensembles P6,e (1 ≤ e ≤ 4) tels que le poids de l’un d’entre-eux, par exemple P6,4, totalise 21, et que le poids des trois autres totalise 28 ; et que par exemple P8,6 soit l’union de deux ensembles P8,6,f (1 ≤ f ≤ 2) tels que le poids de l’un d’entre-eux, par exemple P8,6,2, totalise 8, et que le poids de l’autre totalise 7. Les 5 piles sont alors, d’une part, les Pt U P7,t U P6,t (1 ≤ t ≤ 3) et, d’autre part, P4 U P8,1 U P8,2 U P8,7,1 U P6,4 U P8,6,1 et P5 U P8,3 U P8,4 U P8,5 U P8,7,2 U P8,7,3 U P8,6,2.
8(a) + 6(b) + {2(c) +2(d)} + {3(e) +1(f)} = 8 + 6 + 4 + 4 = 22 qui est bien ≤ 25.
Les poids en grammes des plaques forment l’ensemble {5, 5, 5, 7, 8, 15, 15, 15, 15, 15, 21, 28, 28, 28, 35, 35, 35, 105, 105, 105, 105, 105}.
Puce peut trouver dans sa collection 22 plaques afin d’obtenir toutes les répartitions demandées.
En changeant l’ordre, il est possible de trouver d’autres clefs de répartition. Par exemple, en commençant avec 5 et 8 piles, en continuant avec 6 piles et en finissant avec 7 piles, le même processus conduit à l’ensemble {15, 15, 15, 15, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 24, 24, 28, 28, 28, 28, 42, 42, 105, 105, 105, 105}. Quatre 168 doivent être coupés chacun en 105 et 63, le cinquième et dernier 168 en quatre 42. Afin d’obtenir 140, les quatre 63 doivent être coupés chacun en 35 et 28. Afin d’obtenir 120, les quatre 35 doivent être coupés chacun en 20 et 15, deux 42 chacun en 24 et 18. 5 + 7 + 4 + 6 = 22 à nouveau.
Il est impossible de réussir avec moins de plaques car les trois pgcd rencontrés sont toujours premiers entre eux. Après la première étape, on obtient au moins la somme des deux nombres de piles moins 1. Après les deux autres étapes, on obtient au moins la somme des deux nombres de piles moins 3. L’obtention des séries successives de piles de poids
identique nécessite au moins (5 + 6 + 7 + 8) – (1 + 3) = 22 plaques. Bien que suivant un algorithme glouton, le processus atteint le minimum à la condition que chaque étape soit optimisée. 22 est la valeur minimale.
Jean-Louis Legrand
