B142 – Carré S&P magique [*** à la main]
Les neuf entiers positifs distincts a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que :
- les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P
- les sommes des entiers sur une même colonne sont tous égaux à un même nombre S qui est le plus petit nombre premier possible.
- aucun de ces entiers n’est un carré parfait.
Déterminer la liste des neuf entiers et prouver qu’elle est unique.
Solution proposée par Daniel Collignon J'arrive en m'aidant un peu de Python à :
2 20 21 7 12 10 28 5 6
de somme 37 et de produit 840
En permutant lignes ou colonnes, on peut toujours s'arranger pour que a1 soit le minimum, ainsi que a2<a3 et b1<c1.
La somme s vaut au moins (2+3+5+6+7+8+10+11+12)/3 > 21 : comme c'est un nombre premier, elle vaut au moins 23, 29, 31, 37.
Le produit, qui possède au moins 9 diviseurs distincts et non carrés, vaut au moins (2*3*5*6*7*8*10*11*12)^(1/3) > 236, soit au moins 237.
Une fois exhibée cette solution, il suffit alors de balayer pour les valeurs s=23, 29 et 31, le nombre max de la grille étant inférieur à s-5 (somme - 2 - 3), et donc le produit est inférieur à (s-5)(s-6)(s-7).
Cela se vérifie aisément à l'aide de quelques boucles (mais le code source reste quand même "moche" car c'est assez bourrin à la force brute).
