G2960. Après de laborieux calculs Diophante a choisi deux nombres premiers

G2960. Après de laborieux calculs

Diophante a choisi deux nombres premiers 𝑝 et 𝑞 tels que 5 < 𝑝 < 𝑞 < 101. Il donne à Zig le nombre premier 𝑝 et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4, … , 𝑝 − 2, 𝑝 − 1}

tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par 𝑝 est égal à 5. Il pose la même question à Puce avec le nombre premier 𝑞.

Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.

Déterminer 𝑝 et 𝑞.

Solution

Proposée par Fabien GIGANTE

Notations

On note :

• 𝒫(𝐸) l’ensemble des parties de 𝐸,

• 𝒫^∗(𝐸) l’ensemble des parties non vides de 𝐸

• 𝒫^𝑛(𝐸) l’ensemble des parties à 𝑛 éléments de 𝐸

• 𝐴_𝑝,𝑘= {𝑋 ∈ 𝒫^∗(ℤ_𝑝^∗)| ∑_𝑥∈𝑋𝑥≡ 𝑘} et 𝑎𝑝,𝑘= |𝐴_𝑝,𝑘|

• 𝐵_𝑝,𝑘^𝑛 = {𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋𝑥≡ 𝑘} et 𝑏𝑝,𝑘𝑛 = |𝐵_𝑝,𝑘^𝑛 | Ainsi 𝑎𝑝,5 et 𝑎𝑞,5 sont les nombres obtenus par Zig et Puce.

Lemme

Enoncé :

𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = {

0 si 𝑛 = 0 ou 𝑝 et 𝑘 ≠ 0 1 si 𝑛 = 0 ou 𝑝 et 𝑘 = 0 𝐶𝑝𝑛/𝑝 si 0 < 𝑛 < 𝑝

Preuve :

Calculons tout d’abord 𝐵_𝑝,𝑘^𝑛 pour 𝑛 = 0 ou 𝑝 : 𝒫⁰(ℤ_𝑝) = {∅} et ∑ 𝑥

𝑥∈∅

= 0 ⇒ 𝐵_𝑝,0⁰ = {∅} et 𝐵_𝑝,𝑘⁰ = ∅ pour 𝑘 > 0

𝒫^𝑝(ℤ𝑝) = {ℤ𝑝} et ∑ 𝑥

𝑥∈ℤ_𝑝

=𝑝(𝑝 − 1)

2 ≡ 0 ⇒ 𝐵_𝑝,0^𝑝 = {ℤ𝑝} et 𝐵_𝑝,𝑘^𝑝 = ∅ pour 𝑘 > 0

Il vient, pour 𝑛 = 0 ou 𝑝 :

𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = {0 si 𝑘 ≠ 0 1 si 𝑘 = 0 Supposons maintenant 0 < 𝑛 < 𝑝.

Si 0 < 𝑘 < 𝑝, alors 𝑘 est inversible dans ℤ𝑝, et 𝑋 ↦ {𝑘𝑥|𝑥 ∈ 𝑋} est une bijection de 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝).

𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋𝑥≡ 𝑘}| = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋𝑘𝑥≡ 𝑘}|

𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ𝑝)| ∑𝑥∈𝑋𝑥≡ 1}| = 𝑏𝑝,1𝑛

On a en particulier 𝑏𝑝,𝑛𝑛 = 𝑏_𝑝,1^𝑛

Considérons 𝑋 ↦ {𝑥 + 1|𝑥 ∈ 𝑋}. C’est aussi une bijection de 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝).

𝑏_𝑝,𝑛^𝑛 = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋𝑥≡ 𝑛}| = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋(𝑥 + 1)≡ 𝑛}|

𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = |{𝑋 ∈ 𝒫^𝑛(ℤ_𝑝)| ∑_𝑥∈𝑋𝑥≡ 𝑛 − 𝑛}| = 𝑏_𝑝,0^𝑛 Les 𝑏𝑝,𝑘𝑛 ne dépendent pas de 𝑘. On peut alors écrire :

𝑏𝑝,0𝑛 + ⋯ + 𝑏𝑝,𝑝−1𝑛 = |𝒫^𝑛(ℤ𝑝)| = 𝐶𝑝𝑛

𝑝 × 𝑏_𝑝,𝑘^𝑛 = 𝐶𝑝𝑛

Ce qu’il fallait démontrer.

Théorème

Enoncé :

𝑎𝑝,𝑘=2^𝑝−1− 1 𝑝 Preuve :

On peut écrire 𝒫(ℤ𝑝) comme une union disjointe de deux façons différentes : 𝒫(ℤ𝑝) = 𝒫⁰(ℤ𝑝) ⊔ … ⊔ 𝒫^𝑝(ℤ𝑝)

𝒫(ℤ𝑝) = 𝒫^∗(ℤ𝑝∗) ⊔ {𝑋 ∪ {0}|𝑋 ∈ 𝒫^∗(ℤ𝑝∗)} ⊔ {∅, {0}}

On en déduit :

𝑏_𝑝,𝑘⁰ + ⋯ + 𝑏_𝑝,𝑘^𝑝 = 2𝑎𝑝,𝑘+ {2 si 𝑘 = 0 0 sinon D’après le Lemme :

𝑏_𝑝,𝑘¹ + ⋯ + 𝑏_𝑝,𝑘^𝑝−1= 2𝑎_𝑝,𝑘 1

𝑝(𝐶𝑝1+ ⋯ + 𝐶_𝑝^𝑝−1) = 2𝑎𝑝,𝑘

1

𝑝(2^𝑝− 2) = 2𝑎𝑝,𝑘

𝑎_𝑝,𝑘=2^𝑝−1− 1 𝑝

Conclusion

On dresse le tableau de valeurs suivant :

𝑝 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

⌈log10𝑎𝑝,5⌉ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 16 17 19 20 20 22 23 25 27 Seuls 𝑎71,5 et 𝑎73,5 possèdent un même nombre de chiffres.

On conclut finalement :

𝑝 = 71 , 𝑞 = 73