G2960. Après de laborieux calculs ****
Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101. Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de ©
1, 2, 3, 4, ..., p − 2, p − 1 ª tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par p est égal à 5
(1). Il pose la même question à Puce avec le nombre premier q. Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.
Déterminer p et q .
(1)Nota : par exemple avecp=7, l’ensemble {1, 5, 6} qui est un sous ensemble de {1, 2, 3, 4, 5, 6} a pour somme de ses termes 12 dont la division par 7 a pour reste 5. Il en est de même du sous-ensemble {3, 4, 5}.
Solution de Claude Felloneau
L’unique solution estp=71 etq=73 Preuve :
On identifie©
1, 2, 3, 4, ...,p−2,p−1ª
etZ/pZprivé de 0.
On noteA l’ensemble des parties deZ/pZprivé de 0 et pourr∈Z/pZ,Ar l’ensemble des éléments deA tels que s(A)= X
a∈A
a=r(avecs(;)=0).
Il s’agit d’évaluer le cardinal deA5.
On noteBl’ensemble des partiesBdeZ/pZtelle que 0<card(B)<p, et pourr∈Z/pZ,Br l’ensemble des élémentsBdeBtels ques(B)=X
b∈B
b=r.
PourB∈B, on posef(B)=B\ {0} si 0∈Betf(B)=Bsinon.
f est une application surjective deBsurAets(f(B))=s(B) pourB∈Bdonc pourr∈Z/pZ,f(Br)=Ar.
•;a pour unique antécédent {0}.
•Z/pZprivé de 0 a pour unique antécédent lui-même ets(Z/pZ\ {0})=0 car
p−1
X
i=1
i=p(p−1)/2 et (p−1)/2∈N.
• Pour toutA∈Ar, distinct de;et deZ/pZprivé de 0Aa deux antécédents dansB(AetA∪{0}).
Donc
Pourr6=0, card(Br)=2card(Ar) et card(B0)=2card(A0)−2
PourB∈B, 1
6
card(B)6
p−1 et commepest premier, card(B) admet un inverseg(B) dansZ/pZ. On poseh(B)=B+g(B)=©b+g(B);b∈Bª .
On a card(B)=card(h(B)) donch(B)∈B. De plus, pour toutB0∈B,B0 a un unique antécédent pourh qui est B0−g(B0)=©
x−g(B0);x∈Bª
.hest donc une bijection deBsurB.
Comme pourB∈B,s(h(B))=s(B)+card(B)g(B)=s(B)+1, pourr∈Z/pZ,f(Br)=Br+1et par suite card(Br)=card(Br+1)
On en déduit que
pourr6=0, card(Ar)=1
2card(Br)=1 2
card(B)
p =2p−1−1 p car card(B)=2p−2.
Ainsi card(A5)=2p−1−1 p .
Il s’agit donc de trouver les entiers premierspetqtels que 5<p<q<101 et 2p−1
p et 2q−1
q ont le même nombre de chiffres.
Sur tableur, en tabulant2n−1
n pournpremier strictement compris entre 5 et 101, on observe que l’unique solution p=71 etq=73 pour lesquels2p−1
p et2q−1
q ont 20 chiffres.
