G2960. Après de laborieux calculs
Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101. Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4,…,p – 2,p – 1} tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par p est égal à 5 (1). Il pose la même question à Puce avec le nombre premier q.
Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.
Déterminer p et q.
(1) Nota : par exemple avec p = 7, l’ensemble {1,5,6} qui est un sous ensemble de {1,2,3,4,5,6} a pour somme de ses termes 12 dont la division par 7 a pour reste 5. Il en est de même du sous- ensemble {3,4,5}.
Résolution
Les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4,…,p – 2,p – 1} sont au nombre de 2p-1 – 1 et se
répartissent équitablement entre les classes d’équivalence des restes modulo p, autrement dit, zig et puce trouvent respectivement les nombres 2(p 1) 1
p et 2(q 1) 1
q .
Observons les premières valeurs de cette expression : p=7 => 9
p=11 => 93 p=13 => 315 etc.
Pour obtenir avec p et q distincts deux nombres comptant le même nombre de chiffres, il est nécessaire qu’il s’agisse de nombres premiers jumeaux, sans quoi l’écart est au moins de l’ordre de 24=16. Les possibilités sont les suivantes : 17-19, 29-31, 41-43, 59-61, 71-73. En approximant 210 à 103 on peut estimer les valeurs suivantes :
p valeur approchée q valeur approchée
17 6*104 / 17 ~ 3*103 19 2,5*105 / 19 ~ 1*104 29 2,5*108 / 29 ~ 9*106 31 1*109 / 31 ~ 3*107 41 1,1*1012 / 41 ~ 2,5*1010 43 4,4*1012 / 43 ~ 1*1011 59 2,5*1017 / 59 ~ 4*1015 61 1*1018 / 61 ~ 1,5*1016 71 1*1021 / 71 ~ 1,5*1019 73 4*1021 / 73 ~ 6*1019 De cette analyse des ordres de grandeur découle p=71 et q=73.
