G2960 – Après de laborieux calculs [**** à la main]
Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101. Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4,…,p – 2,p – 1} tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par p est égal à 5
(1). Il pose la même question à Puce avec le nombre premier q.
Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.
Déterminer p et q.
(1)
Nota : par exemple avec p = 7, l’ensemble {1,5,6} qui est un sous ensemble de {1,2,3,4,5,6} a pour somme de ses termes 12 dont la division par 7 a pour reste 5. Il en est de même du sous-ensemble {3,4,5}.
Solution :voir pages 2 et 3
Solution proposée par Bernard Vignes
Il y a 2
p-1‒ 1 sous-ensembles non vides obtenus à partir des entiers {1,2,3,4,…,p – 2,p – 1} auxquels on peut associer un tableau de 2
p– 1 lignes et p – 1 colonnes numérotées 1,2,3,…,p – 2, p – 1.
Une ligne quelconque est remplie de 1 dans les colonnes a,b,c… si le sous-ensemble correspondant contient les entiers a,b,c…, les autres cases de la ligne étant remplies de 0 ou restant vides.
Un exemple est donné ci-après avec les 63 sous-ensembles non vides à partir de {1,2,3,4,5,6}
On calcule la somme S
ides termes de chaque ligne n°i puis le reste r
ide la division de S
ipar p ou en
d’autres termes S
imodulo p.
Par construction du tableau,il y a autant de lignes dont les sommes modulo p sont égales à 0,1,2,…,p – 1, ce qui revient à dire qu’il y a autant de lignes dont la somme est égale à 5 modulo p que de lignes dont la somme est divisible par p.
Il y a donc N(p) = (2
p-1– 1)/p sous-ensembles non vides dont la somme divisée par p a pour reste 5.
A noter que d’après le petit théorème de Fermat N(p) appelé quotient de Fermat est bien un entier.
Dans le tableau supra on vérifie bien qu’il y a 63/7 = 9 sous-ensembles dont le somme des termes est égale à 5 modulo 7 comme il y a 9 sous-ensembles dont la somme des termes est divisible par 7.
Pour les premières valeurs de p nombre premier les quotients de Fermat sont listés dans la rubrique A007663 de l’OEIS
A007663 Fermat quotients: (2^(p-1)-1)/p, where p=prime(n).
(Formerly M2828)
28
1, 3, 9, 93, 315, 3855, 13797, 182361, 9256395, 34636833, 1857283155, 26817356775, 102280151421, 1497207322929, 84973577874915, 4885260612740877, 18900352534538475, 1101298153654301589, 16628050996019877513(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
OFFSET
2,2
COMMENTS
The only terms that are squares are a(2) = 1 and a(4) = 9. - Nick Hobson (nickh(AT)qbyte.org), May 20 2007
From Jonathan Sondow, Jul 19 2010: (Start)
a(n) == 0 (mod 3) if n > 2, since p = prime(n) > 3
and 0 = (-1)^(p-1)-1 == 2^(p-1)-1 (mod 3). (End)
p is in A001220 if and only if p | (2^(p-1)-1)/p, i.e., a(n) is divisible by prime(n). - Felix Fröhlich, Jun 20 2014
In general, every prime p that is 1 mod q-1 will create a numerator that is 0 mod q via Fermat's Little Theorem, meaning every p with this property (except q) will have a Fermat quotient divisible by q. - Roderick MacPhee, May 12 2017
REFERENCES
L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute Public. 256, Washington, DC, Vol. 1, 1919; Vol. 2, 1920; Vol. 3, 1923, see vol. 1, p. 105.
N. J. A. Sloane and Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995 (includes this sequence).
D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers.
Penguin Books, NY, 1986, 70.
LINKS
T. D. Noe, Table of n, a(n) for n=2..100
Nick Hobson, Fermat squares.
J. Sondow, Lerch Quotients, Lerch Primes, Fermat-Wilson Quotients, and the Wieferich-non-Wilson Primes 2, 3, 14771, in Proceedings of CANT 2011, arXiv:1110.3113 [math.NT], 2011-2012.
J. Sondow, Lerch Quotients, Lerch Primes, Fermat-Wilson Quotients, and the Wieferich-non-Wilson Primes 2, 3, 14771, Combinatorial and Additive Number Theory, CANT 2011 and 2012, Springer Proc. in Math. & Stat., vol.
101 (2014), pp. 243-255.
Andrei K. Svinin, On some class of sums, arXiv:1610.05387 [math.CO], 2016.
See p. 11.
H. S. Vandiver, Fermat's Quotients And Related Arithmetic Functions, PNAS 1945 31 (1) pp. 55-60.
H. S. Vandiver, New Types Of Congruences Involving Bernoulli Numbers and Fermat's Quotient, PNAS 1948 34 (3) pp. 103-110.
H. S. Vandiver, On Congruences Which Relate The Fermat And Wilson Quotients To The Bernoulli Numbers, PNAS 1949 35 (6) pp. 332-337.
FORMULA
a(n) = 3*A096060(n) for n>2. a(n) = 3*A001045(prime(n)-1)/prime(n) for n>1. - Alexander Adamchuk, Oct 01 2006
MAPLE
A007663:= n-> map (p-> (2^(p-1)-1)/p, ithprime(n)):
seq (A007663(n), n=2..20); # Jani Melik, Jan 24 2011
MATHEMATICA
A007663[n_Integer?Positive]:=(-1+2^(Prime[n]-1))/Prime[n]/; (n>1) (*
Enrique Pérez Herrero, Sep 08 2010 *)
Table[(2^(n-1)-1)/n, {n, Prime[Range[2, 20]]}] (* Harvey P. Dale, Nov 07 2016 *)
PROG
(PARI)
forprime(p=3, 100, print1((2^(p-1)-1)/p ", ")) \\ Satish Bysany, Mar 11 2017
CROSSREFS
Cf. A002322, A001917, A096060, A001045.
Sequence in context: A003225 A203104 A237355 * A231212 A185174 A018695
Adjacent sequences: A007660 A007661 A007662 * A007664 A007665 A007666
KEYWORD
nonn,easy,nice
AUTHOR
N. J. A. Sloane, Sep 19 1994
STATUS
