Puce dispose d'une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu'il peut répartir successivement les N plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles, etc...et enfin en 8 piles et pour chacune des sept
répartitions, les poids des piles sont tous identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N.
Il suffit de pouvoir répartir les plaques en 5, 6, 7 et 8 piles égales puisque l’on pourra alors obtenir les répartitions en 2, 3 et 4 piles à partir de celles en 6 et 8 piles.
Le poids total des plaques sera divisible par le ppcm de 5, 6, 7 et 8 soit 5*6*7*4=840 ou 5*168, 6*140, 7*120, 8*105. Or 105=7*15=3*35 et 3*105=15*21
La méthode empirique utilisée consiste à partir de 8 piles de 105 ; d’en diviser une en 7 plaques de 15, pour pouvoir former 7 piles de 105+15=120 ; d’en diviser deux en 3 plaques de 35 pour pouvoir former 6 piles de 105+35=140 ; d’en diviser enfin deux en deux plaques de 63 et 42 et une en une plaque de 63 et deux de 21, afin de former cinq piles de même poids : trois de 105+63 et deux de 105+42+21: on aura donc utilisé 2 plaques de 105, 3 de 63, 2 de 42, 6 de 35, 2 de 21 et 7 de 15, soit en tout 22 plaques :
8 piles : 105, 105, 63+42, 63+42, 63+2*21, 3*35, 3*35, 7*15 ;
7 piles : 105+15, 105+15, 63+42+15, 63+42+15, 63+3*21+15, 3*35+15, 3*35+15 ; 6 piles : 105+35, 105+35, 63+42+35, 63+42+35, 63+35+2*21, 35+7*15 ;
5 piles : 105+63, 105+63, 63+3*35, 42+3*35+21, 42+21+7*15.
