A633 – Répartitions égalitaires [*** à la main]
Puce dispose d'une importante collection de plusieurs milliers de plaques en laiton nickelé et chacune d'elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu'il peut répartir successivement les N plaques en 2 piles, puis 3 piles, puis 4 piles,etc...et enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les masses des piles sont toutes identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N.
Solution proposé par Bernard Vignes
Comme le PPCM de {2,3,4,5,6,7,8}est égal à 840, la masse totale minimale des plaques est de 840g et il y a au minimum 8 plaques et le poids unitaire de chacune d'elles ne dépasse par 105 g.
Il s'agit de trouver des plaques qui permettent d'obtenir des piles de masses respectives 105g (9 piles), 120g (7 piles), 140g (6 piles), 168g (5 piles), 210g (4 piles), 280g (3 piles) et 420g (2 piles).
Avec 8 plaques de 105g chacune, on obtient aisément 8 piles ou 4 piles ou 2 piles de mêmes masses.
Pour obtenir les 7 piles de 120g et les 6 piles de 140g, il est logique de considérer des plaques de 35g et de 15g qui permettent d'obtenir les partitions suivantes :120 = 105 + 15 et 140 = 105 + 35.
Pour obtenir les 5 piles de 168g, il est logique de considérer la partition 168 = 105 + 35 + 15 + 13.
Avec 20 plaques qui se répartissent en 5*105g, 5*35g, 5*15g et 5*13g, on obtient bien 2,3,5 et 6 piles de mêmes masses mais on échoue pour obtenir les autres piles.
En substituant 1 plaque de 55g, 1 plaque de 45g, 1 plaque de 40g à une plaque de 105g + 1 plaque de 35g, on obtient :
21 plaques de poids total 840 grammes qui se répartissent de la manière suivante.
4 * 105 grammes de poids total 420 grammes 1 * 55 grammes de poids total 55 grammes 1 * 45 grammes de poids total 45 grammes 1 * 40 grammes de poids total 40 grammes 4 * 35 grammes de poids total 140 grammes 5 * 15 grammes de poids total 75 grammes 5 * 13 grammes de poids total 65 grammes
D'où:
2 piles : 4*105 = 420 et le reste
3 piles : 2*105 + 2 * 35 = 280, 1 * 105 +1 * 55 + 1 * 40 + 1 * 15 + 5 * 13 = 280 et le reste 4 piles : 2*105 = 210, 2* 105, 1 * 55 + 1 * 45 + 3 * 15 + 5 * 13 et le reste
5 piles : 4* (105 + 35 + 15 + 13 = 168) et le reste
6 piles : 4 * (105 + 35 = 140) + 1 *55 + 1 * 45 + 1 * 40) et le reste
7 piles : 4*(105 + 15 = 120) + 1 * 55 + 5 * 13 puis 3 * 35 + 1 *15 et enfin le reste
8 piles : 4 * 105 puis (3 * 35) puis (5 * 13 + 1 * 40) puis (1 * 45 + 4*15) et enfin le reste (1 * 55 + 1 *35 + 1*15)
Peut-on faire mieux que 21 plaques?
