Enoncé A633 (Diophante) Répartitions égalitaires
Puce dispose d’une très importante collection de plaques en laiton nickelé et chacune d’elles pèse un nombre entier k de grammes avec k prenant toutes les valeurs de 1 à 200 grammes.
Démontrer que Puce peut trouver dans sa collection un nombre N de plaques (N ≤ 25) dont les poids ne sont pas nécessairement distincts de sorte qu’il peut répartir successivement les N plaques en 2 piles, puis en 3 piles, puis en 4 piles, etc., et enfin en 8 piles et pour chacune des sept répartitions, les poids des piles sont tous identiques.
Pour les plus courageux : déterminer la valeur minimale de N. Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Voici une solution enN = 23 plaques, dont le poids total est 840 grammes (car 840 est le PPCM des entiers de 2 à 8) : 5 plaques de 105 g, 3 plaques de 28 g, 5 plaques de 20 g, 7 plaques de 15 g, et 3 plaques pesant respec- tivement 5g, 8g et 13 g .
Les colonnes du tableau montrent les répartitions en 8, 7, 6 puis 5 piles de même poids (105, puis 120, 140 et 168 grammes). Les répartitions en 2, 3 ou 4 piles se forment en regroupant des piles des répartitions en 6 ou 8 piles.
105 105 + 15 105 + 15 + 20 105 + 15 + 20 + 28 105 105 + 15 105 + 15 + 20 105 + 15 + 20 + 28 105 105 + 15 105 + 15 + 20 105 + 15 + 20 + 28 105 105 + 15 105 + 15 + 20 105 + 15 + 20
+13 + 15 105 105 + 15 105 + 15 + 20 105 + 15 + 20 + 8
+15 + 5 3×28 3×28 + 13 3×28 + 13 + 8
+13 + 8 +8 + 15 +15 + 15 + 5 5×20 + 5 5×20 + 5
+15 7×15
