IAE Plaques

(1)

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS

(2)

Plan

1 Cinématique, plaque épaisse de Reissner–Mindlin

2 Application du théorème des travaux virtuels Efforts intérieurs

Efforts extérieurs

Equilibre et conditions aux limites

3 Loi de comportement

4 Plaque de Kirchhoff–Love

5 Exemples

Matériau isotrope Matériau anisotrope Calcul des contraintes

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques 22 mai 2006 2 / 46

(3)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(4)

Cinématique, plaque épaisse de Reissner–Mindlin

Cinématique d’une plaque épaisse (Reissner–Mindlin)

Plaque définie dans le plan (x₁–x₂) ; normale à la plaque x₃, épaisseur h.

Déplacement défini par 3 translations, U₁, U₂, W , et deux angles,θ1etθ2, qui sont fonctions de x₁–x₂uniquement.

θ1

θ2

x1 x2

x3

u₁(x₁,x₂,x₃) =U₁+θ2x₃ u₂(x₁,x₂,x₃) =U₂−θ1x₃ u₃(x₁,x₂,x₃) =W

u=U+x₃Φ

U=U+W e₃=



 U₁ U2

0



+



 0 0 W





Φ =



 Φ₁ Φ2

0



=



 θ2

−θ1

0





(5)

Calcul du tenseur de déformation

A partir de :

u₁=U₁+θ2x₃ u₂=U₂−θ1x₃ u3=W

Il vient :

ε11=U₁_,₁+θ2,1x₃ ε22=U₂_,₂−θ1,2x₃ ε33=0

2ε12=U₁_,₂+θ2,2x₃+U₂_,₁−θ1,1x₃ 2ε23=−θ1+W_,₂

2ε31=θ2+W_,₁

(6)

Cinématique, plaque épaisse de Reissner–Mindlin

Structure du tenseur de déformation

∼ε=d

∼+x₃K

∼+b

∼

Tenseur déformation de membrane (partie symétrique du gradient de U) d∼=

U₁_,₁ (U₁_,₂+U₂_,₁)/2 (U₂_,₁+U₁_,₂)/2 U₂_,₂

Tenseur de courbure (partie symétrique du gradient deΦ) K_∼ =

θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2 (θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

Cisaillement (vecteur cisaillement)

b∼=





0 0 θ2+W_,₁

0 0 −θ1+W_,₂

θ2+W_,₁ −θ1+W_,₂ 0



 b= Φ +grad W=

θ2+W_,₁

−θ1+W_,₂

(7)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(8)

Plan

Efforts extérieurs

5 Exemples

(9)

Puissance virtuelle

−δ^Wint= Z

V

σijεijdV

= Z

V

σ_αβε_αβ+2σ_α3ε_α3

dV

= Z

S

δ^WhdS avec

δ^Wh=U₁_,₁ Z

hσ11dx₃+θ2,1

Z

hσ11x₃dx₃+U₂_,₂ Z

hσ22dx₃−θ1,2

Z

hσ22x₃dx₃ + (U1,2+U2,1)

Z

h

σ12dx3+ (θ2,2−θ1,1) Z

h

σ12x3dx3

+ (−θ1+W_,₂) Z

h

σ23dx₃+ (θ2+W_,₁) Z

h

σ31dx₃

(10)

Application du théorème des travaux virtuels Efforts intérieurs

Définition des efforts intérieurs

Variable associée définition : U₁_,₁ N₁₁=

Z

h

σ11dx₃ θ2,1 M₁₁=

Z

h

σ11x₃dx₃ U₂_,₂ N₂₂=

Z

h

σ22dx₃

−θ1,2 M22= Z

h

σ22x3dx3

(U₁_,₂+U₂_,₁)/2 N₁₂= Z

hσ12dx₃ (θ2,2−θ1,1)/2 M₁₂=

Z

h

σ12x₃dx₃ (−θ1+W_,₂)/2 T₂=

Z

h

σ23dx₃ (θ2+W_,₁)/2 T₁=

Z

h

σ31dx₃

(11)

Définitions

Tenseur des efforts de membrane : N_∼ =

N11 N12

N21 N22

N_αβ= Z

h

σ_αβdx₃

Tenseur des moments : M∼ =

M₁₁ M₁₂ M₂₁ M₂₂

M_αβ= Z

h

x₃σ_αβ^dx3

Vecteur des cisaillements transverses : T_α=

Z

h

σα3dx3

(12)

Traitement des efforts intérieurs

−δ^Wint=−δ^Wint^M−δ^Wint^F −δ^Wint^S

= Z

S

N_αβU_αβdS+ Z

S

M_αβK_αβdS+ Z

S

T_αb_αdS

Membrane :

−δW_int^M= Z

S

(N11U1,1+N22U2,2+N12(U1,2+U2,1))dS Flexion :

−δW_int^F = Z

S

(M₁₁θ2,1−M₂₂θ1,2+M₁₂(θ2,2−θ1,1))dS Cisaillement :

−δW_int^S = Z

S

(T1(θ2+W_,1) +T2(−θ1+W_,2))dS

(13)

Intégration par partie, membrane

Z

S

N₁₁U₁_,₁dS= Z

S

((N₁₁U₁)_,₁−N₁₁_,₁U₁)dS Z

S

N22U2,2dS= Z

S

((N22U2)_,2−N22,2U2)dS Z

S

N₁₂U₁_,₂dS= Z

S

((N₁₂U₁),2−N₁₂_,₂U₁)dS Z

S

N₂₁U₂_,₁dS= Z

S

((N₂₁U₂)_,₁−N₂₁_,₂U₂)dS

−δW_int^M = Z

Γ

[(N₁₁n₁+N₁₂n₂)U₁+ (N₂₁n₁+N₂₂n₂)U₂]ds

− Z

S

[(N₁₁_,₁+N₁₂_,₂)U₁+ (N₂₁_,₁+N₂₂_,₂)U₂]dS

= Z

Γ

(N

∼.n).Uds− Z

S

div N

∼.UdS

(14)

Intégration par partie, flexion

Z

S

M₁₁θ2,1dS= Z

S

((M₁₁θ2)_,₁−M₁₁_,₁θ2)dS

− Z

S

M22θ1,2dS=−

Z

S

((M22θ1)_,2−M22,2θ1)dS Z

S

M₁₂θ2,2dS= Z

S

((M₁₂θ2),2−M₁₂_,₂θ2)dS

− Z

S

M₂₁θ1,1dS=−

Z

S

((M₂₁θ1)_,₁−M₂₁_,₁θ1)dS

−δW_int^F = Z

Γ

[(M₁₁n₁+M₁₂n₂)θ2−(M₂₁n₁+M₂₂n₂)θ1]ds

− Z

S

[−(M₁₁_,₁+M₁₂_,₂)θ2+ (M₂₁_,₁+M₂₂_,₂)θ1]dS

= Z

Γ

(M

∼.n).Φds− Z

S

div M

∼.ΦdS

(15)

Intégration par partie, cisaillement

Z

S

T₁W_,₁dS= Z

S

((T₁W)_,₁−T₁_,₁W)dS Z

S

T₂W_,₂dS= Z

S

((T₂W)_,₂−T₂_,₂W)dS

−δW_int^S = Z

Γ

(T₁n₁+T₂n₂)Wds− Z

S

(T₁_,₁+T₂_,₂)WdS +

Z

S

(T₁θ2−T₂θ1)dS (provient de la rotation)

= Z

Γ

(T.n)Wds− Z

S

(divT W+T.Φ)dS

(16)

Plan

Efforts extérieurs

5 Exemples

(17)

Travail virtuel des efforts extérieurs, force de volume

δW_ext^V = Z

V

f^V.udV= Z

V

f^V.(U+W e₃+x3Φ)dV

= Z

S

(U_α Z

h

f_α^Vdx₃+W Z

h

f₃^Vdx₃+ Φ_α Z

h

x₃f_α^Vdx₃)dS

= Z

S

(U_αt_α+Wp3+ Φ_αm_α)dS

Densité surfacique d’effort de membrane : t_α= Z

h

f_α^Vdx₃ Densité surfacique d’effort normal au plan de la plaque : p3=

Z

h

f₃^Vdx3

Couple surfacique (en général nul) : m_α= Z

h

x₃f_α^Vdx₃

(18)

Application du théorème des travaux virtuels Efforts extérieurs

Travail virtuel des efforts extérieurs, frontière de la plaque

δW_ext^S = Z

∂V

f^S.u dΣ = Z

∂V

f^S.(U+W e₃+x3Φ))dΣ

= Z

Γ

(U_α Z

h

f_α^Sdx₃+W Z

h

f₃^Sdx₃+ Φ_α Z

h

x₃f_α^Sdx₃)ds

= Z

Γ

(U_αF_α+WP3+ Φ_αC_α)ds

Densité linéique d’effort de membrane : F_α= Z

h

f_α^sdx₃ Densité linéique d’effort normal au plan de la plaque : P3=

Z

h

f₃^sdx3

Couple surfacique : C_α= Z

h

x₃f_α^sdx₃

(19)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(20)

Application du théorème des travaux virtuels Equilibre et conditions aux limites

Application du principe des travaux virtuels, termes sur S

On obtient les équations d’équilibre.

−δW_int= Z

S

(div N

∼.U+div M

∼.Φ +divT W−T.Φ)dS δ^Wext=

Z

S

(t.U+Wp₃+ Φ.m)dS

Membrane

div N_∼+t=0 Moments

div M

∼−T+m=0 Cisaillement transverse

div T+p₃=0

(21)

Application du principe des travaux virtuels, termes sur Γ

On obtient les conditions aux limites.

δ^Wint= Z

Γ

(N

∼.n).U+ (M

∼.n).Φ + (T.n)Wds δ^Wext=

Z

Γ

(F.n+WP₃+ Φ.C)ds

Membrane

N_∼.n=F Moments

M∼.n=C Cisaillement transverse

T.n=P₃

(22)

Application du théorème des travaux virtuels Equilibre et conditions aux limites

Comparaison avec la théorie des poutres (1)

Théorie des plaques épaisses Théorie des poutres Reissner–Mindlin Timoshenko

Equilibre Effort

Membrane div N

∼+t=0 N_,₁+t=0 longitudinal

Equilibre Equilibre

des moments div M_∼ −T =0 M_,1−T =0 du moment

Cisaillement Cisaillement

transverse div T+p₃=0 T_,₁+p₃=0 transverse Les deux théories supposent que la structure supporte le

cisaillement dans son épaisseur

(23)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(24)

Loi de comportement

Etablissement de la loi de comportement

On considérera deux cas : Matériau isotrope (E ,ν)



 σ11

σ22

σ12



= ^E 1−ν²





1 ν ⁰

ν ¹ ⁰

0 0 1−ν







 ε11

ε22

ε12





σα3= ^E 1+νεα3

Matériau anisotrope



 σ11

σ22

σ12



= ^E 1−ν²





Q₁₁ Q₁₂ Q₁₆ Q₂₁ Q₂₂ Q₂₆ Q₆₁ Q₆₂ Q₆₆







 ε11

ε22

2ε12





On négligera les cisaillements dans ce dernier cas (plaque mince)

Q11=c4 E n+s4 E t+2c2 s2(νtn E n+2µnt) Q22=s4 E n+_{c4 E t}+2c2 s2(νtn E n+2µ_nt) Q66=c2 s2(E n+E t−2νtn E n) + (c2−s2)²µnt

Q12=c2 s2(E n+E t−4µnt) + (c4+s4)νtn E n Q16=−cs

c2 E n−_{s2 E t}−(c2−s2)(νtn E n+2µ_nt) Q26=−cs

s2 E n−_{c2 E t}+ (c2−s2)(νtn E n+2µnt)

avec E n=En/(1−νntνtn) E t=Et/(1−νntνtn)

(25)

Comportement de membrane, matériau isotrope

Par exemple : N₁₁=

Z

h

σ11dx₃= ^E 1−ν²

Z

h

(ε11+νε22)dx₃

= ^E 1−ν²

Z

h

[(U₁_,₁+x₃θ2,1) +ν(^U2,2−x₃θ1,2)]dx₃

= ^Eh

1−ν²(U1,1+νU2,2) (On a utilisé

Z

h

x₃dx₃=0) On a donc :



 N11

N22

N12



= ^Eh 1−ν²





1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν









U1,1

U2,2

(U1,2+U2,1)/2





(26)

Loi de comportement

Comportement en flexion, matériau isotrope

Par exemple : M₁₁=

Z

h

x₃σ11dx₃= ^E 1−ν²

Z

h

(x₃ε11+ν^x3ε22)dx₃

= ^E 1−ν²

Z

h

(x₃U₁_,₁+x₃²θ2,1) +ν(^x3U₂_,−x₃²θ1,2) dx₃

= ^Eh

3

12(1−ν²)(θ2,1−νθ1,2) car Z

h

x₃dx₃=0

(On a utilisé Z

h

x₃dx₃=0 et Z

h

x₃²dx₃= Z h/2

−h/2

x₃²dx₃= ^h

3

12) On a donc :



 M₁₁ M₂₂ M₁₂



= ^Eh

3

12(1−ν²)





1 ν ⁰

ν 1 0

0 0 1−ν









θ2,1

−θ1,2

(θ2,2−θ1,1)/2





(27)

Comportement en cisaillement transverse, matériau isotrope

Par exemple :

T₁= Z

hσ13dx₃= ^E 1+ν

Z

hε13dx₃

= ^E 1+ν

Z

h

(W_,₁+θ2,1)dx₃

= ^Eh

1+ν(W_,₁+θ2,1)

On a donc :

T= ^Eh

1+ν(grad W+ Φ)

(28)

Loi de comportement

Comparaison avec la théorie des poutres (calcul de la flèche)

Plaque (ép. h) Poutre b×h Reissner–Mindlin Timoshenko

Cisaillement Cisaillement

transverse div T+p₃=0 T_,₁+p₃=0 transverse

Equilibre Equilibre

des moments div M_∼−T =0 M_,1−T=0 du moment

Angle M_∼ = [D] Φ M=EIθ,1=^Ebh

3

12 θ,1 Angle Flèche T = ^Eh

1+ν(grad W+ Φ) T=µS(V_,₁+θ) ^Flèche

avec[D] = ^Eh

3

12(1−ν²)





1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν





(29)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(30)

Plaque de Kirchhoff–Love

Hypothèse de plaque mince (Kirchhoff–Love)

Une normale à la surface de la plaque reste normale pendant la déformation, ce qui implique, dans

u=U+W e₃+x₃Φ

que grad W+ Φ =0 . Les cisaillements 23 et 31 sont donc nuls.

Condition cinématique :

−θ1+W_,2=0 θ2+W_,1=0 On ne considère plus les contraintes de cisaillement transverse :

T₁=0 T₂=0 Tenseur de courbure :

K_∼ =

θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2 (θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

=

−W_,₁₁ −W_,₁₂

−W_,₂₁ −W_,₂₂

K_αβ=−W_,αβ

(31)

Définition des efforts intérieurs (plaque mince)

Variable associée définition : U₁_,₁ N₁₁=

Z

hσ11dx₃

−W_,11 M11= Z

h

σ11x3dx3

U₂_,₂ N₂₂= Z

h

σ22dx₃ W_,₂₂ M₂₂=

Z

h

σ22x₃dx₃ (U1,2+U2,1)/2 N12=

Z

h

σ12dx3

−W_,₁₂ M₁₂= Z

hσ12x₃dx₃

N₁₁et N₁₂efforts normaux, N₁₂cisaillement dans le plan de la plaque M₁₁et M₂₂moments de flexion, M₁₂moment de torsion

(32)

Nouvelles équations d’équilibre pour les moments

T1,1+T2,2+p3=0 M₁₁_,₁+M₁₂_,₂−T₁=0 M21,1+M22,2−T2=0

donne :

M₁₁_,₁₁+2M₁₂_,₂+M₂₂_,₂₂+p₃=0 soit :

div div M_∼+p3=0 M_αβ,αβ+p₃=0

(33)

Nouvelle expression des conditions aux limites

Il faut reprendre le principe des travaux virtuels, avec la seule variable W.

Changement uniquement pour la flexion :

−δ^W_int^F = Z

S

M_αβK_αβdS=− Z

S

M_αβW_,αβdS

On intègre par partie, deux fois ; ainsi :

M11W_,11= (M11W_,1)_,1−M11,1W_,1= (M11W_,1)_,1−(M11,1W)_,1+M11,11W On a donc :

des termes du genre M₁₁_,₁₁, qui restent sur S et fournissent la condition d’équilibre des termes du genre M₁₁W,1, qui vont surΓ, et fournissent une condition à la limite en couple (flexion seulement)

n.M_∼.n=n.C=C_F

des termes du genre M₁₁_,₁W , qui vont surΓ, et fournissent une condition à la limite en force :

P₃= ^d

ds(M_αβn_ατ_β) +M_αβ,βn_α

(34)

Nouvelle expression du comportement en flexion, matériau isotrope

A partir de :



 M₁₁ M₂₂ M₁₂



= ^Eh

3

12(1−ν²)





1 ν ⁰

ν ¹ ⁰

0 0 1−ν









−W_,₁₁

−W_,₂₂

−W_,₁₂





On a :

M_αβ=− ^Eh

3

12(1−ν²) ν^W,γγδ_αβ+ (1−ν)^W_,αβ D’où :

M_αβ,αβ=− ^Eh

3

12(1−ν²)^W^,αβαβ

Equation à résoudre pour W :

D∆∆W−p₃=0 avec D= ^Eh

3

12(1−ν²)

(35)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(36)

Plan

Efforts extérieurs

5 Exemples

(37)

Plaque rectangulaire (a × b) simplement supportée

Chargement sinusoïdal

p₃=P₀sin(πx₁

a )sin(πx₂ b )

W=^p⁰^a

2b² π⁴^D ^sin(πx2

b ) Solution de Navier

p₃=

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

a_mnsin(^mπx₁

a )sin(ⁿπx₂ b )

W=^a

4b⁴ π⁴D

∑

∞ m=1

∑

∞ n=1

a_mn

(m²b²+n²a²)²^sin(^mπ^x1

a )sin(ⁿπ^x2

b ) Plaque carrée sous pression uniforme p₀

W_max=^4p⁰^a

4

π⁴^D

(38)

Exemples Matériau isotrope

Plaque circulaire de rayon R en flexion

Chargement uniforme p₀

Expression du Laplacien en cylindrique :

∆W=¹ r

d dr

rdW

dr

La solution est de la forme : W(r) =^p⁰^r

3

64D+ar²ln r+br²+c ln r+d Cas d’une plaque pleine encastrée :

W(r) = ^p⁰

64D(R²−r²)² Flèche maximale au centre :

W_max=^p⁰^R

4

64D

(39)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(40)

Exemples Matériau anisotrope

Etablissement de la loi de comportement (matériau anisotrope)

termes de type «membrane» : N11=

Z

h

σ11dx3

= Z

h

(Q₁₁ε11+Q₁₂ε22+Q₁₆ε12)dx₃

= Z

h

(Q₁₁(U₁_,₁+θ2,1x₃) +Q₁₂(U₂_,₂−θ1,2x₃) +Q16(U1,2+θ2,2x3+U2,1−θ1,1x3))dx3

N₁₁= Z

h

(Q₁₁U₁_,₁−Q₁₁x₃W_,₁₁)dx₃ +

Z

h

(Q12U2,2−Q12x3W_,22)dx3

+ Z

h

(Q₁₆(U₁_,₂+U₂_,₁)−2Q₁₆x₃W_,₁₂)dx₃

(41)

Etablissement de la loi de comportement (suite)

termes de type «flexion» : M₁₁=

Z

h σ11x₃dx₃

= Z

h

(Q11ε11+Q12ε22+Q16ε12)x3dx3

= Z

h

(Q₁₁(U₁_,₁x₃+θ2,1x₃²) +Q₁₂(U₂_,₂x₃−θ1,2x₃²) +Q₁₆(U₁_,₂x₃+θ2,2x₃²+U₂_,₁x₃−θ1,1x₃²))dx₃

M₁₁= Z

h

(Q₁₁x₃U₁_,₁−Q₁₁x₃²W_,₁₁)dx₃ +

Z

h

(Q₁₂x₃U₂_,₂−Q₁₂x₃²W_,₂₂)dx₃ +

Z

h

(Q16x3(U1,2+U2,1)−2Q16x₃²W_,12)dx3

(42)

Forme matricielle de la loi de comportement





 N11

N12

M₁₁ M₂₂ M₁₂







=







Q11 Q12 Q16 Q11x3 Q12x3 Q16x3

Q12 Q22 Q26 Q12x3 Q22x3 Q26x3

Q16 Q26 Q66 Q16x3 Q26x3 Q66x3

Q₁₁x₃ Q₁₂x₃ Q₁₆x₃ Q₁₁x₃² Q₁₂x₃² Q₁₆x₃² Q₁₂x₃ Q₂₂x₃ Q₂₆x₃ Q₁₂x₃² Q₂₂x₃² Q₂₆x₃² Q₁₆x₃ Q₂₆x₃ Q₆₆x₃ Q₁₆x₃² Q₂₆x₃² Q₆₆x₃²











 U,1 V,2 V,1+U,2

−W_,₁₁

−W_,₂₂

−2W_,₁₂







Pour une meilleure lecture, on a omis l’intégrale. Il faut lire en fait : Z

h

Q₁₁dx₃etc...

Les termes linéaires en x₃produisent du couplage membrane–flexion. Ils sont nuls pour les plaques symétriques

La rigidité en flexion dépend de la séquence d’empilement

(43)

Structure de la matrice de comportement

Unités dans la loi de comportement



 N/m ____

N



=





N/m | N ____ __ ____

N | N.m









− ____

m⁻¹





Ridigité en traction, et en flexion : termes Q11et Q22

Rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion : terme Q₆₆

(44)

-20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Qij (MPa)

angle (deg.)

Q11 Q22 Q66 Q12 Q16 Q26

Fibres à 0^◦et à 90^◦pour une bonne ridigité en traction et en flexion

Fibres à 45^◦pour une bonne rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion

(45)

Efforts extérieurs

5 Exemples

(46)

Exemples Calcul des contraintes

Champ de contraintes approchées

Contraintes approchées dans chaque couche (i), d’épaisseur e_i, en considérant l’effort de membrane et le moment

Effort normal (h_i⁻et h⁺_i cotes min et max de la couche) : N_αβⁱ =

Z h⁺_i

h_i⁻

σ_αβ^dx3

Moment (h_icote moyenne de la couche) : M_αβⁱ =

Z h_i⁺

h⁻_i

σ_αβ(x₃−h_i)dx₃

Composantes 11, 22, 12 : σ_αβ=

N_αβⁱ e_i +¹²

e²_i M_αβⁱ x3−hi

e_i