IAE Poutres planes

(1)

IAE Poutres planes

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux MINES ParisTech

(2)

Plan

1 Géométrie et chargement

2 Solution de Saint-Venant

3 Principe des travaux virtuels

4 Poutres homogènes planes Cinématique

Equilibre

Loi de comportement

5 Poutres composites

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 27 avril 2009 2 / 58

(3)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(4)

Géométrie et chargement

Définition d’une poutre

On définit successivement :

Uneligne moyenne C, de point courantG, avecs, abcisse curviligne à partir deO (t,n,b)est le trièdre de Frénet orthonormé, oùRest lerayon de courbure

t=^{d OG}

ds n=Rd t

ds b=t∧n Unesection droite,Sde la poutre, dans le plan(n,b), de contourΓ Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction des

La plus grande dimension de la section droite est petite devantR, et devant la longueur de la poutre

(5)

Caractéristiques géométriques

Le centre de gravité vérifie Z

S

GM dS=0

On définit lemoment quadratique par rapport à une droite∆de la section droite, en introduisantH, projection deM∈Ssur∆

I(S,∆) = Z

S

||HM||²dS

idem moment d’inertie d’un solide autour d’une droite, mais solide plan et masse surfacique de 1

Matrice des moments quadratiques I

=





 I₂₂=

Z

S

x₃²dS I₂₃=− Z

S

x₂x₃dS I₃₂=−

Z

S

x₂x₃dS I₃₃= Z

S

x₂²dS







Dans lesdirections centrales principales, on définit lesmoments quadratiques centraux principaux

I

=





 I₂=

Z

S

x₃²dS 0

0 I₃=

Z

S

x₂³dS







(6)

Efforts extérieurs

x3

x2

x1

F M

M 2

3 p

t

p P

C 2

2 3

P3

Forces concentréesFselonx₁,P₂selonx₂,P₃selonx₃ Forces surfaciquestselonx₁,p₂selonx₂,p₃selonx₃ Moment de flexionM2autour dex₂,M3autour dex₃ Couple de torsion autour dex₁,C

(7)

Efforts intérieurs

RésultanteNselonx₁,T₂selonx₂,T₃selonx₃

Nest l’effort normal,T₂etT₃les composantes de l’effort tranchant Moment de flexion M₂autour dex₂,M₃autour dex₃

Couple de torsion autour dex₁,M₁

(8)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(9)

Solution de Saint-Venant

Hypothèse de Saint-Venant : On cherche la solution sous la forme

σ..

=





σ11 σ12 σ13

σ21 0 0 σ31 0 0





Principe de Saint-Venant : La solution trouvée pour la poutre impose une certaine répartition de contrainte sur les extrémités. Si celle-ci n’est pas vérifiée, mais que les torseurs sont égaux, la perturbation créée n’est que locale.La solution de Saint-Venant est valable loin des points de chargement (quelques fois la dimension caractéristique de la section)

(10)

Statique

Equations d’équilibre

σ11,1+σ12,2+σ13,3 = 0 σ21,1 = 0 σ31,1 = 0 Equations de Beltrami

(1+ν)σ_ij_,_ll−νσkk,llδ,ij+σ_kk_,_ij =0

−∆σ₁₁−σ11,11 = 0 (1+ν)∆σ₁₂+σ11,12 = 0 (1+ν)∆σ₁₃+σ11,13 = 0

−σ₁₁_,₂₂+ν∆σ₁₁ = 0

−σ11,23 = 0

−σ11,33+ν∆σ11 = 0

(11)

Statique

Forme de la solution

σ11=a0+a1x1+ (b0+b1x1)x2+ (c0+c1x1)x3

σ12=−^a¹

2x2−c1x2x3− ^b¹ 1+ν

x₃² 2 σ13=−^a¹

2x3−b1x2x3− ^c¹ 1+ν

x₂² 2

Conditions aux limites, surface s=L F=

Z

S

σ11dS P2= Z

S

σ12dS P3= Z

S

σ13dS

M

2= Z

S

x₃σ11dS

M

3=− Z

S

x₂σ11dS

(12)

Forme finale de la solution en contrainte

σ11=^N S+^M²

I₂ x₃−^M³ I₃ x₂ σ12=−^T³

I₂x₂x₃− ¹ 1+ν

T₂ I₃

x₃² 2 +φ,3

σ13=−^T²

I₃x2x3− ¹ 1+ν

T₃ I₂

x₂² 2 −φ,2

... On passe ensuite aux déformations, aux rotations, puis aux déplacements

(13)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(14)

Principe des travaux virtuels

On va maintenant reprendre le problème en partant d’une hypothèse cinématique et en appliquant le principe des travaux virtuels

Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan

(15)

Poutre droite à section symétrique chargée dans son plan

x1

x3

x₂

p

P F

M

t

La ligne neutre est l’axex1

La poutre se déforme dans le planx₁−x₃, qui est plan principal d’inertie L’axex1est le lieu des centres d’inertie des sections :R

Sx3dS=0

(16)

Efforts extérieurs et déplacements imposés

u^d

f^d

F^d

Ω

Déplacement imposéu^dsur la surface∂Ω_u

Force répartie imposéeF^dsur la surface∂Ω_F

Force volumique imposéef^dà l’intérieur deΩ

Champu⁰CCA (cinématiquement admissible) :

u⁰=u^d sur∂Ω_u ε_∼⁰=0.5 grad

∼ u⁰+grad

∼ Tu⁰

Champσ_∼^∗CSA (statiquement admissible) : σ_∼^∗.n=F^d sur∂Ω_F divσ_∼^∗+f^d=0 dansΩ

(17)

Evaluation du travail développé par σ

_∼

^∗ dans u ⁰

Pourσ_∼^∗CSA etu⁰CCAnonreliés par la loi de comportement

Z

Ωσ^∗_ijε⁰_ijdΩ = Z

Ω 1

2σ^∗_ij u⁰_i_,_j+u⁰_j_,_i dΩ

= Z

Ωσ^∗_iju_i⁰_,_jdΩ

= Z

Ω

σ^∗_iju⁰_i

,j−σ^∗_ij_,_ju_i⁰

dΩ

= Z

∂Ωσ^∗_ijn_ju_i⁰dS− Z

Ωσ^∗_ij_,_ju_i⁰dΩ Z

Ω

σ^∗_ijε⁰_ijdΩ = Z

∂Ω

F_iu⁰_idS+ Z

Ω f_i^du_i⁰dΩ

Théorème des travaux virtuels :

∀u⁰_i, variation autour d’un état d’équilibre (u_i⁰=0 sur∂Ω_u) Z

Ω

σ^∗_ijε⁰_ijdΩ =−δW_int=δW_ext= Z

∂ΩF

F_i^du⁰_idS+ Z

Ω f_i^du⁰_idΩ

(18)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(19)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(20)

Poutres homogènes planes Cinématique

Cinématique de la poutre de Timoshenko

L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important (et fausses dans le cas contraire).

Pour traiter le cas d’une poutreplane, on conserve dans la description géométrique deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel).

Sollicitation axe de la poutre perp à l’axe moment de flexion

«force» N T M

«déplacement» U V θ

Pour le cas d’une poutre mince, on néglige le cisaillement (modèleN,M, Navier–Bernoulli).

(21)

u₁=U⁰(x₁) +θ⁰x₃ u₃=V⁰(x₁)

ε⁰₁₁=U_,⁰₁+θ⁰_,₁x₃ 2ε⁰₁₃=V_,⁰₁+θ⁰

Plan de la ligne neutre Section

(22)

Travaux virtuels des efforts internes

δW_int=− Z

Ω

(ε⁰₁₁σ11+2ε⁰₁₃σ13)dΩ

=− Z

L

U_,⁰₁

Z

S

σ11dS+θ⁰_,₁ Z

S

x₃σ11dS+ (V_,⁰₁+θ⁰) Z

S

σ13dS

dx₁ On introduit alors naturellement les quantitésN,T,Mconjuguées deU,V,θ:

N= Z

S

σ11dS T = Z

S

σ13dS M= Z

S

x₃σ11dS ce qui donne :

δW_int=− Z

L

NU_,⁰₁+Mθ⁰_,₁+T(V_,⁰₁+θ⁰) dx₁

(23)

Traitement du travail des efforts intérieurs

A partir de :

δW_int=− Z

L

NU_,⁰₁+Mθ⁰_,₁+T(V_,⁰₁+θ⁰) dx₁

On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple : Z

L

NU_,⁰₁dx₁= Z

L

(NU⁰)_,₁−N_,₁U⁰ dx₁=

NU⁰L 0−

Z

L

N_,₁U⁰dx₁ d’où :

δ^Wint=− Z

L

−N_,₁U⁰−M_,₁θ⁰−T_,₁V⁰+Tθ⁰) dx₁

+N(0)U⁰(0)−N(L)U⁰(L) +T(0)V⁰(0)−T(L)V⁰(L) +M(0)θ⁰(0)−M(L)θ⁰(L)

(24)

Travail des efforts extérieurs

On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1=0 et x1=L), et on intègre entre 0 etLles efforts répartis. Les données sont :

les forces normalesF₀etF_L, tangentiellesP₀etP_L, les moments

M

0et

M

L,

les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales pet tangentiellet:

δW_ext=F₀U⁰(0) +F_LU⁰(L) +P₀V⁰(0) +P_LV⁰(L) +

M

0θ⁰(0) +

M

Lθ⁰(L) +

Z

L

pV⁰+tU⁰) dx₁

(25)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(26)

Poutres homogènes planes Equilibre

Caractérisation de l’équilibre

δW_int=− Z

L

−N,1U⁰−M,1θ⁰−T,1V⁰+Tθ⁰) dx₁

+N(0)U⁰(0)−N(L)U⁰(L) +T(0)V⁰(0)−T(L)V⁰(L) +M(0)θ⁰(0)−M(L)θ⁰(L)

δW_ext=F₀U⁰(0) +F_LU⁰(L) +P₀V⁰(0) +P_LV⁰(L) +M0θ⁰(0) +MLθ⁰(L) +

Z

L

pV⁰+tU⁰) dx1

Comme l’égalitéδW_int+δW_ext=0 est valable quel que soit le triplet (U⁰,V⁰,θ⁰), on trouve, en identifiant terme à terme les expressions deδW_intetδW_ext:

N(0) =−F0 N(L) =FL T(0) =−P0 T(L) =PL

M(0) =−M0 M(L) =ML

N,1+t=0 T,1+p=0 M,1−T=0

(27)

Poutres homogènes planes Equilibre

Ecriture de l’équilibre

On pose :

N= Z

S

σ11dS T = Z

S

σ13dS M= Z

S

x3σ11dS On obtient :

N_,₁+t=0 T_,₁+p=0 M_,₁−T =0

T+dT N+dN

M+dM

p t

TN M

Signification physique

pour une «tranche» de la poutre dN=−tdx₁ dT=−pdx₁ dM=Tdx₁

(28)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(29)

Poutres homogènes planes Loi de comportement

Lois de comportement : force axiale

On aEε11=σ11−ν(σ22+σ33) On négligeσ22etσ33

N= Z

S

σ11dS= Z

S

Eε11dS= Z

S

Eu₁_,₁dS

N= Z

S

EU_,1dS+ Z

S

E(θx3)_,1dS Le deuxième terme du développement est nul.

N=U_,1ES

(30)

Lois de comportement : moment

M= Z

S

x3σ11dS= Z

S

x3Eε11dS=E Z

S

x3U_,1dS+E Z

S

x3(θx3)_,1dS Le premier terme du développement est nul.

M=Eθ,1

Z

S

x₃²dS=Eθ,1I

avecI= Z

S

x₃²dS, moment quadratique par rapport àx₂, si bien que : M=^R_Sx₃σ11dS=EIθ,1

Pour une section rectangulaire, de hauteur2h et de largeur b, I=^2bh

3

(31)

Lois de comportement : cisaillement

T= Z

S

σ13= Z

S

2µε13dS= Z

S

µ(u₁_,₃+u₃_,₁)dS= Z

S

µ(θ+V_,₁)dS si bien que : T=µS(θ+V_,₁)

(32)

Lois de comportement

Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.

N=ESU_,₁ T=µS(θ+V_,₁) M=EIθ,1

V_,1=−θ+T/µS θ,1=M/EI M_,₁−T =0 T_,₁+p=0

(33)

Déformée

flexion cisaillement

La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport aux efforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :

V_,₁₁₁₁=−^p

EI V_,₁₁=−θ_,₁=−^M EI

Degré de chaque variable en fonction dex₁

p T M θ V

- - 0 1 2

- 0 1 2 3

0 1 2 3 4

(34)

Méthode de résolution

Ledéplacement horizontals’obtient en intégrant la relation : U_,₁=N/ES

Larotation relativeentre les sections s’obtient en intégrant la relation : θ,1=M/EI

Laflècheest le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation elle même, et l’autre de l’effort tranchantT :

V_,₁=−θ+T/µS

(35)

Remarques

Expression des contraintes locales

La connaissance deU,Vetθpermet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux. ('Eε11=Eu1,1) est la somme de deux termes, dus à l’élongation et

à la flexion : σ11∼=N/S+Mx₃/I

Si le cisaillement est négligeable

θ=−V_,₁ M=−EIV_,₁₁

(36)

Conditions aux limites

Poutre0<x1<L

Extrémité libre :T =0,M=0

Extrémité chargée :N(0) =−F₀,N(L) =F_L,M(0) =−

M

0,M(L) =

M

L

Encastrement :V=0,θ=0

Déplacement imposé :V=V₀,θ=θ0

Appui simple :V=0,M=0

(37)

Poutre encastrée soumise à son propre poids

Poutre0<x1<L, de hauteur2h et de largeur b, encastrée en x1=0

x1

x3

L 0

T_,₁=−ρgS T(L) =0 T(x₁) =−ρgS(x₁−L) M_,₁=T M(L) =0 M(x₁) =−¹

2ρ^gS(x₁−L)² θ,1=_EI^M θ(0) =0 θ(x1) =−ρgS

6EI

L³+ (x1−L)³ V_,₁=−θ V(0) =0 V(x₁) =ρgS

6EI x₁⁴

4 −x₁³L+³ 2x₁²L²

CommeS=2bh,I=² 3bh³ V(x₁) = ρg

2Eh² x₁⁴

4 −x₁³L+³ 2x₁²L²

(38)

Poutre encastrée soumise à son propre poids (2)

Expression de la flèche pour la poutre

V(x₁) = ρg 2Eh²

x₁⁴

4 −x₁³L+³ 2x₁²L²

Flèche pourx₁=L, pourx₁=L/2 V(L) =³ρgL⁴

8Eh² V(L/2) =¹⁷ρgL⁴ 128Eh² Flèche proportionnelle àρ/E,L⁴,h²

(Flèche àL/2 / Flèche max) = 17 128

8

3≈0,354

Application avecL=1,90 m ;g=-9,81 m/s²;ρ=380 kg/m³;h=3,0 mm ; E=8500 MPa ;Vmax=-24 cm

(39)

Forces ou moments concentrés

Poutre0<x₁<L

Lorsque la dérivée est définie :

T(x₁) =T(0) + Z x1

0

dT

dξ^dξ=T(L) + Zx1

L

dT dξ^dξ T(x₁) =T(0)−

Z x1

0

p(ξ)dξ=T(L)− Zx1

L

p(ξ)dξ Une force concentrée conduit à une discontinuité, ainsi :

T(x₁) =T(0)− Zx₁

0

p(ξ)dξ−

∑

^P⁽^Xⁱ⁾ ^{avec : 0}^<^Xⁱ^<^x¹

Exemple d’une poutre sur appuis simples, chargée en son milieu avec une force ponctuelleP. HormisPenx1=L/2, les efforts extérieurs sont :

P₀=−P/2 P_L=−P/2

(40)

Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)

x

3

x

1

P

−P/2 −P/2

0 L

Efforts tranchants aux extrémités :

T(0) =−P₀=P/2 T(L) =P_L=−P/2 Passage enx₁=L/2 :

∆T =−P Pour 0<x₁<L/2 :T(x₁) =P/2

PourL/2<x₁<L:T(x₁) =−P/2

(41)

Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)

x1

x3

P

six₁<l :T=P/2 ; M=Px₁/2 six₁>l :T=−P/2 ; M=P(l−x₁/2)

x1 P/2

T −P/2

M Pl/2

T,M

(42)

Flexion 3 points : calcul de la flèche max

L’angleθest tel queθ,1=Px₁/2EI, et, comme il est nul enx₁=l, on a : θ=^P(x₁²−l²)

4EI

La flèche, qui est nulle enx₁=0, se calcule par : V(x₁) =−

Z x1

0

θdx₁+ Z x1

0

T

µSdx₁= ^P

4EI(l²x₁−^x

3 1

3 ) + ^P 2µSx₁ Le maximum est obtenu pourx₁=l:

V(l) = ^Pl

3

6EI+ ^Pl 2µS

(43)

Flexion 3 points : valeur numérique de la flèche max

V(l) = ^Pl

3

6EI+ ^Pl 2µS Application numérique :

P=−160 N,l=250 mm,E=75000 MPa,ν=0.3,b=100 mm, h=2 mm (lest la demi-longueur,hest la demi-épaisseur)

EI=²

3100×75000×2³=40000000N.mm² µS=⁷⁵⁰⁰⁰²×1.3

× ¹⁰⁰×2=5769231N v= (−10.41−0.0017)mm

Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.

(44)

Poutre sandwich en flexion 3 points

x

1

x

₃ ^P

2l

e

2h

On considère un sandwich, avec au centre (−h<x₃<h) un matériau à faibles propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiquesE_metµm), et, de

chaque côté (−h−e<x₃<−heth<x₃<−h+e) une couche métallique (caractéristiques élastiquesE_aetµa).

(45)

Plan

Equilibre

Loi de comportement

(46)

Poutres composites

Poutre sandwich : force axiale

On a toujours : N=^R_Sσ11dS; il faut reconstruire une approximation deσ11

La contrainteσ11estdiscontinue, et : σ11(x₃) =E(x₃)ε₁₁

σ11=E(x₃) (U₁_,₁+θ₁_,₁x₃) N=U_,₁

Z

S

E(x₃)dS+θ_,1

Z

S

E(x₃)x₃dS

SiE(x₃)est une fonction paire enx₃, et indépendante dex₂; la seconde intégrale est nulle N=<ES>U_,1 avec <ES>=

Z

S

E(x3)dS

(47)

Poutres composites

Poutre sandwich : moment

M= Z

S

x3σ11dS

σ11=E(x₃) (U₁_,₁+θ1,1x₃) M=U_,₁

Z

S

x₃E(x₃)dS+θ,1

Z

S

E(x₃)x₃²dS

E(x₃)est une fonction paire enx₃, et indépendante dex₂; la première intégrale est nulle

M=<EI>θ,1 avec <EI>=

Z

S

E(x₃)x₃²dS

(48)

Poutres composites

Poutre sandwich : cisaillement

La contrainteσ13estcontinueà l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle àx₁est non nulle, alors que la surfacex₃est libre... Dans les couches externes, la contrainteσ13n’est paségale à 2µε13.

x x

1 3

σ

13

31

11

= 0

σ13

x₃

T = Z

S

σ13dS≈ Zb

0

Z+h

−h

σ13dx₂dx₃= (V_,₁+θ) Z +h

−h

2bµ(x₃)dx₃

T ≈<µS>⁺₋^h_h(V_,₁+θ)

(49)

Poutres composites

Forme générale des équations pour une poutre composite

Si la distribution des modules n’est pas paire enx₃, il y a un couplage entre traction et flexion. On doit écrire :





 N M T







=





 Z

S

E_idS Z

S

E_ix₃dS 0 Z

S

Eix3dS Z

S

Eix₃²dS 0

0 0

Z

S

µidS







=





 U_,₁ θ,1

V_,1+θ







(1)

(50)

Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max

Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurs homogénéisées des produitsEIetµS:

v= ^Pl

3

6<EI>+ ^Pl 2<µS>

L’aluminium (E_a,µa), est situé entre les cotes±het±(h+e). La mousse (E_m,µm) entre les cotes±h. Il vient donc :

<EI>=²

3b(Ea((h+e)³−h³) +Emh³)

<µS>=2bhµm

(51)

Poutres composites

Poutre sandwich en flexion 3 points

Application numérique :

L’ensemble (P=−160 N,l=250 mm,E_a=75000 MPa,E_m=20 MPa,νm=0.3, b=100 mm,e=2 mm,h=15 mm) conduit à :

<EI>=²

3×100(75000×(17³−15³) +20×15³) =7694500000N.mm²

<µS>=2×100×15× ²⁰

2×1.3 =23077N V= (−0.054−0.867)mm

C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On note l’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPa

au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».

(52)

Poutres composites

Finite element computations

Material parameter

Aluminium alloy : Young’s modulusEa, Poisson’s ratioνa= 0.3 Foam, calcul B : Young’s modulusEf, Poisson’s ratioνf

Geometry

Foam thickness2h, Alu thickness =e

Length Width of the plate = 500 mm 100 mm

Loading

Force/unit width F = 1.5 N/mm

Aluminium 2h Foam

e e F

(53)

Poutres composites

Mesh and boundary conditions

Aluminium alloy : E = 75 GPa,ν=0.3 Foam, calcul B : E = 0.907 MPa,ν=0.2 Foam, calcul C : E = 20. MPa,ν=0.2

Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate

A: Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm

BandC: Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm

SYM V1 V2 V3

Force

Bottom

(54)

Poutres composites

Coarse and Fine meshes

(55)

Poutres composites

Deformed shapes

x y

z

x y

z

x y

z

A

B

C

(56)

Poutres composites

Vertical displacement

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

0 50 100 150 200 250 300

U2 (mm)

< - - - center - - Y - - right support - - - >

Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet coarse A

fine A bending shear total

(57)

Poutres composites

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1

0 50 100 150 200 250 300

U2 (mm)

Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core fine B bending shear total

(58)

Poutres composites

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

0 50 100 150 200 250 300

U2 (mm)

Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core fine B bending shear total

IAE Poutres planes