2 Condensateur à plaques parallèles

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École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2^e année 2012–2013

Électromagnétisme

Examen (1^e), durée 1h30 documents autorisés : aucun

30 novembre 2012

Nom Prénom Note / 20

Nombre d’heures de travail

Régulier (heures par semaine) Ponctuel (avant l’examen)

Extrait du règlement des études de Polytech’Nice Sophia (section 9) : Pendant la durée des épreuves il est interdit :

• de détenir tout moyen de communication (téléphone portable, micro- ordinateur, . . . ), sauf conditions particulières à l’épreuve ;

• de communiquer entre candidats ou avec l’extérieur et d’échanger du matériel (règle, stylo, calculatrice, . . . ) ;

• d’utiliser, ou même de conserver sans les utiliser, des documents ou matériels non autorisés pendant l’épreuve.

Toute infraction aux instructions énoncées ci-avant ou tentative de fraude dû- ment constatée entraîne l’application du décret N^o95-842 du 13 juillet 1995 relatif à la procédure disciplinaire dans les établissements publics d’enseigne- ment supérieur.

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1 Région équipotentielle

La phrase

« Un conducteur (plus ses cavités) forme une région équipotentielle »

est valide sous certaines conditions ; on considère, dans ce qui suit, que ces conditions sont vérifiées.

a. Écrire les conditions nécessaires à la validité de cette phrase.

b. Donner l’expression du champ électrique dans les différentes parties de cette région.

c. Montrer que, effectivement, deux points A et B de cette région sont au même potentiel (sans oublier d’examiner le cas où A ou/et B se trouvent à la surface du conducteur).

d. Donner une expression de l’énergie électrostatiqueUeen fonction de la charge totale Qet du potentielV de cette région.

e. On considère maintenant deux régions équipotentielles (telles qu’elles sont définies dans la phrase initiale), àV₊ etV−, chargées de+Q,−Q, respectivement (Q >0).

Donner une expression de l’énergie électrostatique globale en fonction de Q et de la différence de potentiel entre les deux régionsU =V+−V−.

Remarque 1 L’énergie électrostatique U^e est donnée par les expressions suivantes :

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PN

i=1qiV(~r_i) (ensemble de N charges ponctuelles) ; ¹₂R

Vρ(~r)V(~r) dV (charges volu- miques) ; ¹₂R

Sρs(~r)V(~r) dS (charges surfaciques) ; ¹₂R

Γρl(~r)V(~r) dl(charges linéiques).

2 Condensateur à plaques parallèles

La dernière question de l’exercice précédent parle d’un condensateur. On prendra ici le cas d’un condensateur à plaques parallèles situées àz=−d/2 (charge−Q) etz= +d/2 (charge+Q). Les deux plaques sont séparées par l’air (mêmes propriétés que le vide). En négligeant les « effets de bord », on peut considérer que les plaques (de surface réelleA) sont infinies et que la charge y est répartie de façon uniforme. (Cette approximation est valide à condition que la distance entre les plaques reste beaucoup plus petite que leurs dimensions.)

a. Utiliser la méthode de votre choix pour donner une expression du champ électrique partout dans l’espace.

b. Utiliser la définition de la différence de potentiel pour obtenir l’expression de U = V+−V− entre les plaques du condensateur.

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c. Dans la dernière question de l’exercice précédent on a calculé l’énergie électro- statique d’une telle structure. On appliquera ici l’autre approche pour calculer Ue = ¹₂R

Vǫ₀E²(~r) dV (on intègre partout dans l’espace et on considère bien sûr que les plaques du condensateur ont une surface égale à A). Comparer les deux résultats.

On commence à déplacer la plaque supérieure du condensateur, dez= ^d₂ àz= ^d₂+h.

Les deux plaques ne sont pas connectées à une structure externe (p.ex. pile) ce qui signifie que la charge sur chaque plaque reste constante pendant ce mouvement.

d. Calculer l’énergie électrostatique Ue^′ quand les plaques sont espacées de d+h.

e. Calculer le travail W^′ qu’on dépense pour effectuer ce mouvement. (Les charges surfaciques sur les plaques se trouvent à un endroit où le champ électrique est discontinu. On peut démontrer — mais on ne le fera pas — que la valeur du champ électrique sur les charges est égale à sa valeur moyenne des deux côtés.)

f. Trouver une relation entreUe,Ue^′ etW^′.

On examine maintenant le même déplacement, d’une distance initialedà une nouvelle distanced+h, mais cette fois-ci les plaques du condensateur sont connectées à une pile quimaintient la différence de potentiel constante, égale à la valeurU initiale. Les charges peuvent maintenant se déplacer d’une plaque à l’autre à travers la pile.

g. Calculer l’énergie électrostatiqueUe^′′ quand les plaques sont espacées ded+h.

h. Calculer le travail W^′′ qu’on dépense pour effectuer ce mouvement.

i. Calculer le travailW_qqu’on dépense pour déplacer les charges d’une plaque à l’autre pendant ce mouvement.

j. Trouver une relation entreUe,Ue^′′,W^′′ etW_q.

On revient à la distance d’originedet on insère entre les plaques du condensateur un matériau diélectrique de permittivité relativeǫr = 1 +χesous forme d’un parallélépipède de volume A×d. Le champ électrique polarise le diélectrique et crée un champ de polarisation P~ = ǫ₀χ_eE~. À son tour, la polarisation génère des charges à l’intérieur du matériau, de densité volumique ρ^liées = −divP~, ainsi qu’à sa surface, de densité sur- facique ρ^{s liées} =P~·nˆ (vecteur normal nˆ sortant de la surface fermée du diélectrique).

On étudiera ce phénomène étape par étape en utilisant la superposition.

k. On note E~⁽⁰⁾ le champ électrique entre les plaques sans le diélectrique, calculé à la première question de cet exercice. Ce champ provoque dans le diélectrique la polarisationP~⁽⁰⁾ =ǫ0χeE~⁽⁰⁾ qu’on calculera.

l. Donner l’expression des densités de charges de polarisation ρ⁽⁰⁾liées (dans le diélec- trique) et deρ⁽⁰⁾_{s liées} (sur les différentes surfaces du diélectrique).

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m. La configuration des charges obtenue à la question précédente ressemble à celle d’un condensateur à plaques parallèles et crée un nouveau champ électrique,E~⁽¹⁾. Utiliser à nouveau le résultat de la question (a) pour donner l’expression de E~⁽¹⁾ généré par ces charges de polarisation.

n. Le champ E~⁽¹⁾ provoque à son tour la polarisationP~⁽¹⁾ =ǫ₀χ_eE~⁽¹⁾ qui génère les charges de polarisationρ⁽¹⁾liées etρ⁽¹⁾s liées (donner les expressions).

o. De la même façon qu’on a obtenu le champ E~⁽¹⁾, on peut maintenant obtenir le champ E~⁽²⁾ créé par les charges ρ⁽¹⁾. De manière générale, écrire l’expression du champ électriqueE~⁽ⁱ⁾ créé par les chargesρ⁽ⁱ_liées⁻¹⁾ etρ⁽ⁱ_{s liées}⁻¹⁾ .

p. Le champ total dans le diélectrique est la somme de tous ces champs électriques, E~ =P∞

i=0E~⁽ⁱ⁾. Donner l’expression de E~.

q. Utiliser le résultat de la question (b) pour donner l’expression de la différence de potentiel U en présence du diélectrique.

r. Donner l’expression de la capacitanceC = ^Q_U.

s. Quel est l’intérêt d’ajouter un diélectrique entre les plaques d’un condensateur ? (il y a plus qu’une raison !)

Remarque 2 La série infinie P∞

i=0xⁱ = ₁₋¹_x si|x|<1.

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