IAE Homogénéisation

(1)

40 60 80 100 120 140 160

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (GPa)

f

Reuss Voigt

IAE Homogénéisation

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS

(2)

Plan

Images des hétérogénéités

Théorème de l’énergie

Définitions Moyennes

Localisation de la contrainte et de la déformation

Bornes

Bornes de Voigt et Reuss

Application au comportement élastique linéaire isotrope

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Homogénéisation 24 avril 2006 2 / 52

(3)

Plan

Bornes

(4)

Microstructures...

Acier austéno-ferritique

Devillers, 1997

(5)

Microstructures...

Alliage Cu-Zn-Al

(6)

Microstructures...

Grain Ti6242

Jousset, 1999

(7)

Microstructures...

Revêtement de zinc

Parisot, 2001

(8)

Microstructures...

Mousse de Nickel

200 mµ

Dillard, 2001

(9)

Microstructures...

Microstructureγ^–γ⁰

Espié, 1997

(10)

Microstructures...

Béton avec fibres métalliques

Renard, 1999

(11)

Microstructures...

Composite tissé

Baxevenakis, 1996

(12)

Microstructures...

Composite tissé (phase de rupture)

Baxevenakis, 1996

(13)

Microstructures...

SiC-SiC tissé monocouche

Munier, 1994

(14)

Echelles...

(15)

Notion de volume élémentaire représentatif

16000 grains 1000 grains

(16)

Exemple d’évaluation du champ de déformation locale par éléments finis

28×28×28 mesh Local field of total axial strain

(17)

Bilan

Taille caractéristique des hétérogénéités à prendre en compte, d Taille caractéristique du volume élémentaire représentatif, ou VER, l Taille de la structure à calculer à l’aide du modèle homogénéisé, L

Dimension caractéristique des fluctuations du chargement appliqué à la structure, L_w

Séparabilité des échelles : dlL,L_w

(18)

Plan

Bornes

(19)

Théorème de Stokes, de Green

Le théorème de Stokes s’applique à une fonction u deR³→R Z

V

u_,_idV = Z

∂V

u n_idS

Le théorème de Green s’applique à un champ de vecteur u Z

V

div(u)dV= Z

∂V

u.ndS

Z

V

ui,idV= Z

∂V

uinidS

Source – Flux

(20)

Evaluation de l’énergie de déformation

Champ de contrainte statiquement admissibleσ_∼^∗ Champ de déplacement cinématiquement admissible_∼ε⁰

Z

Vσ_∼^∗:_∼ε⁰^dV = Z

Vσ^∗ijε⁰ijdV= Z

Vσ^∗iju_i⁰_,_jdV

= Z

V

σ^∗_ij^u_i⁰

,j−σij,ju_i⁰ dV

= Z

∂V

σ^∗_ijnju⁰_idS− Z

V

σij,ju⁰_idV

Z

V

σ∼

∗:ε_∼⁰^dV = Z

∂V

(σ_∼^∗.n).u⁰dS− Z

V

d ivσ_∼^∗.u⁰dV

σ_∼^∗et_∼ε⁰ne sont en général pas liés par la loi de comportement

(21)

Potentiels élastiques

Comportement élastique, il existe un potentiel convexe W⁰: σ∼=∂^W⁰

∂ε_∼ Comportement élastique linéaire :

W⁰(ε_∼) =¹ 2ε_∼:C

≈:ε_∼ Potentiel dual :

∼ε=∂^W^∗

∂σ_∼ Comportement élastique linéaire :

W^∗(σ_∼) =¹ 2σ_∼:S

≈:σ_∼

σ⁰ σ⁰ ε⁰ σ⁰6=σ^∗

(22)

Energie potentielle, énergie complémentaire

On utilise la positivité de la forme quadratique : 1

2(σ_∼^∗−C

≈:ε_∼⁰):S

≈:(σ_∼^∗−C

≈:_∼ε⁰)>⁰ ∀ε_∼⁰ ∀σ_∼^∗ 1

2σ_∼^∗:S

≈:σ_∼^∗+¹ 2ε_∼⁰:C

≈ :_∼ε⁰−σ_∼^∗:ε_∼⁰>⁰ 1

2 Z

Vσ_∼^∗:S

≈:σ_∼^∗^dV+¹ 2 Z

Vε_∼⁰:C

≈:_∼ε⁰^dV− Z

∂V

(σ_∼^∗.n).u⁰dS+ Z

V

d ivσ_∼^∗.u⁰dV>⁰ On décompose la surface extérieure,∂V=∂Vu∪∂VF; il vient :

F

⁰⁽^u⁰^{) +}

F

^∗⁽σ_∼^∗)>⁰ ∀u⁰ ∀σ_∼^∗

F

⁰⁽^u⁰^{) =}¹

2 Z

V

∼ε

0:C

≈ :_∼ε⁰dV− Z

∂VF

F^du⁰dS− Z

V

f^du⁰dV

F

^∗⁽σ_∼^∗) =¹ 2 Z

Vσ_∼^∗:S

≈:σ_∼^∗^dV− Z

∂Vu

(σ_∼^∗.n).u^ddS

(23)

Energie potentielle, énergie complémentaire des champs réels

En choisissant le champ de déplacement réel u et le champ de contrainte réelσ_∼^:

F

⁰⁽^u^{) +}

F

^∗⁽σ_∼) =0 carσ_∼=C

≈ :_∼ε

(

F

^∗(σ_∼^∗)−

F

^∗(σ_∼)) + (

F

⁰⁽^u⁰⁾⁻

F

⁰⁽^u⁾⁾>⁰ ∀σ_∼^∗ ∀u⁰

Le champ de déplacement réel u minimise

F

⁰⁽^u⁰⁾; le champ de contrainte réelσ_∼ minimise

F

^∗(σ_∼^∗)

On a donc l’encadrement

−

F

^∗(σ_∼^∗)6−

F

^∗(σ_∼) =

F

⁰⁽^u⁾6

F

⁰⁽^u⁰⁾

(24)

Plan

Bornes

(25)

Plan

Bornes

(26)

Moyenne d’un champ de déformation

On considère un champ de déplacement cinématiquement admissible tel que u⁰=u^dsur∂^Vu, d’où on calcule le tenseur de déformation_∼ε⁰

Moyenne de_∼ε⁰sur le volume V : _∼ε⁰

= ¹ V

Z

V_∼ε⁰^dV ε⁰ij

= ¹ 2V

Z

V

(u_i⁰_,_j+u⁰_j_,_i)dV

= ¹ 2V

Z

∂V

(u_i⁰nj+u⁰_jni)dS

_∼ε⁰

= ¹ V

Z

∂V

u⁰⊗^s ndS Avec :

u⁰⊗^sn=¹

2(u⊗n+n⊗u)

(27)

Moyenne d’un champ de contrainte

On considère un champ de contrainte statiquement admissible,σ_∼^∗^{, tel que} d ivσ_∼^∗=0 sur V etσ_∼^∗.n=F^dsur∂^VF

Moyenne sur le volume V : σ_∼^∗_ij

= ¹ V

Z

V

σ∼

∗ ijdV

= ¹ V

Z

V

(σ_∼^∗ikx_j)_,_kdV

= ¹ V

Z

∂V

σ_∼^∗_ikⁿkx_jdS

hσ_∼^∗i= ¹ V

Z

∂V

(σ_∼^∗.n)⊗x dS

(28)

Travail des forces internes

On considère un champ de contrainte statiquement admissible,σ_∼^∗, et un champ de déplacement cinématiquement admissible, u⁰

Moyenne :

σ_∼^∗:ε_∼⁰

= ¹ V

Z

V

σ_∼^∗_ijε⁰_ijdV

= ¹ V

Z

V

σ_∼^∗iju_i⁰_,_jdV (σ_∼^∗^symétrique)

= ¹ V

Z

V

(σ_∼^∗_iju_i⁰)_,jdV (d ivσ_∼^∗=0)

= ¹ V

Z

∂V

(σ_∼^∗.n).u⁰dS

(29)

Conditions aux limites

Condition en déformations homogènes aux contours u=E

∼.x ∀x∈∂V (E

∼ tenseur symétrique constant) Condition en contraintes homogènes aux contours

σ∼.n=Σ_∼.n ∀x∈∂V (Σ_∼tenseur symétrique constant) Périodicité : pavage de l’espace avec la cellule V , condition mixte

u=E

∼.x+v ∀x∈V (v est périodique) σ_∼.n prend des valeurs opposées sur les faces opposées de V

(30)

Moyennes

Existence et unicité des solutions des trois problèmes aux limites précédents Dans tous les cas :

hσ_∼i=Σ_∼ hε_∼i=E

∼

Travail des forces internes (lemme de Hill–Mandel) : hσ_∼:ε_∼i=hσ_∼i:hε_∼i=Σ_∼:E_∼

(31)

Calcul de la moyenne h ε

_∼

⁰ i en condition de déformations homogènes au contour

_∼ε⁰

= ¹ V

Z

∂V

u⁰

⊗s ndS

= ¹ V

Z

∂V

(E

∼.x)⊗^s ndS ε⁰ij

= ¹ 2V

Z

∂V

(E_ikx_kn_j+E_jkx_kn_i)dS

= ¹ 2V(Eik

Z

V

xk,jdV+Ejk

Z

V

xk,idV)

= ¹

2V(E_ikVδkj+E_jkVδki)

= ¹

VE_ijV=E_ij

(32)

Calcul de la moyenne h σ

_∼

^∗ i en condition de contraintes homogènes au contour

σ_∼^∗_ij

= ¹ V

Z

∂V

σ∼

∗ iknkxjdS

= ¹ V

Z

∂V

Σ∼ikn_kx_jdS

= ¹ VΣik

Z

∂V

n_kx_jdS

= ¹ VΣik

Z

V

xj,kdV

= ¹

VΣikVδjk =Σij

(33)

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de déformations homogènes au contour ( ∂ ^V

F

= ∅ ⁾

σ^∗_ij :ε⁰_ij

= ¹ V

Z

∂V

σ^∗_ijnju_i⁰dS

= ¹ V

Z

∂V

σ^∗_ijⁿjE_ikx_kdS

= ¹ VE_ik

Z

∂Vσ^∗ijx_kn_jdS

= ¹ VEik

Z

V

σ^∗_ijxk

,jdV

= ¹ VE_ik

Z

Vσ^∗ijx_k_,_jdV

= ¹ VEik

Z

V

σ^∗_ijδkjdV

= ¹ E

Z σ^∗^dV=E hσ^∗i

(34)

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de contraintes homogènes au contour ( ∂ ^V

u

= ∅ ⁾

σ^∗ij :ε⁰ij

= ¹ V

Z

∂Vσ^∗ijn_ju⁰_idS

= ¹ V

Z

∂V

Σijn_ju_i⁰dS

= ¹ VΣij

Z

∂V

n_ju_i⁰dS

= ¹ VΣij

Z

V

u_i⁰_,_jdV

= ¹ VΣij

Z

V

ε⁰_ijdV

=Σij

ε⁰ij

(35)

Plan

Bornes

(36)

Définitions Localisation de la contrainte et de la déformation

Tenseurs de concentration, de localisation

Concentration de déformation, A

≈:

∼ε(x) =A

≈(x):E

∼

Localisation de contrainte, B

≈:

σ_∼(x) =B

≈(x):Σ_∼ Propriétés de A

≈et B

≈:

<A

≈>=<B

≈>=I

≈

avec I_ijkl=¹

2(δikδjl+δilδjk)

(37)

Modules effectifs, souplesses effectives

Tenseur des modules local, c

≈(x); tenseur des modules homogénéisé, C

≈ : σ_∼(x) =c

≈(x):_∼ε(x) Σ_∼=C

≈:E

∼

Σ_∼=hσ_∼i=<c

≈:_∼ε>=<c

≈:A

≈:E

∼>=<c

≈:A

≈>:E

∼

Le tenseur C

≈ est une moyenne pondérée de c

≈: C≈ =<c

≈(x):A

≈(x)>

Tenseur de souplesse local, s

≈(x); tenseur de souplesse homogénéisé, S

≈: ε∼(x) =s

≈(x):σ_∼(x) E

∼=S

≈:Σ_∼ E∼=hε_∼i=<s

≈:σ_∼>=<s

≈:B

≈:Σ_∼>=<c

≈:B

≈>:Σ_∼ Le tenseur S

≈est une moyenne pondérée de s

≈:

(38)

Définitions Localisation de la contrainte et de la déformation

Définition énergétique

On calcule le double de l’énergie élastique hσ_∼:ε_∼i=E

∼:C

≈:E

∼=Σ_∼:S

≈:Σ_∼=Σ_∼:C

≈

−1:Σ_∼

hσ_∼:_∼εi=<ε_∼:c

≈:ε_∼>=<E

∼:A

≈:c

≈:A

≈:E

∼>=E

∼ :<A

≈:c

≈:A

≈>:E

∼

hσ_∼:ε_∼i=<σ_∼:s

≈:σ_∼>=<Σ_∼:B

≈:s

≈:B

≈:Σ_∼>=Σ_∼:<B

≈:s

≈:B

≈>:Σ_∼ C≈=<A

≈:c

≈:A

≈>=<B

≈:s

≈:B

≈>⁻¹ On a de même :

S≈=<B

≈:s

≈:B

≈>=<A

≈:c

≈:A

≈>⁻¹ On montre, en utilisant le lemme de Hill et le fait que<A

≈>=<B

≈>=I

≈: C≈ =<A

≈:c

≈:A

≈>=<B

≈:s

≈:B

≈>⁻¹=<c

≈:A

≈>

(39)

Plan

Bornes

(40)

Plan

Bornes

(41)

Borne supérieure de Voigt

On se place en déformations homogènes au contour,∂^VF =∅^:

F

⁰⁽^u⁰^{) =}¹

2 Z

V

ε∼

0:c

≈:ε_∼⁰^dV Borne supérieure de l’énergie potentielle :

1 2 Z

V

∼ε:c

≈:_∼ε^dV6¹ 2 Z

V

∼ε

0:c

≈:_∼ε⁰^dV Energie du champ réel :

1 2 Z

V_∼ε:c

≈:_∼ε^dV =¹ 2 Z

Vσ_∼:_∼ε^dV=¹ 2VΣ_∼:E

∼=¹ 2V E

∼:C

≈ :E

∼

On choisit le champ u⁰=E_∼.x compatible avec les liaisons, donc_∼ε⁰=E_∼ : 1

2V E_∼:C

≈ :E_∼6¹ 2 Z

V

E_∼:C

≈:E_∼dV Borne supérieure des modules :

(42)

Bornes Bornes de Voigt et Reuss

Borne inférieure de Reuss

On se place en contraintes homogènes au contour,∂V_u=∅^:

F

^∗⁽σ_∼^∗) =¹

2 Z

Vσ_∼^∗:s

≈:σ_∼^∗^dV Borne supérieure de l’énergie complémentaire :

1 2 Z

V

σ_∼:s

≈:σ_∼^dV 6¹ 2 Z

V

σ∼

∗:s

≈:σ_∼^∗^dV Energie du champ réel :

1 2 Z

V

σ_∼:s

≈:σ_∼dV =¹ 2 Z

V

σ_∼:_∼εdV=¹ 2VΣ_∼:E

∼=¹ 2VΣ_∼:S

≈:Σ_∼ On choisit le champ F^d=Σ.x ∀x∈∂V , doncσ_∼^∗=Σ_∼:

1 2VΣ_∼:S

≈:Σ_∼6¹ 2 Z

VΣ_∼:S

≈:Σ_∼^dV Borne supérieure des souplesses :

Σ_∼:S

≈:Σ_∼6Σ_∼:<s

≈>:Σ_∼ ∀Σ_∼

(43)

Plan

Bornes

(44)

Bornes Application au comportement élastique linéaire isotrope

Modules d’un milieu élastique linéaire isotrope (1/2)

Loi de comportement locale :

σij=λεllδij+2µεij

Définition du coefficient de compressibilité, k , relation entre les traces : σll = (3λ+2µ)εll=3kεll traceσ_∼=3ktraceε_∼ Module de cisaillement,µ, relation entre les déviateurs s_∼et e_∼:

sij=2eij s_∼=2µe_∼ On introduit I

≈, J

≈, K

≈ tels que : I_ijkl=¹

2(δijδkl+δilδjk) K_ijkl=¹

3δijδjk J

≈=I

≈−K

≈

On a :

K≈ :_∼ε=trace(_∼ε)I

∼ J

≈:ε_∼=e

∼

(45)

Modules d’un milieu élastique linéaire isotrope (2/2)

D’où l’expression du tenseur des modules d’élasticité : σ_∼=s

∼+trace(σ_∼)I

∼=2µe

∼+3ktrace(ε_∼)I

∼= (2µJ

≈+3k K

≈):_∼ε D’où l’expression du tenseur des souplesses :

∼ε= 1

2µ^J^≈+ ¹ 3kK

≈

:σ_∼ Propriétés de J

≈et K

≈ : J≈:J

≈=J

≈ K

≈ :K

≈=K

≈ J

≈::J

≈=1 K

≈::K

≈=1 J

≈:K

≈=0

≈

(46)

Borne supérieure des modules de compressibilité d’un milieu élastique linéaire isotrope

Voigt : E

∼:C

≈ :E

∼ 6^E_∼:<c

≈>:E

∼ ∀E

∼

Champ d’essai E_∼ =





1 0 0

0 1 0

0 0 1



 soit Eij=δij

E∼:C

≈ :E

∼=I

∼:

2µ^effJ

≈+3k^effK

≈

:I

∼=2µ^effJ

≈::3K

≈+3k^effK

≈::3K

≈ =9k^eff E∼ :<c

≈>:E

∼=9<k>

k^eff 6<k>

(47)

Borne inférieure des modules de compressibilité d’un milieu élastique linéaire isotrope

Reuss : Σ_∼:S

≈:Σ_∼6Σ_∼:<s

≈>:Σ_∼ ∀Σ_∼

Champ d’essai S

∼=





1 0 0

0 1 0

0 0 1



 soit S_ij =δij

Σ_∼:S

≈:Σ_∼=I

∼: 1

2µ^eff^J^≈+ ¹ 3k^effK

≈

:I

∼= ¹ 3k^eff Σ_∼:<c

≈>:Σ_∼= 1

3k

1 k^eff 6

1 k

(48)

Bornes des modules de cisaillement d’un milieu élastique linéaire isotrope

Champs d’essai pour Voigt E

∼=





0 1 0

1 0 0

0 0 0



, pour Reuss S

∼=





0 1 0

1 0 0

0 0 0





Voigt :

E_∼:C

≈:E_∼ =4µ^eff 6 ^E∼:<c

≈>:E_∼=<4µ>

Reuss :

Σ∼:S

≈:Σ_∼= ⁴

µ^eff 6 Σ_∼:<s

≈>:Σ_∼= 4

µ

(49)

Encadrement des modules

Cas général

1 k

−1

6^k^eff6<k>

1 µ

−1

6µ^eff 6<µ>

Pour deux phases 1 et 2, de fraction volumique f et 1−f : 1

f

k₁+¹−f k₂

6^k^eff6^{f k}¹+ (1−f)k₂

1 f

µ₁+¹−f µ₂

6µ^eff 6^fµ1+ (1−f)µ2

(50)

Encadrement des modules pour deux contrastes différents

40 60 80 100 120 140 160 180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (GPa)

f

Reuss Voigt

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (GPa)

f

Reuss Voigt

k1= 60 GPa k1= 6 GPa

k2=180 GPa k2=180 GPa

(51)

Dispersion relative pour deux contrastes différents

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (GPa)

f

delta k / k

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (GPa)

f

delta k / k

k₁= 60 GPa k₁= 6 GPa

k₂=180 GPa k₂=180 GPa

kVoigt−kReuss

k_Voigt

(52)

Encadrement du module de Young

On utilise

1 E = ¹

3µ+ ¹ 9k Il vient

E⁻¹⁻¹

6^E^eff 6 1

3<µ>+ ¹ 9<k>

−1

Si et seulement si le coefficient de Poisson est uniforme

<µ>= <E>

2(1+ν) <3k>=<E>

1−2ν E⁻¹−1

6^E^eff 6<E>

IAE Homogénéisation

IAE Homogénéisation

Plan

Plan

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Microstructures...

Echelles...

Notion de volume élémentaire représentatif

Exemple d’évaluation du champ de déformation locale par éléments finis

Bilan

Plan

Théorème de Stokes, de Green

Evaluation de l’énergie de déformation

Potentiels élastiques

Energie potentielle, énergie complémentaire

F

F

F

F

Energie potentielle, énergie complémentaire des champs réels

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Plan

Plan

Moyenne d’un champ de déformation

Moyenne d’un champ de contrainte

Travail des forces internes

Conditions aux limites

Moyennes

Calcul de la moyenne h ε

0 i en condition de déformations homogènes au contour

Calcul de la moyenne h σ

∗ i en condition de contraintes homogènes au contour

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de déformations homogènes au contour ( ∂ V

= ∅ )

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de contraintes homogènes au contour ( ∂ V

= ∅ )

Plan

Tenseurs de concentration, de localisation

Modules effectifs, souplesses effectives

Définition énergétique

Plan

Plan

Borne supérieure de Voigt

F

Borne inférieure de Reuss

F

Plan

Modules d’un milieu élastique linéaire isotrope (1/2)

Modules d’un milieu élastique linéaire isotrope (2/2)

Borne supérieure des modules de compressibilité d’un milieu élastique linéaire isotrope

Borne inférieure des modules de compressibilité d’un milieu élastique linéaire isotrope

Bornes des modules de cisaillement d’un milieu élastique linéaire isotrope

Encadrement des modules

Encadrement des modules pour deux contrastes différents

Dispersion relative pour deux contrastes différents

Encadrement du module de Young

⁰ i en condition de déformations homogènes au contour

^∗ i en condition de contraintes homogènes au contour

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de déformations homogènes au contour ( ∂ ^V

= ∅ ⁾

Démonstration du lemme de Hill–Mandel en condition de contraintes homogènes au contour ( ∂ ^V

= ∅ ⁾