Contribution à l'étude du mouvement de deux petites masses en présence d'une masse fixe placée à l'origine

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Contribution à l’étude du mouvement de deux petites

masses en présence d’une masse fixe placée à l’origine

Adnan Benchi

To cite this version:

Adnan Benchi. Contribution à l’étude du mouvement de deux petites masses en présence d’une masse

fixe placée à l’origine. Astrophysique [astro-ph]. Observatoire de Paris, 1986. Français. �tel-01958576�

DOCTEUR DE L’OBSERVATOIRE DE PARIS

OBS<P

0C03

par

ADNAN B E N C H I

Spécialité :

Astronomie dynamique et statistique

Sujet de la thèse : CONTRIBUTION A L’ETUDE DU MOUVEMENT DE DEUX

PETITES MASSES EN PRÉSENCE D’UNE MASSE FIXE PLACÉE A L’ORIGINE : LE CAS RECTILIGNE D’ÉNERGIE NULLE.

Soutenue le 1986 devant la commission d’examen :

M. _{J. DELHA YE} astronome titulaire, Observatoire de Paris

Mme M. IRIGOYEN maître-assistant, Université de Paris VI

M. C. MARCHAL _{ingénieur à T ONERA}

M. F. NAHON _{professeur à l’Université de Paris VI} M. _{J. CHAPRONT directeur du Bureau des Longitudes}

THESE

présentée pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’OBSERVATOIRE DE PARIS

par

ADNAN B E N C H I

Spécialité :

Astronomie dynamique et statistique

^On

Sujet de la thèse : CONTRIBUTION A L’ETUDE DU MOUVEMENT DE DEUX

PETITES MASSES EN PRÉSENCE D’UNE MASSE FIXE PLACÉE

A L’ORIGINE : LE CAS RECTILIGNE D’ÉNERGIE NULLE.

Soutenue le 1986 devant la commission d’examen :

M. _/• DELHA YE astronome titulaire, Observatoire de Paris

Mme M. IRIGO YEN maître-assistant, Université de Paris VI

M. C. MARCHAL _{ingénieur à T ONERA}

M. F. NAHON _{professeur à l’Université de Paris VI} M. _/• CHAPRONT _{directeur du Bureau des Longitudes}

RIMRCIIM&/7S

2e

voudnaiA

Aoulignen

la

pont

impontante

pniAe

pan.

MonAieun

Tennand

NAHON,

PnoJeAAeun

à

l’llnivenAité

de.

PaniA

VI,

SeA

conAe.HA

inceAAantA

et

InAtnu.ctIJLA

m'ont

peniniA

de

menen

à

Lien

cette

thÀAe.

2e.

Lui

témoigne

ma

pnojonde

neconnaiAAance

et

je

tienA

à

lui

expnimen.

ma

pluA

pnojonde

gnatitude

et

Lui

cudneAAe meA pLuA vIJa nemenciementA.

2e

pnojite

de

cette

occaAion

poun

expnimen

meA

neApectueux

nemenciementA à MonAieun Le PnoJeAAeun y, IHIRij gui m’a penmiA, pan AeA counA, d’appnojondin meA connalAAanceA en mécanique

cèle, a te.

2e tiejnA auAAi à nemencien tnÂA vivement MonAieun Le

PnoJex>-Aeun 2• DtlHAyt, Dinecteun du D.I.A, à l’OLAenvatoine de PaniA poun la confiance gu il m’a accondée en m’accueillant à

l’OÜAen-vatoine.

2 * expnime

meA

nemenciementA

Lca

plua

dIJa

à

MonAieun C,

MARCHAI gui m’a penmiA,

pan aca

counA,

d’appnojondin

meA connalAAanceA Aun Le mouvement deA AatelliteA antiJicieJLA

et gui m’a aieLé poun Jaine le Atage de D.I.A.

2’ expnime

ouaa!

meA

nemenciementA

leA

pluA

viJ.A

à

Madame Inigoyen, Maitne de Conjénence à l'Univenaité PaniA II, gui a Lien voulu panticipen à ce 2^y*

2’ expnime

auAAi

meA

nemenciementA

Lca

pluA

vijA

à

MonAieun

2•

CHAPRON /,

Dinecteun

du

Buneau

de.A

LongitudeA,

gui

a Lien voulu panticipen à ce 2u.ny,

MeA

nemenciementA

vont

également

à

touA

lee>

PnoJeAAeunA

et touA leA MaiineA de Conjénence de l’OLAenvatoine de PaniA.

2e

nemencie

tnèA

vivement

Madame

COLUI

gui

m’a

aidé

poun

tnouven LeA calculA numéniguen.

2e

nemencie

auAAi

tnèA

vivement

Madame

B.

RABAN gui

a

Lien

LE CAS RECTILIGNE D'ENERGIE NULLE

INTRODUCTION

Le problème des 3 corps est l'un de ces problèmes de la

physique que l'on n'arrive pas à étudier dans son ensemble. Comme

les mathématiques ne sont pas capables de nous donner la solutions

exacte et complète, il faut donc appliquer différentes formes d'ap

proximations .

En 1964, Monsieur F. Nahon a appliqué le problème des 3

corps aux rencontres d'étoiles dans le champ d'un noyau galactique.

Il a réussi à réduire le problème des 3 corps à celui de deux points

plongés dans un champ de forces qui possède deux propriétés : il dé

rive d'une fonction U homogène de degré -1 par rapport aux coordon

nées des deux points et un moment total nul par rapport au centre

de gravité O. Monsieur Nahon a choisi les conditions initiales

telles que le moment d'inertie R reste fixe.

En 1971, Madame M. Irigoyen a étudié les mouvements recti

lignes dans le problème des 3 corps lorsque la constante des forces

vives est nulle. Elle a pris comme point de départ le travail de J.

Chazy, par l'emploi des coordonnées polaires qui donnent l'équation

différentielle d'Euler sous une forme plus simple que celle de Chazy

2

la conjecture de J. Chazy et de suivre dans le détail toutes les

phases d'un mouvement arbitraire. Ensuite, elle a étudié les deux solutions intérieure et extérieure avec les conditions initiales

pour t = 0 :

V2L < 2 V2L > 2

où :

Ç(t=0) = L Ç(t=0) = V

J. Waldvogel a traité le problème des 3 corps à partir des

positions relatives :

rK = XK ~ x0

(K = 1,

2)

d = x2 - xi

(1)

Le Lagrangien du système s'écrit :

L

mi(ïï'o + V

V ,

m2(m0 + mi)

V.

(m0 + mi + m2)

2

(m0 + mi + m2^

2

m„ nr 1 2 . . . m0rn1. ni0in2. m„nu12 r r + i r + n r + i—i—

(m

+ mi + m2)

12

IriI

lr2

(2) avec

£ = (m^ + m2^/mo

\ = mK/(mi + m2}

(K = 1'

2)

(3)

Les équations du mouvement engendrées par L s'écrivent, pour m = 1

L = ‘ d + £|Jl)lril’3ri - eU2lr2l’3r2 + ElJ2ldl"3d

r2 = - (1 + £U2)|r2| 3r2 - EuJrJ ^ - eui|d| 3d

A la limite £ -* 0, ce système devient :

(4)

r = - r r

K 1 Kl K (K = 1, 2) (5)

On a donc deux problèmes képlériens indépendants (solution exté

Pour étudier le problème intérieur, Waldvogel a introduit

les coordonnées R,

d de Jacobi qui sont liées aux variables r^ et

r2 par :

= R “ U2d

r2 = R +

d

(6)

Le Lagrangien transformé s'écrit

mo

e

•

•

m0ml

m0m2

mim2

L

-I (rrr R2 +

+ TgT + T^T + FT

Les équations du mouvement engendrées par ce Lagrangien sont

(7)

R = - mQ(l + £)(u1|rir3r1 +

(8) d

= mQ(

- £ IdI d) Posons : d'où : d 1/3

mQ = 1

(9)

R = - | R | 3R +Q(£2/3)

II-3 11-3 II- ^vl/3

r = -

( | r I

+

I R |

) r + 3( r.R) | R |

R + (j(e

)

(10)

Pour simplifier l'étude de la solution intérieure £ = 0

il

a

utilisé

les

notations

complexes

R 0 (C ,

r £ d ,

et

effectué

le

changement de variables "puisantes" et "tournantes" défini par

(r = R.Z)

où Z = X + iY £ <£l.

Le vecteur R décrit un mouvement circu

laire donc R est fixe par hypothèse, c'est-à-dire que |r| = R^ = p

-3/2 v v v

donc ds/dt = p . D'après ces hypothèses le système intérieur

s'écrit :

•• •• i i-3 3 — ii-3

4

soit si R = e :

3 — ii-3

Z" + 2iZ'

= - (Z + Z)

-

Iz|

.Z

En projection sur les axes X, Y on obtient :

(1) X" - 2Y' 9w 3x 3X - X(X2 + Y2) -3/2 où : (2) Y" + 2X' 9w 3y Y( X2 + _Y2) -3/2 W(X,Y) + (X2 + Y2)

Avec l'intégrale de Jacobi :

(11)

(12)

(X'2 + Y'2)/2 - W = h (13)

Le système (12) est celui des équations de Hill.

J. Waldvogel a défini le paramètre C par la constante de

Jacobi h = - 3C2/8 pour étudier les deux solutions extérieure et in

térieure, il a traité le cas où C -* 0. Dans ce cas, il a obtenu :

y = c28~3jç2

<M < c)

(i4>

Cette relation lui permet d'interpréter le mouvement des satellites

Janus et Epimetheus.

Le but de notre travail est de nous inspirer du travail

de Madame Irigoyen et de reprendre le problème de J. Waldvogel avec

les hypothèses suivantes :

1°) Les 3 corps sont alignés, c'est-à-dire que R, r et Z sont réels.

2°) Les masses des deux petits corps sont égales :

mi + m2

’

m0 = 1

= m = m et 8 = 2m

CHAPITRE I

MISE EN PLACE DU PROBLEME DANS LE CAS RECTILIGNE D'ENERGIE NULLE

Soient

masses m = 1/ m^ = m^ = m. On suppose

fixe

à l'origine et entre M et M . On pose

M1M3 = yl

M1M2 = y2

Le Lagrangien s'écrit : y 2 + y 2 •> yl y2 .1 .1 A2 L — 1 + — + — +

Y1

y2

2<y2 ' V

(1)

avec :

m2 = m3 = ^3/2

et on se bornera au cas d'énergie nulle

y 2 + y 2 yl y 2 — + — +

yl

y2

2<y2 ' V

(2) En variables de Lagrange-Jacobi :

Y1 = ^ ~ (x/2)

Y2 = C + (x/2)

(3) le Lagrangien devient : v2 L = 1(')Ï2 + + ± 2 E, - (x/2) Ç + (x/2) ‘ 2x

+ .

1

. .

+ *3

avec la condition v 2 Ç2 +

x-1

+

1

+ Ai

K ~ (x/2) Ç + (x/2) 2x (5)

et système différentiel "intérieur" le système engendré par

• y* 2 O -y 2 \3

L.

= è(2Ç2 + —)

+ 4

+ —

int s 2 Ç 2£3 2x (7)

et on raccordera ces deux approximations de L dans la zone

C X cl C

x/ç =Ç)oft)

{

o < 3 < i

donc il est équivalent de dire :

1 1 U U

exact

Ç - (x/2)

Ç + (x/2) + 2x

i— +

i

extérieur Ç - (x/2) C + (x/2) (8) (9) U. = — + intérieur Ç 2Ç Ai 2x

on fixe habituellement le raccordement par la condition :

^exact

^ext.

^exact

^int

on va démontrer que cette condition entraîne :

4X3 = (x/O5 + QU/Z) 7

(10)

(11)

Nous remplaçons les fonctions des forces dans la condition (10).

Le développement donne :

X3 x2

2K2

4X3 = (|)5 +Q(|)7

donc conduit à choisir : 3 = 3/5.

Nous pourrons fixer le raccordement par la condition :

(llbis)

-x + x , . =x - x , . (12

exact extérieur exact intérieur

(suivant le cas, nous utiliserons la condition (10) ou la condition

8

On va montrer que cette condition entraîne

3/5 En effet, on a : exact x/E, = X' X3 2xÇ x2 (£2 - x2/4)2 • _ 2xE, ^extérieur (Ç2 - x2/4)2 x. 2x X3 intérieur Ç3 x2

On remplace dans la condition (12), on obtient : 2 xÇ donc X3 X2 (Ç: X3 x3 X2

~ C5

2x T3

+o?^)

(0(X5/^7)

signifie de l'ordre de l'infiniment petit x5/Ç7

ou

que cet ordre).

Avec Alors (1 - x2/4Ç2)2 = 1 + 2^: /r \3/5 x/Ç = A

En coordonnées polaires , soient

y^ = r sin 0

et :

y 2 = r cos 0

M ( 0) = rU

Ç =

(l//2)r cos

x = /2 r sin vp

(13) plus petit (13bis) (14) (15) PH\P) = rU

nous avons (x/2) <—> sin0 = sin — cosijj - sin\i)cos 7[

4

sin0 sin(—, TT - \Jj), .

alors :

On remplace (15) dans les formules (9). On obtient

(16) n exact

2/2cosi|J

X3

cos2\i> 2/2sin\t>

frf

_ 2/2cosllJ

ext. cos2li)

n

=

. *3

+ -JfL

int. 2/2sinl|; cos3\|J

On peut fixer le raccordement par la condition équivalente à (10) :

n - n = n - n (n

exact ext. exact int.

D'après les formules (17), on obtient :

^3/0 - sinljicoslii _ sin iji

cos2ii» cos3i|J

A3/8 = 1 -?tg3ijj " tg^'(1 + tg2^}

Donc :

X3/8 = 1 -9Ig^

St ^ ^ T

Alors : À3/8 = Y5 En effet, on a : x/Ç ^ 2\\) alors : \Jj5 1_ 32 (19)

On remplace dans (19), on trouve :

4À3 = (x/Ç)5

CONCLUSION :

L etude que nous avons

faite dans ce chapitre nous permet

de

donner

les

conditions

de

passage

entre

le

Lagrangien extérieur

On cherche la solution du système (1-1) sous la forme

»,

“î,s'‘ - !'

»,

Kt!/Î(l . §>

(l)

Les équations du mouvement engendrées par le Lagrangien (1,1) sont

_ 1 A3

y = r +

1

yx2

2(y2 - y1)2

(2) Yo =

2

y22

2(y2 - y )*

mais on a :

ÿi = - | Kt‘4/3(1 - fl

Î2 - - 5 “4/î'‘ • f>

(3)

Il s'agit de trouver K et À en fonction de G et qu'ils vérifient

les équation (2).

ob-La somme des deux équations donne :

5 K3 =

1

+-

1

<l + f)2

(1-f)2

Après avoir développé, on obtient :

12

K3 = - (i + - °2 +0(o1+))

A3 = 303 (i + — 02 +0(cjIf))

(5) On pose 2/3

Y1 = 1

X1

2/3 y_ = t ' 12 2 (6) t = e

Nous allons trouver le système différentiel vérifié par

X (s) X (s) En effet

dyx/dt

= e

-S/3(X-1 +f Xx,

-4s/3 1 2

d2Yi/dt2 = e

S/J(X"1 + - X'x - | X1)

et de même façon -4s/3 1 2

d2y /dt2 = e

7

(X'*

+ - X'

- - X)

12 2 3 2 9 2

On remplace dans le système (11,2), on obtient

X", + - X'

= - x. + 9u

1 3 1 9 1 3X.

X”. + - x'

= - x„ + 9u

2 3 2 9 2 3x.

où : «Xl,X2) = - ^

^ 2(x/- Xl)

(7)

Pour cette solution on peut écrire :

I X.

- J- +

X3 =77 = 0

9

1

X 2

2(X2 - X1)2

2 x

- J.

.M

= o

9

2

X22

2(X2 - X1)2

(8)

La somme de ces équations nous donne

g (X1 + X2)

-^2 + x^2

avec :

(8bis)

Xl=K<1'|)

X2=K<1+f)

(9)

Donc on a retrouvé les formules (11,4).

On pose :

X, = X, + x X„ = X„ + x

111 2 2 2

On cherche les équations linéarisées vérifiées par x # Soit la

fonction de forces :

U(X, ,x0) = — + — +

À3

12 X, X „ 2(X_ - X. )

12 2 1

(10)

Le développement de U(X^,X2) au point (X1#X2) est :

u(x1,x2) = Ü + p(x1 - xx) + q(x2 - X ) + ï R(X

- x )2

+ i

t(x2 - x2)2 + s(x

- x )(X

- x )

(il)

+ e(x ,x )

Avec :

p = (3u/3x1)_

q = (3u/3x2)-

r =

On a d'une part :

au/ax^^ = P + R(xi - Xx) + S(X2 - x

(12)

9u/9x2 = Q + t(x2 - x2) + S(x1 - x )

d'autre part : Alors, on trouve : . 1 . 2 1 . 2 2 , 3u

5 xi

3xi

2 9u - X, 9 2

3x2

x, + Rx„ + 1 1 x„ + Sx, + 2 1 (13) (14)

Nous allons chercher les expressions de S, Rf T en fonction de O :

S = (32à/3xiax2)x = " À3/(X2 - XxJ

= - -y (X3/R3)

s = ' 3 ^ + 12 °2 + 0(att)) • (î - - a2 +0(01*))

Alors :

s = - - (1 - \ a2) + CXa4)

(15)

3 6 De la même façon : 10 2 2

R=~9 + 30 + 9°2 +0<°3>

10 2 2

T =

9

3 ° + 9 02 +0(°3)

Soient :

= Ae™3

x2 = BemS

les solutions du système linéarisé

(14) et z = m2 + (m/3).

Remplaçons dans ce système (14), nous trouvons : 2 B

2 = 9 + R + Â 3

z = | + | S + T

(17) Donc : (z - - - R)(z - - - T) = S2 y y

Nous allons étudier les solutions dans le cas (<3

cas : R = T = 10/9 S = - 2/3

(18)

0) . Dans ce

alors, d'après (18) on a :

(z - -)2 = 4/9 qui admet les deux solutions :

(19) z = 2/3 {

2 2 = 2

A/ Pour z = z = 2/3 1 2 On a : m2+—m-—=0

qui admet deux solutions :

(20) (21)

"A

2/3

mi _ _

x^ = Ae

2s/3

x2 = BS

-s (22)

B/ Pour z = z^ = 2

On a : m2+—m-2=0 3 (23)

qui admet deux solutions

mc = (-1 + /73)/6

(24)

m

=

(-1

- 1/73") /6

On remarque que le résultat de Siegel (p. 88, Lectures on Celestial

Mecanics) pour le problème des 3 corps alignés est que, quelles que

soient les masses m^, m^, m^, on a :

z1 = 2/3

et que si :

alors :

m2 = m3 St

"* 0

D'après la formule (18) si, quelles que soient les masses

mi# m^, m^,

= 2/3 on a la relation suivante :

(| ~ R) (~ - T) =

(25)

On peut vérifier cette relation pour (X = 0) c'est-à-dire (O = 0)

CHAPITRE III

ETUDE DE LA FONCTION M(0) AU VOISINAGE DE LA SOLUTION D'EULER

Soient :

y1 = r sin 0

y2 ~ £ cos 0

M(6) = rU(yi,y2)

U(y, ,y,) = — + — +

12

yx

V2

2(y2 - yi)

La dérivée de M par rapport à 0 donne :

M'q = r(-+ 2

3u

3yi

_{t 3u}

_3y2

9y^ 90

9y2 90

r92u ,

3yi

3u

90 }

+ 9y

92u

9y-,

1

9y9

2\

3y13y2

30 90 J 9 2' (1)

3y2

_{3u_ ^2}

9y^ 302

(3) mais on a donc :

Sy^yS© = y2

9 2y^/902 = - y^

9y2/30 = - Y1

92y2/902 = - y2

m'q = r(py2 ~ Qy1>

(4) M

"02 = M( 0 ) + r(y22R - 2Syiy2 + 57^)

(5)

18

D'après (1) on a :

M(0) = l/(sin0) + l/(cos0) + X3/2(cos0 - sin0) (6)

le cas X = 0 : M(0) = l/(sin0) + l/(cos0) (7)

dans les deux cas nous allons trouver les formules M(0 ) et M"(0 )

en fonction de G ; on a pour la solution d'Euler!

Y1 = r sin0 = K(1 - |)t2^3

y2 = r cos0 = K( 1 +

Soit 0 la valeur de 0 telle _que

tgÔ = (1 - |)/(1 + |)

Donc :

sin0 = (l - (0/2))

(2 + (G2/2)) *

cos0 = (l - (0/2))[2 + (O2/2))~*

Alors, si on remplace dans (6) on trouve :

m(9, = Æ(1 + f)t1 _ ]g/2) + , — ]a/2)

M(0") = 2/2(l+ - O21 +0(04))

8

+ Aî,

2

La deuxième dérivée par rapport à 0 de (6) nous donne :

wm/ûx

32m

M,(i>

.

^ cos20

,

^ sin20

.

(cos0 + sin0)2

M (0) - 301 = M<6) + 2 ïl^ë + 2

+ A3 (COS0 - sine ) 3

ifd - c/2)2 ,

M"(0) = 2/2(1 + - O2 + 0(o")) + 2/2(1 + 7^)* [—

8 4 «- ( 1 + 0/2)3

+ fi-+ °/2;2 + 6 +1 o2 +

(1 - 0/2)3 ü 2

0(0*)]

M" ( 0 ) = 2/2(l + ~ O2 + 0(0*))

+ 16/2(l + — O2 + 0(0*))

8 8

M" (0^ ) = 18/2(l + — O2 + 0(0*))

Nous avons donc pour X * 0 :

M"(0)/M(0) = 9(l + — O2 +0(0")) (l + - O2 + 0(O*))-1

/ z 8 (8) (9) (10) (11) (12) Lorsque À -+ 0 c'est-à-dire O -+ 0

M"(ÏÏ)/M(0') + 9

(13)

Or le calcul direct de M"(0 )/M(0 ) pour (X = 0) c'est-à-dire (O = 0)

donne :

M"(0)/M(0) + 3 (14)

par :

avec :

On rappelle que les variables de Mac Gehee sont définies

dt = r3/2dl

dr/dT = rv d0/dT = u du/dT = - i uv + M' (9) 0 dv/dT = u2 + M(0) — si h = 0 r2 = y 2 + y 2 Y1 y2 M(0 ) = rU

Soient :

0^ = 0

0

= ïï/4 et pour h = 0 : u2 + v2 = 2M(0)

On projette le système différentiel ©'T), v(T), u(T) sur le plan

u = 0 (voir figure 1).

Les points K et K1 correspondent aux deux solutions

d'Euler :

0<t<°o et - oo < t < 0

Il y a aussi 8 solutions asymptotiques, à savoir :

* pour v < 0 : deux solutions de collision triple :

B'K' et D'K' B'

sur : 0 = 0q

= 0 D' sur : 0 = 0

1 = ïï/4

et deux solutions de contraction parabolique :

K'A' et K'C' A' sur : 0 il CD o C' sur : 0 t—i CD II

* pour v > 0 : deux solutions d'éjection triple :

KB et KD

B sur : 0 = 0^

zu

et deux solutions d'expansion parabolique :

AK et CK A sur : 0 = 0

0

C sur : 0 = 0^

Lorsque X -* 0 les points A', B', A, B tendent vers des limites A',

B', A, B, qu'on va calculer dans le prochain paragraphe.

Les points C, D, K tendent vers le même point 0 = 7r/4,

v = /Â7T~»et les points C', D', K' vers le point symétrique par rap

port à l'axe desQ . L'allure du mouvement ultérieur se déduit du dia

gramme de Mac Gehee et pourrait être prédite si on connaissait la po

sition des points B', A'. Mais on ne connaît que les positions

limites pour À = 0, d'où l'existence de deux zones obscures :

|vQ - v(B')| < nU)

|vQ - v(A')| < nU)

Dans un prochain chapitre, on va explorer la zone

| Vq - v(A') | < r)( X) en se bornant à l'étude du mouvement v^ = v(A),

c'est-à-dire du mouvement initialement parabolique.

Pour t = 0 :

yi = °

y2 = L

y2 = V > 0

tel que :

V2L = 2

Le système (9) est défini dans la zone hachurée :

0 < 0 < 7T/4

En trait continu

:

les trajectoires

asymptotiques pour 0(T)+

;

En

trait

pointillé

:

les

trajectoires

asymptotiques

pour

lesquelles

0(tH.

(u > 0 pour 0(T)

croissant,

u < 0 pour 0(T) décroissant).

Les

zones obscures seraient figurées par deux bandes entourant les

CHAPITRE IV

22

ETUDE DU CAS PARTICULIER X = 0

IV.1.- Le Lagrangien du système :

Soient sur l'axe des x les trois corps M^,

de

masses

i^l / ^2 '

On considère le cas particulier : = 1, = 0 ce qui signifie

qu;On néglige l'interaction des corps et sauf le cas du choc

qu'on traite comme le choc élastique non gravitationnel. Soit en

0 et OM^ = y

OM

= y .

1°) Pour le Lagrangien du système s'écrit :

v 2 + v 2

L -

1

,

2

+

+

2

yl

Y2

(1)

2°) Si à un instant t^,

y^ = y^ on prolongera le mouvement de la fa

çon suivante :

Soit pour t

t^, t < t

(c'est-à-dire t

)

Lim Ÿ1 = ÿ1

Lim ÿ2 =

Alors pour t

t^

t > t^ (c'est-à-dire t^+)

On prendra

. + .

-Y1 = Y2

Y 2 = Y!

(2)

On se bornera d'autre part aux mouvements d'énergie totale nulle

c'est-à-dire :

v 2 + v 2

yl y2

^ + i

₍₃₎

IV.2. Représentation dans le diagramme de Mac Gehee :

On rappelle que les variables de Mac Gehee définies par

dt - r3/2dl

r2 = y2 + y 2 Y1 y2 Sur la dr/dT = rv M( 0 ) = r (— + —) d0/dT = u

du/dT = - i uv + M'g

dv/dT = u2 + v2/2 — M(0) variété h = 0, on a : u2 + v2 = 2M(0) d'où : dv/dT = u2/2

On se borne à ce cas h = 0, le système (4) se réduit alors à :

dv/d0 = ± i(2M(0) - v2)^

Nous avons posé :

Alors : = r sin 0

y^ = r cos 0

M ( 0 ) = sm cos 0 < 0 < 7T/4

Les seuls points à tangente

horizontale sont tels que :

v = ± /2M ( 0 )

ce sont d'ailleurs des points

de rebroussement, sauf K et K'.

Les seuls points à tangente

verticale sont tels que :

, soit 0O = 0 ou 0 = tt/4,

(4)

(5)

(6)

24

Donc

si le

long

d'un

arc

caractéristique

0 est

par

exemple

crois

sant,

alors

il

continue

à

croître

jusqu'à

0 « 0^

ou

jusqu'à

v - ± »/2M(0 ) et les points ® ~ ®q et 0 = q

correspondent respecti

vement aux chocs et

Les points K et K' sont tels que :

K

:

01 = 7T/4

u = 0

v = vQ = /2Mq

M'

= 0

, 7 (7)

K

:

i = TT/4

u = 0

v = vQ = - /2Mq

M'

= 0

Nature du point K :

On pose

:

60 — Ç,

ôu = t| qui donnent

:

d£

_

dp

vo

« = n

âï= - r n+ MV

donc l'équation aux variations est :

d2Ç 0 d£

dT2 + 2

dT

M"o^ ~ 0

Si l'on pose : on a donc

T - voT

âiS + 1âS-^ç = 0

dT* 3 dT 2M 4 u

Alors

l'équation caractéristique s'écrit

:

U2+iU-~=0 ₍₈₎

Cette équation admet deux racines réelles,

donc K est un col.

Interprétation mécanique du point K :

Les mouvements des deux corps et sont définis par r. avec :

dt = r3/^2dT

dr/dT = rvQ

r^ (dr/dt) = /2MQ => r2r = 2MQ

donc : 2/3 r = Kt avec K3

qui correspond à la solution d'Euler.

IV.3.- Etude des mouvements :

* Mouvement B'K' :

variété rentrante -* 0

pour T -> + 00 il tend vers K'

Or : d'après le système (4)

on obtient :

vT

r rj r^e

v < 0

Pour T + °° , alors r - 0

qui correspond à la solution

"collision triple".

* Mouvement K'A' :

variété sortante * 0 pour

T -*• - oo

VT .

r

r^e

v <

0

pour T -* - 00 , alors r -*- + 00

qui correspond à la solution

"contraction parabolique".

= 9/2 (9)

26

* Mouvement AK : variété = rentrante -* 0 pour T .

VT

Or

:

r

r^e

,

v >

0

Pour T a- + 00 , r a- + 00

ce qui correspond à la solution "expansion parabolique"

* Mouvement KB : variété = sortante -* 0 pour T -* - 00

vT . ^

r r>s r^e

v > 0

Pour T -* - 00 , r part de 0 ce qui correspond à la solution "éjec

tion triple".

Remarques préalables :

1° La symétrie : T - T, v -» - v, u - u montre qu'à toute solu

tion :

6 = f(T) v = g ( T )

correspond une solution symétrique :

0 = f(-T) v = -g(-T)

D'après cette remarque, on peut écrire :

v, = - v,, et v = - v .

AA' B B'

2°) Le calcul de v2 : d'après le système (4), on a

v2 = rr2 (10) (11) ou : or : r2 = y 2 + y 2 Y1 Y2

rr = yiYl + y2Y2

r 2 =

(yiyi + y2y2)2

(yi2 + Y22)

T7T (12) Donc :

En variable de Lagrange relative :

y 1

Nous avons :

2 - 2«2 +

-on dérive par rapport à t, on obtient

* JL. xx rr = 2t& + — Donc : (2Çg + xx/2)2

(2£2 + x2/2 ) ^

(13) (14) Applications :

A/ - Au choc m3m1/

Y1 + 0,

qui donne

0,

-> r,

d'après

(12) on obtient :

V2 = V V 2

y2y2

ce choc correspond à l'instant (t = 0).

Si l'on pose :

y2(0) = L

y (0) = V

(15)

on trouve que : { 2 = LV2 du signe de V (16)

B/ - Au choc correspond à x 0 à l'instant (t = t).

Donc : xx ^ 0 Nous avons :

r = /2Ç1

rr = 2Çj1

Alors :

v2 = 2/2^1^l2

D'ailleurs, on a : 28 v 2 = 2M(tt/4) = 4/2 K On a démontré que :

v2/vr= = <Ç1ê13>/2

^

•

v du signe de (17)

IV.4.- Etude directe du mouvement K'A1 :

On peut écrire dans ce cas les deux intégrales pre

mières :

(y12/2) - (i/Yl) = h1

(ÿ22/2) - (l/y2) = h2

avec :

h

= h2 = 0

la solution qui correspond à - 00 < t < 0

avec : K. 3 Au choc

yx = K(-t)

2/3

y2 = K(T - t)

2/3 - 9/2 et T constant cfest-à-dire pour (t = 0)

y2(0) = kt2/3

et y 0 (18) (19) • 2 -1/3

Y2(0) = ~ § KT

= v

D'après (16), on peut écrire :

vo2 = V2L = | K3

Vg du signe <

0

Nous obtenons donc :

vQ(A') = - /2~

v (A) = +/2

(20)

Etude directe du mouvement B'K1 :

pour étudier ce mouvement, il faut intégrer les deux

intégrales premières qui s'écrivent :

(y12/2) - (l/y1) = h1

(y22/2) - (l/y2) = h2

/ *

avec l'énergie totale nulle, c'est-à-dire = 0,

A l'instant t = 0, c'est-à-dire au choc M^M^, on a :

yx

o

Soient :

y2(0) = L

y (0) = V

vQ2 > 2 donne :

(22) V2L > 2 (23)

Donc : est positif, est animé d'un mouvement "hyperbolique"

avec h2

= l/2a.

*

h^

est négatif,

est animé d'un mouvement "elliptique" avec :

h * = - l/2a.

Alors : pour t = 0 les deux solutions sont :

y = a(l - cos(J)) n(a)t = (J) - sin({) n2a3 = 1

(24)

et

* sin<t> , • , . -, -xx

yl = 7l - cos<t,)/a

(yl a le Slgne de Sln<t,)

y2 = a(chijj -1)

n(a)t + C = shijj - i|;

(25)

• _ shi|J

A l'instant t = 0 :

Y2 ( 0 ) = a(chiJJ0 - 1) = L

30

t>(0) - (Thni0"-~u7r - v

vQ < 0 => V < 0 donc ip

< 0

On a encore : ohip^ - 1 = L/a donne deux possibilités :

> 0 ou lp < 0

On va choisir :

vp < 0 (26)

Donc :

C = sh^0 -

(27)

Les deux systèmes (24), (25) donnent :

0 - sin<J) + C = shll> - \i» (28) On suppose qu'il y a une collision triple :

Y1

0

et

y2 - 0

Au bout d'un certain temps le temps T est égal à la période

2TT/n(a) . Alors :

1 - coscj)^ = 0 => (J)^ = 2TT

(29) On obtient : chl|j -1=0 => = 0 C = - <|> = - 2 TT

Nous avons donc :

sh|ijjg| - \\\)Q\ = 2TT

(30)

C'est une équation que l'on peut résoudre numériquement et qui

admet la solution suivante :

D'autre part :

Alors :

VQ2 = V2L = ch^0 + *"

VQ 2 = 10,25249

Nous obtenons donc :

v (B') = - 3.2019509

v (B) = 3.2019509

(32)

CHAPITRE V

ETUDE DES MOUVEMENTS D'ENERGIE NULLE QUI COMMENCENT PAR UN CHOC

ET QUI SE TERMINENT PAR UN CHOC M

DANS LE CAS A = 0

Nous allons étudier les mouvements qui commencent à l'instant

t = 0 :

Y1 = 0

y (0) = L

y (0) = V

(1)

et qui se terminent à l'instant t = t :

x = 0

Ç = L1

Ç = V±

(2)

où varie dans l'un ou l'autre des deux intervalles v (B') < v < v^(A') 0 0 0 v_ ( A ' ) < v < v_ ( A ) 0 0 0 avec v (A) = + /2 v (B) = 3.2019509 (3)

vQ(A') = - /2

V0(B,) = “ 3-2019509

donc, sur l'axe 0^ = 0 : v = vq

v^ varie dans l'intervalle : v^(K') < v^ < v (K)

avec :

v1(K') = - 2

5/4 v (K) = 2 5/4 (4)

donc sur l'axe 0^ = ïï/4 : v = v

le

diagramme

de

Mac

Gehee

montre

qu'à

toute

valeur v^

(0

= 0)

comprise dans

Vq(A') <

Vq <

v^(A)

correspond

une

valeur

v^

(0 ^

=

ïï/4)

dans

l'intervalle

v (K') <

v^ <

v (K)

et

que

cette

fonction

est croissante.

mouvements paraboliques ;

- le mouvement AK, représentatif de l'expansion parabolique.

Le calcul de v^ en fonction de

v^ résulte de l'intégrale de

l'équation (5) du chapitre IV

dv/d0 = i /2M(0) - v2

Le cas À = 0 est un cas inté grable. Nous allons trouver

comment on peut intégrer,

c'est-à-dire trouver v^ en

fonction de v^.

Nous allons donc étudier

les deux fonctions :

v1

f(vQ) pour vq(B') < vQ < vq(A')£

à image dans v^OC7) < v^ < 0

vi = g(vo} pour vo(A,) < vo

vo(A)

à image dans 0 < v^ < v^(K)

0:0

©i=f

Fig. 3

Le diagranme de Mc Gehee quand X = 0

, d0

En trait continu : — > 0 ===> u > 0 dT

j 0

34

1/ Etude de

= f(y ) pour v^B') < vQ < vQ(A')

\

D'après les conditions initiales (V2L > 2) le mouvement de est

hyperbolique. Donc, au cours du mouvement :

lu

i_

2

yi

-i_ 2a y-1_ 2a

Nous aurons les équations du mouvement

= a ( 1 - cos(J)) • _ sine})

^1

(1 - cos4))/a

n(a)t = (}) - sin $

y 2 = a ( chi[) - 1)

• _ ship

y2

(ch4> - l)/a

n ( a ) t + C = shli> - i|J n2a3 = 1

D'après les deux intégrales premières (5), on peut écrire

y 2 + y2 y 1 y 2 1 1 — + — (5) (6) (7) y 2 — y 2

y 2

y 1 = 1

2

= y2 ’ yl

En variables de Lagrange :

+1

₍₈₎

Soient Ç , Ç

les

limites

de

(Y^+Y^)/2

et

(Y +Y )/2

pour

t -> t.

et x, x les limites de y2~y1 et y2_yi pour t ^ t •

/\

On a x = 0 et x change de signe d'après les hypothèses du choc

élastique du chapitre 4 page (22).

Nous avons donc, d'après (7) et (8) :

t2 + (x2/4) = 2/Ç

(9)

= - /2/Ç cosx

-

= - /2/Ç sinx

• •

on sait que v < 0 => E, < 0, d'autre part x < 0.

Alors sinx et cosx sont > 0, c'est-à-dire 0 < \ < T\/ 4

Nous avons déjà : v2 /v2 = E>E,2/2

1 K

v de signe Ç < 0 => v = - v cosx

1 1 K

D'après les deux équations (10) et(ll), on trouve :

Ç = 2asin2x

Calcul de cos(J), chip, sin(j) et ship en fonction de X :

On sait que pour t -> t^

= y^ = K, d'après les formules

on peut obtenir : • _ sincp

^1

(1 - cos(J))/a

Alors : cos(p = 1 - 2sin2X chip = 1 + 2sin2X

d'autre part :

_{= Ç “ 2}

tr x /~2

_{ç (sinx ~}

. .

sin(p = 2/sin2X

(sinx - cosx)

ship = - 2/sin2x

(sinx + cosx)

dC

Calcul de • C est relié à i[> et (J) par :

C = (ship - lp) - ((p - sin(p)

On dérive par rapport à X on trouve :

(11) (12) (13) (6) (14) cosx) (15) (16) = (chip - 1) - (1 - coscp) (17)

36

mais on a : chijj = 1 + 2sin2x

alors :

de meme

, dû)

shijj — = 4cos2x

dijj _ _ 4cos2x 1

dx

2\/sin2x *

(cosx + sinx)

(chijj - 1) — = - 4/sin2xcos2x/( sinx + cosx)

^ A

(1 - coscj) ) ^ = 4/sin2xcos2x/ ( sinx ~ cosx)

On remplace (18) et (19) dans (17), on obtient :

dC/dX = 8sinx/sïn2)(

Revenons à C, on a :

a) C est relié à

par C = shi^ - iJj^

Et à vQ par v2Q = 1 + chi^ avec \t)Q < 0.

Donc C est une fonction croissante de vJ;

et Vq est une fonction croissante de

parce que :

(18)

(19)

(20)

2v0(dV0/dV = sh%

On a eu Vq < 0 donc dv^/dip^ > 0 car shiii^

Alors C est une fonction croissante de v

b) C est relié à ii> et (J) par :

< 0

0*

avec i|> < 0

C = (shi|> - \[>) - ((J) - sin({))

donc est relié à X t d'autre part v = - v cosx

1 K

donc

v^

est

une

fonction

croissante

de X •

Pour

que

v

soit

une

fonction croissante de vQ il faut et il suffit que C soit une fonc

tion croissante de X- L'expression (20) montre que C est une fonction

Donc

est une

fonction croissante de C.

Alors,

C(Vq)

est défini

par les deux expressions :

et

C = sh\JjQ - \\)

v2q = 1 + ch\JjQ

et C(v ) est défini par C = C(x) et v = - v cosX.

Enfin,

= f(vQ)est une fonction croissante de v^.

Nous avons bien réussi à intégrer l'équation (5) du

chapitre

IV

au moyen de

la

constante

C(v^)

=

C(v^)

et

des

para

mètres lt>Q et

X-Remarque : Pour X = 0 (la trajectoire B'K') :

Cc= - 2TT

d'où :

C - (- 27T) sin u/sin2u du

o

en particulier pour x = TT /2, C(tt/2) correspond à la trajectoire

A ' 0. On peut prévoir que C -> 0 lorsque vQ -* v (A'). En effet, pour

le mouvement A'O : les deux corps et sont animés de mouvements paraboliques :

y1 = a(l - coscf)) est de la forme (°°.0)

y 2 =

a(ch\|J - 1) est de la forme (°°.0)

Il est donc nécessaire que (coscj) = chii; = 1).

Alors :

i|i = 0 et (J) = 0 ou 277

38

Il reste à démontrer que l'intégrale :

•TT/2 I = 8/2 sin. 3/2u cosiu du, cos2u = t f+ h-1 II ₀

pour u^ = tt/2

t—1 II CM -u

pour u^ = 0

3/2 ^3/4 sin u = (1 - t) du = - i - t)-est égale à 2tt. On suppose que : On a d'une part d'autre part :

On remplace dans (21), on obtient :

I = - 4/2 (1 - t)?t~*dt

I = 4/2 /J (1 - t)*t~*dt

Cette intégrale est de la forme Eulérienne

B(p,q) =

tP 1(1 - t)q 1dt

avec

:

B(p,q)

=

(r(p)r(q))/(rp+q))

Dans notre cas :

p = 3/4 q = 5/4 Donc : dt

I = 4/2 B [3/4 , 5/4 J = 4/2

Nous avons : T(1 + z ) = zT(z) T(5/4) = 1/4)

Et d'autre part la formule des compléments :

r(x)T(l - x) = TT/sinTTx

En conséquence :

T ( 1/4 ) T ( 3/4 ) = tt/2

Donc : T(5/4)T(3/4) = (ïï/2)/4

ce qui entraîne effectivement :

1 = 4/2.^ =

r(3/4)r(5/4) T( 2) (21) (22) (23) (24) (26) (27) (28) (29) 4 2tt

2/ Etude de la fonction = g(v ) pour v

On aura cette fois :

C = <J>Q ~ sin(J)

= (<J>

sin<J> )

-et

Vq2 = 1 + coscj)^

Vq du signe de sin (J)

La même méthode donne la même formule :

dC/dX = 8 sinX^sin2X

qui montre que la fonction = g-fv ) est

(A1) < vQ < v (A)

:

( shii>1 - vp1)

CHAPITRE VI

39

ETUDE DU MOUVEMENT INITIALEMENT PARABOLIQUE POUR A * 0

Nous appellerons mouvements initialement paraboliques

les mouvements tels que pour t = 0 :

Y1(0) =0 ; y2(0) = L ; y (0) = V > 0 ; V2L = 2

Le point initial correspond à A dans les figures de ce chapitre.

Ses

coordonnées

dans

le

plan

(v,

0)

sont

:

0=0,

v

(A)

=

7Î.

Nous allons démontrer que la solution intérieure aboutit à un choc

à une date finie t .

La première méthode est inspirée par le diagramme de

Mc Gehee. Il suffit donc de démontrer que l'orbite issue de A passe

au-dessous de K, c'est-à-dire est située au-dessous de AK qui corres

pond à l'expansion parabolique.

Avant de commencer il faut tenir compte des remarques

suivantes :

1°) Le point A est voisin de A, il s'agit de démontrer qu'il est

au-dessous de A.

2°) Soit :

tyt) = (y21/2) - ( 1/y )

(1)

(h (t) est une fonction du type de Sundman)

On a : h (0) > 0 et aussi :

dVdt = y1(?1 + — )

À3 • dh /dt = —— y 1 2x2 yl

c'est-à-dire dh^/dt > 0 et donc h (t) > 0

tant que y^ reste positif.

(2)

Mais :

y 2 ^

=

2h^(t)

+

(2/y^)

;

donc

y^

ne

peut

passer par

zéro

et changera de signe "en passant par l'infini", ce qui surviendra

quand x -» 0,

c'est-à-dire pour une collision M^M^,

une telle col

lision existe à l'avenir.

Etude de l'orbite issue de A :

Il y a trois cas possibles à priori :

a/ L'orbite issue de A aboutit au point K (les points A et A sont 17

confondus). A

Dans ce cas la solution du mouvement

tend vers la solution d'Euler pour t + 00, c'est-à-dire :

yx(t) ^ K(1 - ~)t2/3

(4)

avec

K3 = | (i + - O2 + 0(0**))

(pages

(11)

et

(12))

Cette solution donne :

-2/3 h (t) = t K

(- K3(l - ^)3 - l)(l + - + — + ...)

Alors : -2/3

hy) =

| a +0(0^))

(5)

0 par valeurs négatives pour t -* + 00 ce qui est

incompatible avec (3) et la figure (4) est impossible, b/ A est au-dessus de A (Fig. 5) :

dans ce cas, il est utile de prendre

les coordonnées polaires,

c'est-à-dire :

y^ = r sin0

• • •

y^ = r sin0 + r0cos0

(6)

D'une part on a : 0 = 0 à l'instant t = t

donc, d'après (6), y^ > 0 à cet instant car :

r = v/Vr" > 0

{

0 < 0 < TT / 4

D'autre part pour t = t^ >

y^(t^) = 0 (figure 5 collision M^M^)

puisqu'il

n'y

a

aucune

collision

entre

t^

et

t

et

que

y (t ) > 0

y^(t^) >

0,

y^(t^)

= 0*

Ü

Y a nécessairement un temps t

intermé-diaire

entre

t^

et

t^

tel

que

y (t )

= 0,

ce qui,

à nouveau,

est

incompatible avec (3), la figure (5) elle aussi est impossible.

Donc le point A est au-dessous de A et sa trajectoire

aboutit au point Q après être passé très près de K (figure 6).

Le point Q est nécessairement au-dessous de D, il peut

être entre C et D, dans ce cas le mouvement ultérieur est une suite

de

chocs

binaires

M^M^,

Paire

s,®l°i9nant de

(Fig.

7).

Dans le cas où Q est en c, le mouvement ultérieur après

le

choc

M2M3

es^

un mouvement d'expansion parabolique

présenté par

la figure 8.

Dans le cas où O est en dessous de C, le point revient

vers le point (il passe au voisinage de K). Le mouvement ultérieur

est une suite de chocs (un mouvement elliptique pour et un

mouvement hyperbolique pour M^).

(Figure 9).

Pour essayer de choisir entre ces possibilités, nous allons

42

CHAPITRE VII

INTERPRETATION D'ENTREE ET DE SORTIE DANS LA ZONE INTERIEURE

Nous avons vu au Chapitre I, page 7, qu'on peut prendre

le Lagrangien approché :

• x2 ? x2 A3

l = C2+ — + - + — + —

4 C 2Ç3 2x (1)

Les équations du mouvement du problème intérieur engendrées par

ce lagrangien s'écrivent : _ 1 3 x2

C

C2

4 Ë?

(2) *» _ £x _ À3 avec y2 • O v2 h = 0 => — + Ç2 = -p + —r— + —— 4 S Ç 2Ç3 2x

On pose que l'instant t = t marque le début de la solution inté

rieure et la fin de la solution extérieure.

A/ CONDITIONS INITIALES D'ENTREE DANS LA SOLUTION INTERIEURE

Nous savons que la solution extérieure est donnée par

y-L = kt

(L = kT 2/3 2/3

Y2 = k(t+T)2/3

?

k3 = 9/2

V2L = 2) (3)

et se termine à l'instant t^ tel que

Nous allons démontrer que les conditions initiales pour

t

=

t^

sont

données

(lorsqu'on

néglige

les

termes

d'ordre

2

de

T/t^) par les formules :

T 3

ko

2

2 , -1/3

X0 = 3 kt0

1

* 2 , -4/3 x = - ~ kt_ T 0 9 0 (5)

Ç

- kt2/3(l + il-)

0 0 3 t % 2 .-1/3,, 1 T

50=3kt0

(1 “ 6

et que les conditions sont équivalentes à :

V20 2 + °(T/V2

(6)

..2/3,6

x0 = kto

A

• _= - —1 kt^-1/3,3À

0 3 0

(7)

Nous avons d'après (3) à l'instant t :

^0

W + W

kt0

2/3

t*-* f>2,sj

kt. 2/3

^0

2

[«•le *«!->

en négligeant les termes d'ordre 2 de T/t , on a : tr _ , . 2/3 , 1 T .

50 - kt0

(1+3^

(8)

on néglige les termes d'ordre 2 de T/t^*

On a aussi :

W + f2(to’

44

^0=1 ktô1/3 |) ' 6^+0<^)2 ]

L = | ktT1/3 a - il

0 3 0 6 t 0 (9) et de meme : = kt

(to>

o -p \—1 >i i 2/3

In + — )

0

L

fco

- 1

1

*0

! ktô1/3-x +0<^)2

x

= 1 kt"1/3 t

0

3 kt0

(10) de même : * 2 -4/3

xo =

5 kt

-T

On a la condition d'entrée : (11)

Veo

^

donc, d'après (8) et (10), on a :

f kt-1/3x/ kt3/3 (1 +^-,

- A6

o < 3 < i

f (r)/(1 +

= aP

0 0

c'est-a-dire en négligeant les termes d'ordre 2 en T/t^

D'après les formules (8) et (9) on peut démontrer que

50Ç20 - 2 +0\)2

(13)

Si l'on remplace (12) dans (10) et (11), on obtient

^2/3,3

= kt„ A 0 0

<J <> * (<

• k -1/3,3 % = - — t À £ 0 3 0 0

2

2/3 M

A/

3 kto

(1 - r>

avec 0 < 3 < !• (14) B/ REMARQUE 1 :

Avec le système x et £ nous savons d'après le chapitre VI

1° : que x

0 pour t = t^ fini (collision M^M^)

2° : que le mouvement ultérieur est :

* soit un mouvement pour lequel on sort de la zone intérieure

pour t = t^

> t^, c'est-à-dire :

B *

x2/^2 = ^

et

x2 > 0

* soit un mouvement pour lequel on reste dans la zone intérieure

avec une suite de chocs x -* 0 pour t = t^, t = t

...

ces deux cas sont séparés par le cas de l'expansion parabolique

pour t -* °°, x et Ç tendent vers la solution d'Euler :

3

x3 = ~ À3t2

g

i t2

C/ REMARQUE 2 :

Au

voisinage

de

t

=

tQ

date

de

l'entrée

dans

la

zone

intérieure et de t

46

le terme À3/x2 est négligeable, il est en effet de l'ordre de

3-2B

À , avec 3 - 23 > 0 puisque 0 < 3 < 1.

Le système intérieur se réduit à :

ï = ~ 1/Ç2

l2 = 2/Ç

(15)

x = (4/9)(x/t2) (16)

Or, si on pose :

ÔÇ = x

l'équation Ç = - 1/Ç2 admet comme équation aux variations :

(6Ç) b2S

dt2

^

^

Ç3

(17)

c'est-à-dire :

x = (4/9)(x/t2) (18)

qui admet les deux solutions particulières du type :

x = Xtm

(19)

avec m^ = 4/3,

= - 1/3 les deux racines de l'équation :

4

m2 - m - — = 0 (20)

donc les deux solutions particulières sont :

4/3 -1/3

x = Xxt

et

x = X t

'

(21)

-1/3

1°- La solution x = X t peut s'interpréter par la solution

2/3

Ç = k(t + T) de décalage horaire. En effet :

D'où :

c'est-à-dire :

= X = f kt“1/3T

X2 - I kT

(cette solution correspond à l'entrée pour t = t ).

2°- Pour interpréter la solution particulière x.

que l'intégrale de l'énergie :

(b/2)

-

(1/Ç) = h

v 4-4/3

X t remarquons

(23)

donne l'intégrale de l'équation aux variations

Uk +1§ = 6h

donc : 2 ,.-1/3* . x

3 kt

x + 7173

6h

k2t 3tx + x = (k2ôh)t4/3 (24) Or, pour :

x = X^t

4/3 on a

; -1

3tx + x = 5X^t

4/3 (25)

si l'on remplace dans (24) on trouve :

k2ôh

X = — ; ôh du signe de X., donc positif d'après (14) (26)

15 1

4/3

La solution X t correspond à la sortie avec variation 6 h de

l'énergie de x = - y .

Soit

maintenant

ôh^

la

variation

d'énergie

de

et

ôh^ la variation d'énergie de M .

D'une part, l'énergie totale est nulle, c'est-à-dire :

d'autre part

ôh

+ ôh2 = 0

ôh

_Z

-Sh=f

₁₅

(27)

(28)

donc : ôh^ est négative, le mouvement ultérieur de

est elliptique

(suite de chocs M^M^)

et 6est positive,

le mouvement ultérieur

de

est hyperbolique (évasion de I^).

CHAPITRE VIII

ETUDE DU SYSTEME INTERIEUR PAR LE CHANGEMENT DE VARIABLE DE SIEGEL

Au chapitre précédent, on a démontré les conditions

initiales à l'entrée de la solution intérieure pour t = t :

MV 2 +O<T/t0>2

donc on peut écrire le _système intérieur en variables de Ç et x

sous la forme suivante :

1° É =

kt2/3

k3 = 9/2 (1)

2° x =

4 x X3

9 t2 x2

(2)

avec pour t =

_{fco :}

xo - kto

A

• k -1/3,3 X_ = - — t^ À 0 3 0 (3) où : 0 < 3 < l1

A/ TRANSFORMATION DE L'EQUATION (2) PAR LA METHODE DE SIEGEL : Nous allons faire le double changement de variables

X = kt2/3A6Y

(4) avec et : k3 = 9/2 et 0 < 3 < 1 s dt = tds <=

=>

* = V

(5)

d'après (2) on obtient :

Y" + - Y* - | Y = - U/Y2

(7)

2 3(1-8 )

avec pour s = 0*. Y^ = 1,

Y1 ^ = -1 , p = — À

les conditions

initiales.

Nous savons, d'après le chapitre VI :

1°- Que Y

0 pour s = s^ fini (collision M^M^)

'

2°- Que le mouvement ultérieur est ou bien la sortie de la

zone intérieure :

Y = 1

Y' >0

pour s = s^

ou bien une suite de chocs Y = 0 (pour s = s^,

s = s^...)

séparés par l'expansion parabolique qui correspond à

la position d'équilibre de l'équation en Y.

En effet, cette équation de la position d'équilibre :

A

Y = Y est donnée par la condition :

Y" = Y' = 0

Alors :

Y3 = 3p/2 (8)

atteint pour s •> +°°, correspond pour x(t) à la solution d'Euler.

B/ REMARQUE : A l'entrée et à la sortie si elle se produit, on

peut négliger le terme :

U/Y2

le système (7) devient :

Y" + - Y' - | Y = °

(9)

avec pour s=0 Y„ = 1 Y' = - 1

50

qui admet les deux solutions :

Y = Ae Y = Be

2s/3

(10)

Y' = - Ae “

-s

Y' = - Be2s/3

d'où : Y + Y' = 0 Y' = 2Y/3

En revenant à x(t), on voit que la solution Y = Ae

-s

% , “1/3

correspond a la solution d'entrée x = X t et que la solution

Y = Be2S//3 correspond à la solution de sortie x = X t^3.

C/ ETUDE QUALITATIVE DES SOLUTIONS DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE

EN Y DANS L'ESPACE DES PHASES :

Rappelons - nous l'équation transformée par la méthode

de Siegel :

Y" + - Y’ - - Y = - —

3 3 Y2

(11)

avec pour s = 0

Y^ = 1

Supposons maintenant que :

Y = X_

Y'o -

-1- et„ ,,y = -2 A.3(1-6 0 < 3 < 1

dY/ds = X,

Nous avons donc le système différentiel suivant :

dX^/ds = X2

(12) dX„ —— = — x - — x - -ds 3 1 3 2 X 2 1

à étudier dans la zone X^ > 0.

1- La position d'équilibre (E) est :

X31 = 3U/2

et on peut vérifier que (E) est un col.

2- Nous avons pour -* + °° deux solutions :

X = Ae~S 1

x2 = - Ae

asymptote à X^ + X^ = 0

et : X 1 Be 2s/3

asymptote à 3X^

3- Pour X^ -* 0,

- 2X = 0*

X^ + 00 le système

dX/ds = X^ 1 2 (13) devient :

dX2/ds = - u/X2

qui admet l'intégrale première :

V22 - 2y = hXl

donc asymptote pour X^

0 à :

Vt

2y

4- Pour X2 = 0 nous avons le système :

dX2/ds = (2X1/3) - (M/X2

)

/\

dX^/ds = 0

pour X = X

(14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

52 Pour :

xi > xi

on a

:

dX2/ds > 0

Pour :

Xi < Xx

5- Pour dX^/ds = 0,

long de la courbe : on a : nous avons

dX^/ds < 0

(21) ~ - 0 c'est-à-dire le

cette courbe passe par le point

(E),

dans la figure ci-dessous.

(22)

elle est indiquée en pointillé

Pour séparer ces solutions,

invariantes issues du col

(E).

1°- Nous sommes _{sûrs que}

pour

Yo

1

Y*o

'

-1, Y + 0

donc on suit le _{tracé A.}

2°- Ce tracé (A) est _asymptote

a la branche _{(1) ;}

donc pour

Y -> 0, c'est-à-dire X -* 0 :

U2 J2) - (U/X_ ) + h

2 1 A

Nous montrerons au Chap. 9, formule

(8), page 59, que h^ est négatif.

Soit la valeur limite de (Y,'2/2.)

Soit la valeur limite de(Y'2/2)

h < 0 et h < h

A 1 A

Après

le choc pour s = s

.

on revient avec la même valeur

hA*

Le

mouvement

ultérieur

sera

une sortie de la _{zone intérieure}

si : h 2 < h A ou bien une série de _chocs

M3M2

si

h, > h 2 A

il faut connaître les variétés

Le cas de l'expansion parabolique correspond à :

h = h

2 A

Nous devons essayer de traiter :

1°- Une estimation de la date s^ du choc Y = 0 ;

2°- une estimation des valeurs de h , h' , h .

A 1 2

D/

ESTIMATION DE

s^

:

Pour estimer s^,

il

faut étudier le système

Y" + - Y' ~ | Y = - U/Y2

(24)

avec pour s = 0 :

YQ = 1

Y*

= - 1.

I - Cas où u = 0 :

On a alors :

Y" + Y'/3 - 2Y/3 = 0

avec :

Yo

1

Y' = - 1 La solution est :

Y = Ae~S + Be2s/3

D'après les conditions initiales, on trouve :

A = 1 B = 0 Alors : Y -s e (25) (26) (27)

II - Cas où u/Y2 A, Ue

Cette approximation nous amène à résoudre l'équation sui

vante :

Y" + Y'/3 - 2Y/3 = - pe2s

(28)

avec : Y = 1 Y' = - 1

54

C'est une équation différentielle linéaire de

second membre, qui admet une solution générale

sans second membre plus la solution particulier!

c'est-à-dire :

Y = Ae~S + Be2s/3 + $

\ 2 s

où y est de la forme ce avec c = - u/4 qu'on

(29) .

Alors on a :

Y = Ae~S + Be2s/3 - ^ e2s

4 Pour s = 0 : Y = 1 et Y* = - 1 0 0 Donc, on a : A + B - U/4 = 1 A - 2B/3 + U/2 = 1 Alors : A = 1 - U/5 B = 9U/20 La solution s'écrit :

Y = e S(l - U<M s ))

avec : et) ( s )

on peut vérifier que :

9_

20

5s/3

e

cf>co) = o d>' (o) = o

Y(s) s'annule pour

s = s^ c'est-à-dire pour :

d)(s1) = 1/U ^ e3Sl/4

Etude du système :

Y" + Y'/3 - 2Y/3 = - U/Y2

Yo

1

Y'o “

-deuxième ordre avec

égale à la solution

5 avec second membre

(29)

aura obtenu d'après

(30) (31) (32) (33) (34) avec :

1/ U = 0. La solution générale :

(35)

Y'

Intégrales premières de l'équation :

Y" + Y'/3 - 2Y/3 = 0

ce sont les calculs de A et B.

On ajoute les deux équations du système (35), on trouve :

c'est une intégrale première.

Multiplions la première équation du système (35) par 2/3 et la

deuxième par -1, en faisant la somme on trouve :

G(s)

=

(2Y -

3Y*)eS

G est une intégrale première.

2/ Le cas U * 0 :

Nous allons calculer (dF/ds) et (dG/ds)

donc : F( s) = (Y + Y')e -2s/3 (36) dF/ds = e -2s/3

(Y' + Y" - 2Y/3 - 2Y'/3)

(38)

dF/ds = ~ ~ e 2s/3 < 0

et :

dG/ds = eS(2Y - 3Y'

+ 2Y'

- 3Y")

(39)

n 3U s

dG/ds = — e

F(0) =0 et G(0) = 5

56

Des deux formules (38) et (39) on peut écrire :

D'autre part : Alors : F = - fl

((e 2u/3)/Y2(u))du

r s G = 5 + 3)1

(eU/Y2(u))du

5Y = Ge"S + 3Fe2s/3

- fs

5Y = 5e S + 3ll{e S

eU(du/Y2(u)s)

J o 2s/3 rs

2U//3 (du/Y2 (u) ) }

— 5

La formule donnant F(s) montre que Y + Y' ^ 0 donc Y ^ e

Soit z(s)

= YeS

:

z(s)

^ 1.

Or, la formule (42) peut se réécrire :

5(1 - z) = 3fi{ 5s/3

çs e4u/3

Z2 ( u ) du -s 3u e z2 ( u) du} r s 5(1 - z) = 3p{ (e. 5s/3.e4u/3 - e3u.) du -,) z2 (u)

La quantité entre parenthèses est positive (nulle pour u = s

tenant compte de z(u) ^ 1, on a :

5(1 - z) > 3]i{- e3s

4 3 5s/3 4 6 3s 3 3;

z <

(l - ]l(J)(s))

c'est-à-dire :

Y < e S(l - ]j(j) ( s ) ) = Y

Y' < Y'

(40) (41) (42) (43) ) en (44) (45)

Conséquence de ce théorème :

Y ( s )

=

0 pour

s

=

s^

tel

que (j) (s^)

=

1/Ur

c'est-à-dire

e3Sl ^ 4/y.

Or

Y(s) <

Y(s)

donc

Y

s'annule

pour

<

s^.

Ceci

est

une autre démonstration du théorème suivant :

THEOREME : La solution intérieure aboutit à un choc x = 0 à une

date finie t^. Donc x s'annule au temps t^ tel que :

t1/tQ = eSl < (4/y)1/3

58

CHAPITRE IX

LES FONCTIONS DU TYPE DE LIAPUNOV ASSOCIEES A L'EQUATION

ET LA VERSION DE MAC GEHEE DE CETTE EQUATION

Réécrivons cette équation :

Y ' 2 2 Y" + - Y = - U/Y et soit -2s/3 Y'2 u 2

= -

'

H + 4 YY* )

Y 3 K ( s ) = e j , , 2s/3 fY *2 y Y2 >

L(s) = e

(— - (- + J" >J

On dérive par rapport à s, on trouve :

(1) (2) (3)

— = [_~ f(— - - + - YY') + ( Y ' + -p Y)(- Y -

77p) +

ds 3 2 Y 3 2 2 Y' U — Y ) (— Y - — — 3 3 3 Y2

+ UU + - Y'd e~2s/3

Y2 3 J Donc

^ - | Y» e‘2s/3> 0

ds 9 (4)

de la même façon, on trouve :

—) e2s^3 < 0

ds 3 Y 3

Etude de la phase 0 < s < s (Y décroît de 1 à 0)

(5) pour s = 0 : d'où :

Yo = 1

Y'o - - 1

- y - 6

et

K(s) = K0 + -

e 2U/^3Y2(u)du

(6)

lim

K(s) = e ^Sl/^h

s-»-s i

avec :

h = lim (Y'2/2) - (U/Y)

Y->0

De la formule (6) on a : K(O) < K(s )

d'autre part : y <e S(l - y<J>(s))

donc : Alors : y < e -s rsi

K( Sl) - K(O) < - ^

-8u/3, e du

K ( s ) - K ( O ) < - (-ê8Sl/3 + 1)

1 o

K(s ) <

K(O) + - - - e“8sl/3

1 bo

On peut donc écrire :

1 2si/3 , 2si/3

6 S - pe

< h < - I e'2si

6 ye

2si/3

Comme y est de l'ordre de e 3si la forme pratique de (8) est

- i e2si/3 < h < - i e“2si

6 6

et on peut penser que h est voisin de sa borne supérieure.

(7)

(8)

(9)

Etude de la phase : s^ < s < °°.

i ni K olfi

Cherchons pour quelle valeur^de'h la solution de

(1)

tend vers la po

sition d'équilibre $ pour s -> + 00.

Utilisation de la fonction K : ,~2s1/3 -2s/3 y

K(s^) = he

d ' où K( s-x» ) ^ e

_ 2 ^2e-2s/3 _ Um-2s!/3 _ 4

2 ^e-2s/3

rs -- he 2u/3 Y2(u)du c'est-à-dire :

(U -

3 Y3)

-he 2si//3 < + | $2e 2s^3 + - $2 (- |)(ë2s/^3 - ë2si/3)

, -2si/3 ..2a, -2s/3 2 -2s/3 , 2 a, -2s!/3

60

2

- - Y2 < h < 0

(10)

U = 2Y3/3

pour comparer les conditions (9) et (10) souvenons-nous que :

U/4 't' e ^Sl c'est-à-dire : Y 't» 6^^e Sl.

On voit que la borne supérieure de (9) est du même ordre

de grandeur que la borne inférieure de (10) mais que :

<

1 6

-2s

e

donc, on ne peut pas exclure que la phase :

0 < s < s.

{

1

Y décroît de 1 à 0

/\

ne soit pas suivie de la phase : Y -* Y pour s -> 00, qui correspond à

l'expression parabolique.

*

Par des

intégrations

numériques,

on

peut

améliorer

(9)

jusqu'à

:

-(2/3)s

- - e < h < - 0,63y2

6

tandis que (10) est améliorée en :

- 0.45y2 < h < 0

le second h est donc supérieur au premier, le point Q des figures

6 à 9 page (41bis) est au-dessus du point C, c'est donc la figure

(7)

qui

est

la

bonne

et

le

mouvement

s'achève

par

une

infinité

de

chocs M^M^.

La version de Mac Gehee de l'équation (7)

On a vu que la fonction fl ( vJ;) rieur par : {

n = nQ

( i cos3\(j + avec fl = 2/2

- rU est définie pour le problème

inté-À3

8sin\l;)

h

= r sin e

y2

= r cos 0 0 _{= ( TT / 4 ) - \[)}

les équations :

-ii/-, du

diJJ/dT = u — h uv + fl

u2 + v2 = 2 /V(^)

admettent la position d'équilibre :

(10)

u = 0

/V /N

= iptel que d/^di[) = 0 pour 4* = ¥

or

n'/n sin ij) _ X^_ cosjjj

( cosl|J ) 4 8 sin2\jJ

Dans la zone intérieure définie par :

vp < kA3/5

on peut faire l'approximation :

/7'//7 = 3lp - ( A3/8llJ2 )

qui donne en particulier :

= A3/24

donc $ est bien dans la zone intérieure.

Faisons l'approximation v = v = /2) et le changement de variable

le système (10) est équivalent à l'équation :

(d2ÿ/dO2) + i (dip/da) - (3ip/2) = - (À3/16i|j2) (14)

On a d'autre part :

r

/2f = /2kt2/3

ds c'est-à-dire avec : k3

,3/4 K3'2

2

757T

da = 9/2 et fl = 2/2 ds = - da (15)

d'autre part,

la relation x/2 = r sin \[) donne

:

x

2 kt2/3UJ

or, on a pose , .2/3>e x = kt A y d'où :

2ll» = À^Y

(16)

Donc, on prévoit que l'équation (1) est identique à l'équation (14)

moyennant les deux changements de variables (15) et (16) et c'est ce

que l'on peut vérifier en effet ; si on se souvient qu'on a posé :

_ 2 ,3(1-3)

' 9 A

(17)

Conclus ion : En résumé, lorsqu'on étudie le mouvement initialement

parabolique, on peut démontrer qu'il aboutit à une infinité de chocs

Nous avons utilisé d'abord le diagramme de Mac Gehee

(chapitre VI). Puis au chapitre VII, nous avons étudié le système in

térieur :

_ 4 x_ \3_

X

9 t2

x2

Enfin, dans le chapitre VIII, nous avons appliqué la transformation

de Siegel pour étudier le système en Y. Et, pour terminer, nous

BIBLIOGRAPHIE

64

F. NAHON : Sur une forme restreinte du problème des trois corps,

applicable aux rencontres d'étoiles. C. R. Acad. Sc.

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