Sur les mouvements d'un point matériel dans un champ de forces homogènes

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Sur les mouvements d’un point matériel dans un champ

de forces homogènes

Adnan Benchi

To cite this version:

Soutenue

pour l'obtention du

Diplôme de Docteur de 3eme Cycle

par

Adnan BENCHI

Spécialité

Astronomie et Techniques spatiales

Sujet :

Sur les mouvements d'un point matériel dans un champ de forces homogènes

le

, i C\ & Lf

devant la Commission d'Examen :

Y. THIRY Président

J. DELHAYE

C. MARCHAL

THESE

Soutenue

présentée à l'Observatoire de Paris

pour l'obtention du

Diplôme de Docteur de 3eme Cycle

par

Adnan BENCHI

Spécialité

Astronomie et Techniques spatiales

Sujet :

Sur les mouvements d'un point matériel dans un champ de forces homogènes

le devant la Commission d'Examen :

Y. THIRY Président

J. DELHAYE

C. MARCHAL

AVANT PROPOS

Je voudrais souligner la part importante prise par Monsieur

F. Nahon, Professeur à l'Université de Paris VI. Ses conseils incessants

et instructifs m'ont permis de mener à bien cette thèse. Je lui témoigne

ma profonde reconnaissance et je tiens à lui exprimer ma plus profonde

gratitude et lui adresse mes plus vifs remerciements.

Je profite de cette occasion pour exprimer mes respectueux

remerciements à Monsieur le Professeur Y. Thiry qui m'a permis, par ses

cours, d'approfondir mes connaissances en mécanique céleste, et qui a bien

voulu accepter la présidence du Jury.

Je tiens aussi à remercier très vivement Monsieur le Professeur

J. Delhaye, Directeur du D.E.A. à l'Observatoire de Paris, pour la

confiance qu'il m'a faite en m'accueillant à l'Observatoire.

J'exprime mes remerciements les plus vifs à Monsieur C. Marchai

qui m'a aidé pour faire le stage de D.E.A.

Mes remerciements également à tous les Professeurs et tous les

Maîtres Assistants et Maîtres Assistantes de l'Observatoire de Paris.

Je remercie aussi très vivement Madame Raban qui a bien voulu se

charger de la réalisation matérielle.

De même, je remercie le Gouvernement Français qui m'a donné le

INTRODUCTION

Ce travail est inspiré de l'article de Madame Losco : "Sur une

étude de stabilité par analogie avec la collision triple" [Celestial Mecha-nies n° 25, p. 159-167 (1981)] et de la thèse de 3e cycle de Monsieur

Alothman Alrageb qui en développe les idées.

Madame Losco est partie d'une question posée par Monsieur Broucke :

comment étudier la stabilité de la position d'équilibre dans un champ de

forces du type U = P(x,y) polynôme homogène de degré supérieur à 2 ? La méthode

classique suppose l'existence d'une partie linéaire engendrée par les termes

de degré 2 qui est absente ici. L'idée de Madame Losco est d'utiliser le

changement de variable temporelle de Mac Gehee, qui réussit dans le cas de la

collision triple, c'est-à-dire d'une fonction de forces homogène de degré -1.

Après un premier chapitre où nous étudions les conséquences du

théorème du viriel pour un champ de forces homogène de degré k (positif ou

négatif), nous établissons dans le cas de n variables la mise en équations

en coordonnées polaires (connue et simple dans le cas n = 2). Nous utilisons

d'abord une méthode matricielle, ensuite une méthode lagrangienne.

Pour le degré k = -1, c'est-à-dire pour le problème des 3 corps,

2

Madame Irigoyen, et pour n = 6 nous généralisons cette mise en équations

au problème général des 3 corps (dans l'espace).

Pour le degré k positif, nous axaminons le problème de stabilité

posé par Monsieur Broucke. Nous rappelons un théorème de Liapounov qui

donne une solution générale. Nous montrons que le changement de variables

de Mac Gehee est adapté plutôt à l'étude de l'expansion : pour

r = /x2 + y2 -» 00,

les mouvements sont en effet asymptotes à la variété

d'énergie nulle. Nous examinons les 3 cas typiques d'une fonction de forces

CHAPITRE I : CHAPITRE II : CHAPITRE III CHAPITRE IV : CHAPITRE V : CHAPITRE VI : PLAN DU TRAVAIL

Conséquences générales du théorème du viriel, pour la

fonction de forces U(q_,q_,q ) homogène de degré k par

rap-1 2 n

port aux q^.

Mise en équation en coordonnées polaires par une méthode

matricielle.

: Mise en équation en coordonnées polaires par une méthode

Lagrangienne.

Application au problème des 3 corps.

Cas des fonctions de forces U = polynôme homogène de degré 3.

Stabilité de l'équilibre et mouvements d'expansion.

THEOREME DU VIRIEL :

- 4

-CHAPITRE I

Soit I le moment d'inertie du système Lagrangien par rapport à

l'origine du système d'axes défini par :

I = E m.q.

i=l

1 1

On dérive par rapport au temps :

n

î = 2

E

m.q.q.

. , 111 i=l n # n

ï = 2

Z

m.q?

+ 2

Z

m.q.q.

. , il . , 111 i=l i=l

Le premier terme est 2T, le second terme est :

3u

n n

,z, "•A'3!=

miqi w:= ku(q)

i=l i=l ^i

en tenant compte de l'homogénéité de U(q).

On a donc :

ï

= 4T + 2kU(q)

mais l'intégrale de l'énergie est :

bout d'un certain temps cet état atteint :

2T + kU (q) = 0 (4)

T=_A_h

et

u(q)

3° - Le cas où le potentiel U(q) est homogène de degré k = -2

ï = 4h

I = 2ht2 + îQt + IQ

(5)

LES INEGALITES DE SUNDMAN :

1° - Nous poserons par ce que c'est plus commode pour les calculs :

I = r2 = q2

où q 6 ^

(1)

Sundman a établi deux inégalités remarquables qui généralisent les relations

entre l'énergie cinétique 2T et la fonction de forces U(q).

Nous allons utiliser l'identité :

2° - La deuxième inégalité de Sundman :

D'après le théorème du viriel, la dérivée par rapport au temps du

moment d'inertie :

ï = (2k + 4)T - 2kh

d'autre part :

I = r2 et ï = 2rr + 2r2

Donc

:

r’r + r2 =

(k + 2) T - kh

On utilise la première inégalité de Sundman :

• 2

rr + r2 = (k + 2)

+ \)

- kh

(4) (5)

2rr - kr2 + 2kh = -k- -+z--2(2X) è 0

r Si l'on pose :

U(q) = Srk

où S est la fonction qui généralise la masse :

2T - 2h = 2Srk

• 2 dans le cas où X = 0 on obtient 2T = r

Donc :

• 2 k

r - 2h = 2Sr

alors on trouve que :

Soit donc :

2S = (r2 - 2h)r k

2S =

(r2 - 2h)r"k

la dérivée par rapport au temps de S s'écrit :

2

- kr"k-1r (r2 - 2h) + 2rrrr"k

dt

c'est-à-dire, en tenant compte de (6) :

2 Ëü - iS_!t—£: ^ ( 2x )

dt

k+3

(

}

r (6) (7) (8) (9)

REMARQUE :

On a l'intégrale de l'énergie

2T = 2U + 2h

Si l'on pose : U(q) = mr

d'après la première inégalité de Sundman :

•2 2X _ d r + —7 = 2mr + 2h r Donc : o / 2 -k 2X -k 2m = (r - 2h) r + —7 r r

m - S + r-(k+2).X

dm _ dS -k-2 dX

dt

dt

r

dt

• —k — 1 (k + 2) Xrr En tenant compte de (9) : k+2 dm _ dX

r

dt

dt

donc m et X varient dans le même sens.

(10)

LES SOLUTIONS HOMOTHETIQUES :

On peut définir les solutions homothétiques par la condition :

X =

r

(q q

- qtq.)2 = 0

(11)

k>j

K 3

K 3

dans ce cas dS/dt = 0 alors :

S(t) = S(0) = y (12)

y est une constante quelconque,

8

d'après l'intégration de chaque égalité on obtient :

qx(t)

= r(t)q1

q2 (t)

= r(t)q2

qn(t)

= r(t)qn

On appelle solutions homothétiques les solutions de la forme :

q(t) = r (t)q (13)

Cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de ces

solutions :

pour ces solutions

alors : DEFINITION :

2S

=

(r2

-

2h)r

s (t) = s (0) = y • o k

r2

-

2h = 2yr

, k-1 r = kyr

U(q) = yrk

(14)

On a l'équation du mouvement q = 3ü/3q. On a trouvé les solutions

homothétiques : q(t) = r(t)q , q(t) = r(t)q. Mais : 3U(q ,q , ..., q ) 1 z. n 3q r(t)q = kyr k-1— q 3 (rq)

U(q) est homogène de degré k, donc ï

3ü(rql'rq2

rqn>

,

k-1-= kyr q k-1 3U — - .

k-1-r

^ (qlf

qn) = kyr

q

3u , - 3U .

-d\ = Vkql

3T2 = ykq2

3u ,

-aTk = pkqk

A partir de ces équations on peut définir les configurations centrales

On peut aussi obtenir d'autres équations qui déterminent les confi

gurations centrales. On multiplie

(15) par q^ en faisant la somme :

n n

£ <

n H-

IlM

h-1 U I au

[i 3q.

= kU(q) (16)

Les solutions homothétiques q(t) = r(t)q

Z

q2.(t)

= r

(t)Zq2

i=l

n

q.

satisfait à cette équation

Z

q2

= 1

î . , î

i = l

mais le moment d'inertie :

On peut énoncer : - 10 -THEOREME Soit m(q) = U (q)

[Zq?]k/2

Les configurations centrales sont données par la condition 6m (q) =

EXEMPLE

:

Soit U(x,y)

=

- xy2

(Potentiel de Hénon)

- Trouvons tout d'abord les configurations centrales.

Les coordonnées polaires : x = r cos0 y = r sinô

m(q) = —U/9

où k = 3

(£q?) 7

m(r,0) = m(0) = j cos30 - sin20cos0 =

On détermine 0^ pour laquelle

= 0

Donc :

sin0(l - 4cos20)

= 0

Les solutions de cette équation:

- Soit sin0 = 0

0^ = 2tt

02 = TT

. . 1 r*. TT 0 2 TT

- Soit cos6 = ± 2

"

e3 = I

e4 = T

Les configurations centrales se déterminent sur le cercle £â2 = 1 + r2 = 1 =-> r = 1

k

Alors les configurations centrales q.(x.,y.) = (cos0.,sin0.)

Le cas d'énergie nulle h = 0

r2

=

2yr3

r (t)

= - t"2

y

On peut déterminer y

= U/I = m(0^)

i = 1, 2, 3, 4

U1 = 1/3

y2 = " 1/3

y3 = " 1/3

y4 = 1/3

Les solutions homothétiques

qi(t) = v: t_2qi

q1(t) = ( 6t“2,0)

c32(t)= ("6t”2'°)

12

CHAPITRE II

TRANSFORMATION LIEE A L'HOMOGENEITE :

Nous allons adapter la généralisation de la transformation liée

à l'homogénéité qui se fait pour la collision triple à notre problème.

Considérons pour le système lagrangien du problème des n-corps

1 *2

L = — q - U(q) (q est un vecteur) (1)

La transformation g^ paramétrée par r est définie par :

q = rQ

K/2

g ) p = r P (2)

r \ dt

l dt = r

l-K/2,

dx

où r est une fonction positive arbitraire. Nous constatons que par cette

transformation l'intégrale première de l'énergie dans l'espace (Q,P) se

perd.

En effet, nous aurons :

H(q,p) = rkH(Q,P)

Donc :

H(Q.P) = \ H(q,p)

(3)

r

est variable puisque r varie au cours du temps.

EQUATION DU MOUVEMENT DANS L'ESPACE (Q,P) :

~ 1—K/2

Par la transformation g^ et le changement temporel dt = r

dT

le système (1) décrivant le mouvement dans l'espace (Q,P) devient :

La fonction À dépend du choix de la liaison imposée aux variables (Q,P).

Nous choisirons désormais

|q|

=1, c'est-à-dire r =

|q|

et nous poserons

1 dr

r dx v*

PREMIÈRE MÉTHODE :

- La première méthode est la Méthode Matricielle,

/\/ -

n =

2.

C'est un système à deux degrés de liberté

(Qx = cos0

Q2 = sin6)

avec

Qî + °2 = 1

Si l'on pose v = 1 dr r dx

vx = dG/dx

(v est la variable À de Madame Losco)

on va trouver le système différentiel : dv/dx

dv^/dx,

La première équation du système (4) donne :

p = — + vQ dx 3q d0

P ‘ 30 37 + VQ

Alors : ou P = S.W S = 3Ch 30 3Q, et W = Donc : S = 30 cos0 - sin0 (5) (6) (7) sin0 COS0 S* = cos0 sin0 - sin0 cos0 (8)

La deuxième équation du système (4) donne :

d[rkm(0)] = rk

km(0) 0

0 3m/90

Des deux relations (14), (15) on peut écrire :

km (0) dr/r d0 S . U ' = Q 9m/90 (15) (16)

On multiplie la relation (9) par S on obtient :

* dP * , K * S — = S U' - - V S .P dT Q 2 mais :

S* . P = S*(S.W)

=

(S*.S)

. W = W

(17) ou : S . S = la matrice unité = 0 1 1 0 d'autre part : dT dP dS dT dT * dT; ! • W + S dW dT

i\S) âïï

dT

Il faut calculer le produit de S et dS/dT

16

On arrive donc à calculer d'une part :

* dP S . ~ dT D'autre part : * dP

km(0)

- - V2

3m k

39

2 VV1

2 dV - v + — 1 dT dV. * dT W_ + ^ 1 dT

Le système différentiel s'écrit :

If

km<e>

! v2 + ^

dT

3m . k.

39

(1

2)W1

En résumé on a le système (19) qui se sépare

(A) (B)

dt = r1-^2

dT dr/dT = rv d0 dT V1 ~ = km(0) dT

- * V2

2

dvl

3m

,, k dT 30 a

et qui admet l'intégrale de l'énergie 2

v2 + v2 = 2m(0) + 2hr k

(18)

B/ " Le cas

tels que Q2

On posera : n = 3.

Nous allons choisir

(Q^

+ Q~ + Q?

= 1

2

1 d£

r dT

cos01cos02, Q2 = cos01sin02/ Q3 = sin01)

(1)

Appliquons

la méthode matricielle pour obtenir

les équations différentielles

(B)

de premier ordre des variables

(v, v^, v^).

La matrice S :

S =

Q1

90^/90^

3QJ/902

COS0^COS02

- sin0^cos02

- cos0^sin02

°2

3V36i

3Q2/362

=

cos0^sin02

- sin©1sin02

cos01cos02

°3

303/30,

3Q3/3e2

sin©^

COS0^

S . S = 10 0 0 1 0 0 0 cos20. 7* E. (3) (2) mais : Donc : dS àZ

9s

d6i

as

d62

ae2

dx

dS = dT 30 dT

sin0^cos02

- COS01COS02

sin01sin02

sin01sin02

- cos0^sin02

- sin01cos02

cos©^

- sin0^

0

cosO^sin©

sin01sin02

- COS0^COS02

cos01cos02

- sin01cos02

- cos01sin02

0 0 0

dT

Ü2

dx

1sin01cos02-v2cos01sin02

-V^cos01cos02+v2sin0^sin02

V1sin01sin02~v2cos01cos02

1sin01sin02+v2cos01cos02

-V1cos01sin02-v2sin01cos02

-V1sin01cos02-v2cos01sin02

18 r o * dS S . ~ dT W v 1

cos20^v2

- vx

- cos2eiv2

v

0

\ sin20lv2

vi

1 • 2a 1 • 2. r\ - — sin 0v. - — sin 0vn v. 2 12 2 11 2 * dS S • T~ dT W

- v2 - cos2eiv2

J v2sin201 + vv1

cos201vv2 - v^v^sin2©

(5) * (S . S) dW dT dv/dT

dv^/dT

cos20^

(6) D'une part : * dP S dT

i - cos20xv2 + ^

dv dT dv.

vv1 + 2 sin eiv2 + dT

dv.

cos20nvv. - sin20vnv. + cos20n

——

12 12 1 dT D'autre part : * S dP dT

km(0)

-

v2

9m

301

9m 90.

Alors on peut écrire le système différentiel :

dv/dT = km(0) -

v2 + v2 + cos2©^2

dvx/dT = (9m/901) - (1 + ‘|)vv1 " \ sin2©^2

cos201 (dv2/dT) = (9m/902) - (1 + —)vv2cos201 + sin2©1v1v2

(7)

C - Le cas n = 4.

C'est un cas plus général. On peut choisir :

CMQ^ = cos01cos02, Q2 = cos01sin02,

= sin01cos02, Q4 = sinO^sin©^)

tel que :

Q1 + °2 + °3 + °4 = 1

(9) en posant : v = 1 dr d0 -, v. = , r d î dT

Nous allons trouver les équations différentielles

î = 1, 2, 3

(B) en appliquant la méthode matricielle.

où :

La première équation du mouvement dans l'espace (Q,P) donne :

P = S . W

°1

3V3ei

3V302

3Qi/3er

v

Q2

3V391

3Q2/302

3Q2/363

et W = vi

Q3

803/86,

8Q3/802

8Q3/803

V2

°4

3Q4/801

8Q3/802

8Q4/803

V3 S * S

0030^00302

- sin0^cos02

cos0^sin0 2

- sin01sin02

sinO^cos©^

cos01cos03

sinO^sin©^

cos01sin02

cos0 ^cos 0 2

cos01sin02

- sin0 cos02

- sin01sin02

1 0 0 - 20 -S . S = 0 0 cos20. 0 sin20. / E,

Il faut donc calculer les matrices :

dS * dS

dT et S

* dx

On va calculer la matrice dS/dx : s = ste , e , 0 ) (12)

as

as

d0i

as d02

as d03

—— = t~t— ~— “— + 777;— ~— 1 2 3

- sin01cos02

- cos01cos02

- sin01sin02

0

- sin01sin02

- cos0^sin02

- sin0^cos02

0

d0i

cosO^cos©^

- sin0^cos02

0

- cos01sin02

* dx

cosO^sinO^

- sin01sin02

0

_cos0^cos02

- cos0^sin02

sin01sin02

- cos01cos02

0

COS01COS0?

- sin01cos02

- cos01sin02

0

ds dT

(-v^sinO^cosG^

-v2cos01sin02)

(-v^sin0^sin02

+v2cos01cos02)

( cosG^cosG^v^

-sinG^inG.^)

( sinG^cosG^v^

+cos0^sin03v^)

(~v^cosG ^cosG 2

.+v2sinG1sinG2)

(-v^cos0^sin02

-v^inG^cosG^

(-sin01cos03v1

-cosG^sinG^v^)

( cosG^cosG^v^

-sinG^sinG^v^)

( v^sinG^sinG2

-cosG1cosG2v2)

(-sinG1cosG2v1

-cosG1sinG2v2)

(-sinG^cosG^v^

-cosG^inG^v^

( cosG^cosG^v^

-sinG^sinG^v^)

dS dT 0 - V1

- cos2G1v2

- sin2eiV3

V1 0

2 sinlÔlv2

- | sin2eiV3

cos20^v2

- \ sin20lV2

I sin2Vl

0

sin2 0^

2 sin26lv3

0

_{2 sini0ivl}

* dS Il est donc facile de trouver la matrice S . — dT W (14) * dS

S

*

dT

W =

-v2-v2cos201-v2sin201

vv.

+ t v2sin20 - è sin2G,v2

vv2cos2G^-v^v2sin2G1

vv3sin2G^+v1v3sin2G1

13 et (S S) dW dT dv dT

dv1/dT

o dv2 2q ± 1 dT

2, dv3

cos G sin 0 1 dT * dP , * dS. „ , * dW S ~ = ( S . ~ ) . W + (S .s) ~ dT dT dT

Donc d'une part :

D'autre part - 22 -dP * dT Km(6) - - v2

Om/361) - - vv1

(9m/302) - -| vv2cos201

(9m/903) - - vv3sin201

Le système différentiel d'écrit :

CHAPITRE III DEUXIÈME MÉTHODE LA METHODE LAGRANGIENNE : Soit le Lagrangien : • 9 * 2 X + V

L =

2",JL" + U(x,y) + h

où U(x,y)fla fonction de force, est homogène de degré k,

h est l'intégrale de l'énergie.

Si on fait le changement temporel dt = ydx les équations deviennent :

dx 1 dX (1) x = dt y dx .. _ _d_ x ' _ 1 _d_ x '

x ~ dt

y J

y dx

y

ÿ = A (£-> = i A (ïlj

y dt y ' y dx y ' Les équations du mouvement :

24

*2 , *2

“—2^" = U(x,y) +h

= V(0 + h)

*

On en déduit le Lagrangien L qui s'écrit :

(3)

*

x2 + ÿ2

L =

2ÏJ

+ y(U + h)

, v *

On va trouver les équations (2) a partir de L

„ * „ * Donc Mais _d_ dx _d_ dT

— (£l)

dT ' p ‘ 1 x' obtient : _d_ dT _d_ dT 9l 9y y'x . ,2 , ,2. = - r—t ( x + v ) + 2y z (x1 + y' ) + px(U + h) + y 9u 9x 2y ~7T' = U + h (TT) = y (tr) = y 3u (4) 9y THEOREME :

Soit le Lagrangien L =

+ LQ + h, si on fait le changement

temporel dt = ydT, le Lagrangien devient :

*

L y(L + h) (5)

A/ “ cas n = 2

Dans les coordonnées polaires, le Lagrangien s'écrit :

On pose : a) b) , l-k/2^ dt = ydx = r dT 1 di: dp p _ . T

7 37 = 37

r = e

<-> r = LogP

(7)

Le changement r = e*3

donne :

2p

,p2

+ 02,

.

/A.

kp

.

,

= e (r— ) + m(0)e + h

Le changement dt = eP ^ k//2^dx donne, d'après le théorème précédent :

L* = eP(1+k/2)

+ m(0) + he-kp)

Avec l'intégrale de l'énergie :

(8) L'équation en p :

P'2 I e" = m{6) + he-kp

a

3l*

_ 3l*

' Ci A i' dx 9p' 9p (9)

f <ep(1+k/2>p'>

dx K

(1 + |)eP(1+k/2)[e'2 ; P'2 + m(0) + he-kp] - khep(1+k/2)e-k|

on a :

,P(1+k/2)p”

(X + |)ep(1+k/2)p'2 = (1 + |)ep(1+k/2) (P,1.2

+ B(0) + he-kp,

- ep(1+k/2)khe-kp

On a trois formules :

1°) Une formule redonne l'équation qu'on a obtenu dans la méthode matricielle

1 dr

en posant : — — = v = p'

d0/dT =

o 2 2 2 2 2 V2 + V2 V2 + V2 v2 + V2

-^ + (1 + |)v2 = (X + |) (—— + m(0) + —

m(0>)

k<—2

m(0))

Donc : dv dx

v2

+ km(0)

(10)

2°) Une autre formule donne :

= (1 + |)V

2

1

khe-kp dv

26

Dans le cas d'énergie nulle, c'est-à-dire h = 0, on obtient :

dv

dT

(1 + -)v*

a o

(ii)

Donc v(T) est une fonction croissante pour les solutions d'énergie nulle

et plus généralement pour kh ^ 0.

3°) La troisième formule donne la relation entre m(0) et X en tenant compte

que : k+2 dm _ dX dx ~ dx k+2fl,2 avec : x = r 0 ' - L'équation en 0 : * -3fr _d_ 3L_ _ 3L_

dT

(30'}

30

(12) d p(l+k/2) P(l+k/2) 3m

âî (e

e )

= e

3Q

On dérive le premier membre par rapport à T.

On obtient : (1 + -)p'0' + 0" = 3m/30 Donc : dv

1

m

,

k

3m

— = - (1 + I)VV1 + gg

On arrive donc à trouver le système (B) qu'on a obtenu dans la première

méthode.

ETUDE GENERALE :

Le cas n quelconque :

Nous pouvons appliquer la méthode Lagrangienne dans le cas général

= rQ. (1)

n-1

Z

Q?

= 1 une

sphère à n-1 dimensions.

Nous allons trouver l'énergie cinétique 2T : dq. = rdQ. + Q.dr 1 1 î

(dQ.)2

= r2(dQ.)2 + Q2(dr)2 + 2rdrQ.dQ.

î il il où : donc : n-1 E Q.dQ. = 0

i=i

1

1

n-1

2T = r2 + r2

E

Q2

i=l 1 (2)

REMARQUES : 1°- La première inégalité de Sundman : • o 9Y

2T = r + —z où 2X^0

r

On identifie avec (2). On obtient :

2X = r"

I

Q?

= r^G

1=1

1

2°- La fonction Q dépend des variables 0^, 0^/

CHAPITRE IV

APPLICATION

AU

PROBLÈME DES

3

CORPS

I.- CAS n = 4

Nous allons obtenir le système différentiel en appliquant la

méthode Lagrangienne et nous l'appliquerons à l'étude du problème plan des

3 corps. La même hypothèse

Q1 = cos01cos02

Q2 = cos©1sin©2

Q_ = sin0..cos0_ 3 13

Q4 = sin01sin©3

9Q1

3Q2

dQl " 30x d6i + 5e; de2 “ -

sin©1cos©2d01 - cos0^sin02d02

3q

dQ2 " 301

a0l + 397 d02 = -

sin01sin©2d0^ + cos0^cos©2d02

3q 30

dQ3 ” 9©1

d9l + âëj d03

cosO^cosO^d©^ + sin0^cos©2d©2

9Q4

3Q4

dQ4 = 907

d0l + 36

d03 =

cos0^sin©2d©1 + sin0^cos02d02

(1)

dQ2 = (dQx)2 + (dQ2)2 + (dQ2)2 + (dQ4)2

dQ2 = (d01) 2 + cos201(d62)2 + sin2©^©^2

g = 0|2 + cos2010^2 + sin2©^2

> •x- x ,

Donc le Lagrangien L s'écrit :

L* = ePd+k/2) [PJ_î + I(0|2 + cos20ie^2 + sin26ie.2) + m(6) + he~kp]

(2) (3)

Equation en p : - 30

-A

= lA

dT 9p' 9p

f (ep(1+k/2>p')

dT

,

k,

p (l+k/2) .p*2 ,

1

.

, n »

,

»

-kp.

(1 + -)eK

^ 9 + m(0) + he

)

ep(1+k/2)khe-kp

" + (1 + |)p'2 = (1 + |)

+ | + in ( 6 ) + he kp) - k (he kP)

P Donc : dv dT

= km(0) + v2 - ^ v2 + cos20.,v2 + sin20.v2

1 2 12 13 (5)

Equation en 0^ :

_d_

ç>L_

= 9L_

d

90^

901

d

,

p(l+k/2)

p(l+k/2) .1

.

2

1

.

2

A

9m

— (eK

p|) = eK

(—sm2.0^v3 - - sm20,v„ +

1 2 90.

” + (1 + |)P’e; - \ sin26lV2 - - sinie.v? + 3m

e

Donc :

1 2 90.

TF = ït ‘ U + I)VV1 +

sinl0iv3 - 2 Sin2-91V2

(6)

Equation en 0^ :

rs * r, * _d_ 9L_ 9l_

dT

90^

902

d , p(l+k/2) 2a p(l+k/2) 9m

— (e

cos 0X02)

- e

(30 >

dv

cos20, —r~ =

+ v1v.sin201 - (1 + ^)cos201w

1

dT

902

1 2"

12 (7)

Equation en 0^ :

X- X _d_ 9l _ 9l_

dT (90’}

903

d p(l+k/2) 2a û.\ _ P(l+k/2) 9m

— (e

sin 0103) - e

APPLICATION AU PROBLEME DES 3 CORPS :

Problème plan : Considérons le système formé par trois corps se déplaçant

dans un plan fixe sous 1*actions des forces newtoniennes de gravitation.

Si le centre de gravitation des 3 points

M^, M^,

est fixé à l’origine du repère

Oxy le système admet 4 degrés de liberté,

les positions peuvent être définies par

les variables symétriques de Jacobi.

m1m2 = OP =

(

)

®3 -

“ <n>

°°

(1)

où G désigne le centre de gravité de et .

Les équations différentielles qui régissent les mouvements de

ce système s’écrivent : ,x. ,Ux.

m(ÿ>

V

(2)

y(?) = (U^)

M u

uy

où m et p désignent les masses réduites de Jacobi :

m = m1m2/m1+m2

et

]i = m^ (m^+n^)/n^+n^+m^

U représente la fonction de forces.

L'énergie cinétique :

2T = m(x2 + y2)

+ y (Ç2 + y2)

Le moment d'inertie :

r2 = m(x2 + y2)

+ y(£2 + y2)

Si on fait le changement de variables :

(3)

(4)

v'ïnx = x. v'my = vfë = x. v/ÏÏU =

on obtient : - 32 -2T

_{= *î}

• 2

+ X2

* 2

+ X3

(6) r2 + x2 X2 + x2

X3

+ X4

(7) Donc :

q = qfx^x ,x ,x )

On va choisir de nouvelles variables, telles que le système transformé

soit défini pour x^ = 0

i = 1,2,3,4

Posons q = rQ où :

|Q2I

= 1

(8)

Q1 = cos0^cos02

Q2 = cos02sin02

(9)

= sinO^cos©^

Q4 = sin01sin©3

r \/mx = rcos01cos02

OP ^

L-,.,

(10) A -+ ->

L'angle ©2 = (Ox^OP)

r2cos20^ = m|0p|2

(11) On a aussi :

f v/ÿÇ = rsinO^cosO^

OQ ^

\Zÿr| = rsin0 sin0 ^ 13 (12)

a = 03 - 02

r2sin201 = y|6q|2

(13) Le moment d'inertie : 2 1 | 2 1^12

r

= m|OP|

+ y|OQ|

(14)

tg0x = (\Zÿ7m)

(OQ/OP)

(15)

Les angles 0^> 02, 0^ déterminent la configuration centrale définie par les

Pour définir la forme du triangle OPQ (dans la forme

il faut se donner le rapport OQ/OP qui donne 0^ et

aussi a = 63 - 6^

la grandeur, il faut se donner r dans les côtés du triangle OPQ (dans ceux

de M1, M2, M3).

U une fonction de r et 0^ et 0^ - 6^.

A travers ce changement, la fonction de forces devient :

U = Zf-

(16)

Donc :

m = m(©1,

a = ©3 - ©2)

*

Pour écrire les équations de Lagrange à partir de L on a besoin de U, m(0) ,

on a besoin aussi d'une relation entre les dérivées partielles de m par

rapport aux Q^, 0^.

On les calcule explicitement :

Alors : 9m 9m 3a 3m

362

3a

362

3a 3m 3m 3a 3m

303

3a

303

3a 9m 3m = 0 30_

+ 30

3 2 9m 3m 3m

363

(N CD CD 1 = 2 3a (17) II.- CAS n = 6 :

Considérons le système formé par trois corps se déplaçant dans

l'espace fixe sous l'action des forces newtoniennes de gravitation. Si le

centre de gravité des points M^, M^f

est fixe à l'origine du repère Oxyz

34 OQ f Vmx = X1

J Vmy

_{= x2} V'/mz

= x3

rm = X4 v/ÿn

= X5

IvHÇ

_{= X6}

(1) (2) Z) Donc mOP2 = r2cos20. (3) Donc

U = HK0I

yOQ2

= r2sin2<

| m = m(01#02

CD U> CD .fc» CD en

1cos02cos03

Q. = sin0n cos0 .cos0,_

4 14 5

1cos02sin03

Q,. = sin0.cos0 .sin0,_

5 14 5 (4)

lsin02

C> = sin©.,sin0. 6 14 ou I Q2 = 1 i=l 1

Nous allons calculer dCT = g..d0.d0.

13 i 3 3Q, 3Q, 3q

dQl = 39^ dBl + 36^ d02 + 36^ d03 = ' sinVOse2COS03dei

- cos0^sin02cos03d©2 - cos03cos02sin03d03

3Q. 9q 9Q ~

dQ2 = 90^ d6l + 90^ d02 + 90^ d03 = " Bin01cos02sin03d01

- sin02cos0^sin03d02 + cos0^cos02cos03d03

3Q3

..

. 3Q3

dQo

“ ^7T~ d©i

+ TH"" d0o = ” sine sine d©.,

+ cos0 cos0 d0

3q 3q 3q

dQ

= tTq

d0,

+

d0

+ rr- d0

= cos0.cos0 .cos0_d0

4 30, 1 30. 4 30_ 5 14 5 1

14 5

- sin0, sin0 .cos0nd0 . - sin0.cos0.sin0._d0,.

1454 1455

3Qe

3Q5

3 Q,

dQ = Tô- d0 + d0 + r-r— d0 = cos0,cos0 sin0 d0

5 30, 1 30, 4 30,. 5 1451

14 5

- sin0,sin0 .sin0_d0 . + sin0,cos0.cos0nd0^

14 54 14 55

3Q6

3q

dQ = Tô- d0 + Tô- d0. = cos0, sin0 .d0, + cos0 .sin0, d0 .

6 30, 1 30. 4 14 1 4 14

1 4

dQ2 = (d© ^)2 + cos20^(d©2)2 + cos201cos2©2(d©^)2 + sin201(d0^)

+ sin20,cos20

(d0 )2

1 4 5

Donc le Lagrangien :

i 2

= ep(1+k/2) (— +

+ - cos20 fil2 + è cos20,cos20„012 + ~ sin20,0'2

12 2 1

+ ^ sin20 cos20 0'2 + m(0) + he kP)

^ 1 4 5 2 3 14 _ Equation en p : „ * „ *

_d_

3L

= 3l_

dx 3p' 3p

(1)

^ = km(0) -

v2 + v2 + cos20,v2 + cos20,cos20nv2 + sin20,v2 + sin20,cos20 .v2

dx 2 1 12 1 23 14 1 45

- Equation en 0^ :

„ * „ * _d_ 3l 3l_

dx

30 j

30

dv_

a

j,

-,

dX = 36^ * (1 + I)vvl + I [sini0iv4 + sini64cos2e4v| - sir^y2

- sin2Æ1cos202v2

- Equation en : - 36

-d_

9l^

d

(a0'}

ae2

cos 0 dv 2r 2

1 dT 90

+ sin201v1v2 - (1 + ^)vv2cos201 - - v3sin202cos20-L

(3)

__

Equation en 0^ :

_d_ 9l _ 9l_

dx

30^

903

dv COS20 COS20 -T— 1 2 dT

- - (1 +

vv3cos201cos202 + v1v3sin'20lcos202

+ v2v3sin202cos20^

(4) _ Equation en 0 sin20

^4 . la.

i dT 90,

(1 + -)sin201vv. - sin20 v v

- -ür sin20 sin20 v

2 14 1142 4 15

(5)

Equation en 0,

dv5

sin2eicos2e4 -Jjr

- (1 + -)sin201cos204vv5 - sinZ0;LcoE204v1v5

5

+ sin20nsin20,v.v_

1 4 4 5

*

RELATIONS ENTRE 910/90.^ :

on a :

M M2 = | OP | = krcos01

| GP | proporKcJon-el au module de

k ' rcos01

|GM3 | proporkc?.tA«| à r sin0^

donc : r|3 = GP2 + GM2 - 2GM3.GPcosa

r2 = GP2 + GM2 + 2GK GM cosa 1J JL J- ^ (6)

m = F(0^r cosa)

co sa <GM . GM > 2 3

l®2i iGM3l

®2

l™2

COS02COS03

cos02sin02

sin0^

gm3 = |gm3

COS0 ,COS0,_ 4 5 cos0 ,sin0_ 4 5 sin0.

cosa = fonction de 0^ et de

X = cos0.,cos0^cos0 ,cos0r + cos0^sin0ocos0 „sin0,_ + sinO^sin©,

2345 2345 24

X = cos0^cos0 acos (0- 0.J + sin0„sin0„

2 4 5 3 2 4

m = F(0lf X)

Alors : On a aussi : 3m 3f 3x

3x

1

905

3x

_{305 '}

3m 3f 3x 3f ,

363

" 3x

"3 "

3x

(i

3m 3m

30 5

303

3m 3f 3x 3f

3x

{'

362

” 3x

302 "

3m 3f 3x 3f

3x

('

304

" 3x

304 "

= 0 2 4 1 2 4'

COMPARAISON AVEC L'ETUDE DE MADAME IRIGOYEN :

Madame Irigoyen a étudié le problème plan des 3 corps sous

l'action des forces newtoniennes de gravitation.

Donc dans ce cas-là, n = 4, la fonction de forces U homogène de

38 dR — = rvn dT 1 dS 1 = v dT 2

«

Ü2

dT

Ü3

dT dT dv — (v cosS_ - v.sinS,)

cosS1

3

14

1

sinZS^

4

- U + - (v^2 + (v2)2 + (v3)2 + (v4)2

| vxv2 + 2v3v4 + 2(v4) 2cotg2S1

dT dv 3 1 = — — v v dT 2 13

âV4

2

—

1

TT =

ÜS3 - 2 V1V4 - 2v2v3 - 2''2v4cotg2S1

Nous allons comparer le système différentiel dans le cas n =

Madame Irigoyen a utilisé les variables :

‘2 =62

Il faut remplacer : 2 v v v„ =

el

S.

S3

=

03

r 1

V1

d03

d dT dT

d02

ds.

d0i

ds1

_ v dT dT 2 14 v_ = —— = — > - tgs,v„ 2 dT dT 3 y 1 4 (3) (4)

/\-, La première équation du système (2) devient :

dv

X X

-pp = 2 vi + v2 + cos2s1(v3 “ tgs1v4)2 + sin2s1(v3 + cotgs1v4) 2 - m(s)

dv

dF = 2 V1 + V2 + COs2s1(V3 + tg2slV4 " 2v3V4tgSl)

+ sin2sn(v2 + cotg2snv2 + 2v„,v .cotgs., )

- m(s)

13 14 34 1

dv

dT = - m(s)

+ 2 vl + v3 + v4

c'est la première équation du système (1)

B-, La deuxième équation du système (2) devient :

dv 2 dT Donc

— - \ v!v2 + I sin3-slt(v3 + cotgs^)2 - (v3

9 m x X r 9 n a

3^ - 2 V1V2 + 2 sin2Sl[(ootg sx - tg

+

^2 _ Jm.

1

d<3

3s1

2 vlv2 + 2v3v4 + v\ (2cotg2s

- tgSlv4)

2v3V4(tgsl

1)

2]

+ cotgs1)]

40 O, 0n a :

_{62 = V3 " tgSlV4}

d02

dV3

dV4 .

1

17 = 17 ‘ 17 tgEi -

V2V4

de 2 COS S 1 dv dv 2 2 3 . 4 —:— = cos s, ~r~r ~ sins.,coss, ~rrr 1 dT 1 dï 1 1 àZ V V 2 4 (I)

on a aussi la troisième équation du système (2)

2

d^2

3m

1

2

COS si

d7 = 3ë7 ' 2 V1(V3 " tgslV4)COS sl

+ sinis^v

- tgs1v4)v2

(II)

Identifions- (I) et (II) , on obtient

dv3

dV4

3m

1

1

Cos2sl 17 ' sins1cossl 17 = V2V4 + W2 - 2 viv3Cos2s1 + 2 sins1coSs1v1v4

+ sin2s1v2v3 - 2sin s-lV2V4

(III)

D~,

On a

:

= V3 + cotgsiV4

La dérivée par rapport à T

(I')

(I*)

^ 3 3in 1

sin2s1

= ôq— - — v1(v3 + cotgs1v4)sin2s1 - sinZs1(v3 + cotgs1v4)v2

(II1)

de (I1) et (II1) on obtient : dv .2. 3 dv 4 9m sin~s, —— + sms,coss, —— = v„v, + 1 dx i ! dT 2 4 90. 1 .2 1 . — v.v.sin s. - - sms.coss.v.v, 213 1 2 1 114

sin2s1v2v3 - 2cos s1v2v4

(III')

La somme des deux équations (III) et (III') donne :

^V3

9m

9m

1

17 = 3^ + le; - 2 V1V3 + 2v2v4 - 2v2v4

On a trouvé la relation suivante :

donc :

9m

+

9m

_

96 96.

i

dT

2 V1V3

cette équation est la troisième équation du système (1)

Si on multiplie l'équation (III) par (- sifi s^) et (III') par (cos2s^)

en faisant la somme on obtient :

dv

4 2 9m . 2 9m , - 1

sins-.coss. —— = cos^s, “t— - sin^s, 77— + v_v.cos2sn - — sins^oss^.v,

42

d'après cette relation on obtient :

dv

4 2 am 1

—— = —;— —— - — vn v, - 2v - 2v v ^cotqs.

dx

smls^

214

23

24

1

C'est la quatrième équation du système (1).

Donc, après avoir changé les variables de notre équation

on obtient l'équation de Madame Irigoyen.

L'étude du cas n = 6 constitue une généralisation de la mise

en équations du problème plan des trois corps de Madame Irigoyen au problème

CHAPITRE V

CAS DES

FONCTIONS

DE

FORCES

U

=

POLYNÔME

HOMOGÈNE DE DEGRÉ

3,

STABILITÉ DE

L'ÉQUILIBRE

ET MOUVEMENTS D'EXPANSION

ETUDE QUALITATIVE DES SOLUTIONS DANS LE CAS n = 2.

Nous allons étudier dans ce

forces U est un polynôme homogène du 3e

x, y, t, soit en variables de Mc-Gehee.

Rappelons pour k = 3 :

dt = r 1//adT

1 dr

chapitre le cas où la fonction de

degré, soit directement en variables

(A) de dx = v 1 3m 36 5 2 vv 1 dv dx 3m + v2 3 2 v 2 avec :

U

= r3m(0)

On a aussi l'intégrale première :

v2 + v2

= m(0) + hr

d'où l'équation transformée :

44

Nous allons traiter les 3 formes caractéristiques :

U = y(x2 + y2)

m(0)

= sin0

U = xy2

(potentiel de R. Broucke) ra(0) = sin26cos0

(3)

3

U = ^

xy2

(potentiel de Hénon)

m(0) = cos30/3

Pour les 3 modèles :

1. - les équations en x,y,t et en r,0,T

2. - Etudier la courbe de vitesse nulle et en déduire le domaine des

trajectoires possibles.

3. - L'orbite homothétique et stabilité de

l'équilibre pour

:

(h = 0, h > 0, h < 0)

4. - Flot sur la variété h = 0.

Conséquences pour les mouvements d'expansion.

ETUDE DU PREMIER MODELE :

La courbe U(x,y)

= k

(4)

k : une constante donnée positive, négative ou nulle.

Puis : * 2 X U + h Pour U + h > 0 (6) 1° pour h = 0 on a donc : U > 0 c'est-à-dire y > 0.

2° pour h < 0 si l'on pose

3° Pour h > 0 on pose h = a

3

on trouve U > - a

c'est-à-dire y > - a.

Donc la trajectoire qui atteint

la courbe de vitesse nulle re

part avec la direction de

grad U _|_ à U = 0.

Solutions homothétiques : étude directe :

On a les équations du mouvement

x = 9U/9x = 2xy

ÿ = 9U/9y = 3y2

La solution homothétique est la solution

x = 0

Ÿ = 3y2

Donc l'intégrale de la deuxième équation donne :

*2

\ = y3 + h

A) Pour l'énergie nulle, c'est-à-dire h = 0, on obtient :

*2 y 3 2 = Y (7) (8) (9) (10)

Soit pour t = 0

y = yQ > 0

et y = ± \/2y

1er cas : y = + '/2y i/2

On obtient donc

- 46

-y =

(T - t)

où le mouvement est défini par -°° < t < T

2e cas : y = - \/2y3/2

0

On peut trouver la même chose en posant :

y”1/2 = - -L T

y0 V^2

y =

(t + TT

où le mouvement est défini par -T < t < c

On peut changer la date.

Le mouvement pour lequel y > 0 y = 2/t'

Le mouvement pour lequel y < 0 y = 2/t‘

Dans le plan x,y : y 00 pour t -* 0

si y = y0 pour t = tQ

dans la phase ascendante

tQ est négatif.

-00 < t < 0

0 < t < 00

On peut remarquer que la position d'équilibre est instable.

B) Le cas h < 0.

Si l'on pose que h = - a3

donc y >+ a et il ne peut

C) Le cas h > 0

De même h = a3

Donc y > - a et il atteint

l'origine avec la vitesse

y = ± /2h.

- Solution homothétique en variable de Mc Gehee :

On peut déterminer la solution homothétique par 0 = 0q

telle que : 3m/90 = 0, c'est-à-dire 0 = tt/2, alors dans ce cas-là : v = d0/dT = 0

1- La variété h = 0 .On peut trouver, d'après le système (B) que

l'on a écrit au début de ce chapitre que :

dv/dT = 0

d'autre part, l'intégrale de l'énergie donne :

v2 = 2m (0Q)

Donc v2 = 2 ; v = ± \fï

v = V2 - — = /2>0 r = r e

r dx 0

r croît de zéro à l'infini lorsque T G

or:

r = y = 2/t2

.-1/2.

Le changement de variable dt = r dx a ralenti l'expansion

v = — V2

r décroît de

l'infini

à

zéro

lorsque

T G

[-co,+«>]

1 dr

,,=• ^

-V^x

- — = -v2->r= r.e

r dx 0

2- h < 0.

Si l'on pose h = - a3

le système

(B)

donne

:

— = 3(—)3

>0

donc vt

dx r

On a aussi :

v2/2 = 1 -

(a/r)3

> 0

donc : r > a

v varie entre

0 pour

r

= a et l/2 pour

48

3- h > 0. Si l'on pose h = a , alors :

— = - 3(a/3)3 <

0

dT

La fonction v décroît dans tous les

intervalles où elle est définie

On a aussi

: v2/2 = 1 +

(a/r)3

donc : r > - a et pour r = - a la fonction v s'annule. Pour r -* 00 v - ± y/2 mais pour r -* 0 v -* +°°

alors pour x -> -00

v -* ± V2

nécessairement c'est v = - V2. Remarque : on a y = rsin0 Pour 0 = tt/2 y > 0 Pour 0=-ïï/2 y<0

Donc pour l'étude de la solution

homothétique avec h < 0 les va

riables de Mc Gehee ne sont pas bonnes parce que nous avons deux difficultés

:

1°- Quand v -* 00 lorsque r ** 00

donc lorsque

|t| -> +00

2°- Lorsque y traverse la valeur zéro on est obligé d'utiliser non pas

0g = 7T/2

mais

0g =

-Les mouvements pour

lesquels r

00 en variables de Mc Gehee sont asymptotiques

à la variété h = 0.

Donc nous allons étudier le flot sur cette variété.

En utilisant le système (B)

d0/dx = v1

v est une fonction croissante avec :

2 2

+ V

= m (0)

donc : sin0 >0 0 < 0 < TT

Une surface de révolution autour de l'axe 0.

Les points d'équilibre :

= 0 0 = tt/2 v = ± \/2

De quelle nature ?

Equations aux variations au voisinage de E+ c'est-à-dire du

point (v = + V2, 0 = tt/2, v^ = 0)

Donc

0

3 + 5

V = v 1 1 v = \[2 + ôv r = e \JlT Donc 0

Tf'g- «

avec ôv = 0

dÇ/dx = v1

dv^/dx = m"(60)

- (5/»^2)Ç'

m''(0o)

« - 1.

On peut écrire l'équation :

s" + h ç' + 5

0

C'est une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients

constants qui a deux racines négatives p^, p2 :

d'où :

p2 + 'h.p +1 = 0

p2 < pi < 0

P1T

P,T

- 50

-P-,T

R

(Po-P,)

Si A ^ 0 Ç = Ae [l + — e

Le second terme est négligeable pour p2 <

sauf si A = 0, alors £ = Be

P2T

Etude de x = r cos0 ^ e Donc :

/2T P1T

e si si A ^ 0 A 0

(/2+p

)T

x ^ e Or soit : on a : d'où :

(/2+p2)t

si A = 0 x ^ e

f(p) = p2 + 72 P + 1

f(- V2) = - 2 < 0

P2 < - /2 < px

Lorsque T -> + 00 pour A ^ 0 x -* + 00 pour A = 0 x 0

C'est donc la solution particulière A = 0 qui est asymptote à la solution

homothétique x = 0,

y = 2/t2,

lorsque t -> °°.

Etude directe : Retrouvons ce résultat directement. On a : x = 2xy

** 2 . 2

y = x + 3y

au voisinage de la solution homthétique

c'est-à-dire si

x2 /y2 -* 0

on a

:

x = 2xy(t)

= 4x/t2

C'est une équation différentielle de 2e ordre à coefficients variables

qui admet les solutions :

v v

1 2

x = X t

+ X2t

où v^, v2 sont racines de l'équation

v2 - v - 4 = 0

pour y + 00 t ** 0 ; la solution x(t) qui tend vers 0 est la solution V1

x = X^t

donc v^ est la racine positive de l'equation.

Montrons que les deux résultats sont équivalents.

52

La solution x qui tend vers zéro correspond à v > 0 donc à Jï + p< 0

c'est-à-dire à p

2 *

En résumé, pour r assez grand

et h = 0 toutes les solutions

sont paraboliques dans la di rection 0 = tt/2 sauf une qui

est asymptote à l'axe x = 0.

ETUDE DU DEUXIEME MODELE :

1- Courbes de vitesse nulle.

On a l'intégrale de l'énergie

Donc : U + h > 0

a)

h = 0 alors U = xy2 > 0

(3)

Le domaine du mouvement x > 0

sera y = 0 une droite double.

b)

h < 0. Si l'on pose h = - a3

2 s 3

on peut trouver que xy > a

le domaine du mouvement sera :

y > ± (a3//2)/Vjc

(4)

, . i 3

c) h > 0. Si 1 on pose h = a

j 2 _ 3

on peut passer du cas xy - a

au cas xy2 = - a3 en changeant

x en - x donné par symétrie par

rapport à l'axe x = 0.

• 2 *2

— + = U + h

2 2

(1)

Solutions homothétiques

:

Les équations du mouvement s écrivent

.

x = 9u/9x = y2

ÿ = 9u/9y = 2xy

L'intégrale de l'énergie :

•2 *2

— + ^— = xy2 + h

2 2 J

On peut obtenir les solutions homothétiques directement.

A-.

Soit y = 0, on trouve l'intégrale première

:

*2

(6)

Donc :

x2/2 = h

pour

(t = 0

x = xQ)

x = ± y2ht +

1° pour h = 0,

y = 0 est une droite

d'équilibre. Tous les points de

y = 0

sont points d'équilibre.

2° pour h > 0, x = ± /2ht + x^

les deux solutions sont possibles.

3° pour h <

0,

elles sont impossi

bles .

tf-'j-i.)

* => ^ >

B-. Soit y = ± /2x. D'après l'intégrale de l'énergie on peut obtenir les

deux intégrales premières :

• 2 4 3,2

x

= j x

+ 3 h

•2

2/2

3

,

2

y

= — y

+ 3 h

On va traiter les solutions homothétiques dans les cas suivants

1- h = 0. v = xQ •2 4 3 x2 = - x • _ + 2_ 3/2

Soit, pour t = Q

x = xQ > 0

et

x ” ~ \/3 X0

On obtient : x = (T - t) 2 le mouvement est défini par - °° < t < T

pour _{x X0}

3/2

ou

(T + t)

Si l'on change la date

le mouvement pour x > 0 x = 3/t"

• /

le mouvement pour x < 0 x = 3/t'

dans le plan Oxy :

x, y + 00 pour t 0

Si x = Xq pour t = tg dans

la phase ascendante t est

négatif.

On peut remarquer que la

position d'équilibre est instable.

2-

h <

0.

Soit h

= - a3

* 2 4 3 2 3

donc : x = — x - — a

le domaine du mouvement est

x > a^ = a/3/2

- 00 < t < 0 et :

t.±# r ^

2

a;

'

al

1

L'intégrale pour x -> 00 se comporte comme /* dx/v/xJ et pour x -* a, elle est

convergente.

Ceci montre qu'on peut choisir par

t = 0

la date où la

trajectoi

atteint la courbe de vitesse nulle.

3- h > 0. Soit h = a3 • 2 43 22 Donc, ona:x = — x + — a

Le domaine du mouvement x > - a^

n , 3 » 1 /3 ou a = (a /2)

Solution homothétique en variables de Mac Gehee? Nous avons : U = r cos0sin 0

m(0)

= cos0sin20

On peut déterminer la solution homothétique par 0 - 0Q tel que 9m/90 =

Donc, il faut que :

sin0(3cos20 - 1)

= 0

I.- Le cas 0^=0

D'après le système (B) on peut trouver : = d0/dT = 0

et :

m(01)

= 0

Donc :

2

9

h

V =2 —r r 1- Sur la variété h = 0

on a (v = 0

v^ = 0

0^ = 0)

r = rQ est un point d'équilibre.

2-

la variété h > 0.

Soit h = a3

On peut obtenir :

dv/dx = - 3 (a/r)3 < 0. Donc v est

Donc : dr = ± /2hdt - 56 -r = ± /2 ht + r x = ± /2ht + xrt et y = 0 0 J 0

2°- La deuxième solution pour cos20 = 1/3.

Donc soit cos02 = 1//5" ou cos©^ = - 1//T.

1-

cos 02 = l/i/3. On a ra(0 ) = 2/3/1 d' après le système (B).

On peut obtenir :

2 4 2h

V

" 3/3 + T7

a) pour h = 0

dv/dx = 0. v est une fonction constante

On a aussi : 2 4 7 2 V = V = + . V = /3 /3 3/3 Dans ce cas-là : /373 1 dr _ 2 r dx /3/3

r

= rQe

(2//3VÏ) x

r croît de zéro à l'infini lorsque X G [-o°,+c°]

Or :

dt = r 1//2dx

dr _ 2 1/2

r

‘ TîTJ r

dt

r = (33^2)/t2

_{x = rcos©^ = 3/t‘}

Le changement de variable a ralenti l'expansion.

. v = -/3/3

(-2//3V3") Z

De cette formule r décroît de l'infini à 0 lorsque x G [-°°,+oo]

1 dr 2 ^

7 57 = - 7573 < 0 * r = roe

b) pour h< 0 ; h=-a3. Alors :

dV

— = 3(a/r)3 > 0 v i

dx

v2

57? - 2(a/3>3 > 0

v varie entre c) pour h > 0

_ 3/ 3/3

r

al

2

3

0 pour r = a

et v = ± 2//37J pour r ->

h = a'

dv/dT = 3(a/r)3 <0

v i

On a :

v2 = J7J + 2(a/r) 3

Donc :

pour r = - a^ *>

pour r 00 r -> 0 v = 0

v -> ±

2//3T3

v -> +°° Donc : COS0 = 1//3

donne les solutions symétriques à Ox (1) et (1*)

cos0

= -

1//3

donne les solutions (2) et (2*)

pour h = 0

iti(0q)

> ® solutions

(1) et (l1)

pour h = a3

> 0

pour

les solutions

(1)

et

(1’)

les trajectoires varient.

Remarque :

Dans l'étude directe le cas h > 0 nous a donné une solution.

En variable de Mc Gehee.

On est obligé de distinguer deux demi-trajectoires au lieu de la

trajectoire unique y = V2x

;

c'est-à-dire cos0 = 1/V3

0

= arc cosl/vT

et cos0 = - l/\f2 0 = arc cos(-l/\/3) + tt ceci est lié à une autre difficulté

Le flot sur la variété h = 0

- 58

-Pour cette étude, on va utiliser le système (B)

ae

dT

V1

^1

dT 9m 5

96

2 VV1

(B) dv 5 2

dT " 2 V1

avec l'intégrale de l'énergie :

2

V2

T + T = m<0)

Donc, il faut que m(6) > 0 *> cos6 > 0

alors : - tt/2 < 0 < tt/2

On a les points d'équilibre v = 0, 6^ = 0, v^ = 0 et v

1

= ±

2//373T

2

arc cos

, v

= 0.

02

EQUATIONS AUX VARIATIONS AU VOISINAGE DE CES POINTS :

- Voisinage M(v = 0, v^ = 0, 0 = 0)

Donc : 0 = 60 = Ç V = ôv = T] v = 6v 1 1

On va remplacer dans le système (B)

C'est une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients

constants qui admet deux racines p^,

:

p2 - 2 = 0

d'où :

r

v/2T

,

„ -/2T

Ç = Ae + Be Si A / 0 :

r

,

/2T,-

B

-2/2t.

,

/2T

Ç = Ae (1 + — e ) = Ae

le second terme est négligeable pour T +°° __ -/2T

Sauf si A = 0 £ = Be

Lorsque T 00 pour A ^ 0

pour A = 0

c'est donc la solution particulière A = 0 qui est asymptote à la solution

homothétique x 0 y 0 pour t -* 00. /2 T

x = r ^Ae

+°°

-/2T

x = r QBe

0

EQUATIONS AUX VARIATIONS AU VOISINAGE DE E :

c'est-à-dire au voisinage du point E+(v = 2//T7T,

= 0, 0^ = arc cos -V)

La même chose : Donc

0 = arc cos ÿj + <50

vi = 6vi

v = /3/3 + ôv 6v = 0

âM . v

dT 1

17 = m"(eo)5e -7hi^

Si l'on pose : 60 = Ç On obtient :

c'est une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients

60 On a : p = - a + i$ = - a - i3 Alors :

Ç = a/6" + b e-1BT

où A.

= e a . A

et

3

= e a . 3

Si A ? 0 i 3„ r , i3x/1 h'l -2i3T. ç = A e (1 + — e )

A1

’l

-2i3x

— e 0 lorsque T +°° Si A = 0 : 1

K = exe

-i3x Donc :

n

.

(2//373)T

i3x

x = r cos0 = A^e

. e

si A^ 0 lorsque X -> 00

x -*• 00

Mais pour A^ = 0 :

C'est donc la solution particulière A = 0 qui est asymptote à

la solution homothétique x = 3/t2

y = /2x lorsque t -> °°.

ETUDE DU TROISIEME MODELE :

3

X 2

Soit le nouveau potentiel U(x,y) = — - xy

Nous allons étudier le domaine du mouvement où la vitesse est

nulle.

1- Les courbes de vitesse nulle :

On utilise l'intégrale de

On peut écrire la relation suivante : 3

l'énergie :

xy2

+ h

x 2 , ^

— - xy + h > 0

5

xv2

>

0

1#

h = 0

Donc .

3

*

_ si x > 0 on a x > ±

- si x < 0 on a x2 < 3y

.

,î/3 < 0.

On a donc

2. h = " a /

x3 - 3xy2 - a3 > 0

3 _ a3 2 . x -JI—5— y < 3x

en coordonnées polaires.

On a :

cos30 >

(a/r)

On va trouver la courbe

cos30 = cosct

OÙ cosa = (a/r)3 et r > a

30

= a (r )

+ 2Ek

o il

B

- ^

01

3

k = 1

fi

_{°2 ”}

_ “iïi + | TT

₃

₃

k = 2

„

_{03 -}

- “i£l + ^ TT

₃

₃

3. h

= a3/3

> 0• Donc

3 _ X

3xy2 + a3 > 0

o

x3

+ a3.

y < 3x

On peut trouver les régions

permises comme dans le cas

précédent en changeant dans les

coordonnées polaires

rw + tt

En

ce cas-là r < a

a en a + 11 • 11,11

SOLUTIONS HOMOTHETIQUES :

- 62

-Le potentiel, dans ce cas, s'écrit en coordonnées polaires

sous la forme suivante :

U(r,6) =

r3cos30

Remarquons que le système est invariant par les rotations

27T 3 4 TT 3 0 = 0' + 0 = 0" +

Donc, il suffit d'étudier les solutions dans l'intervalle -tt/3 ^ 0 < tt/3

Etude directe :

Les équations du mouvement s'écrivent :

x = Bu/0x = x2 - y2

y = 3u/3y = - 2xy

avec l'intégrale première :

• 2 *2 3

X y_ X 2 , .

T

2

= T ‘ xy

+ h

Les solutions homothétiques sont :

- Soit y = 0 • 2 3

Donc :

T = T + h

a) pour h = 0

On a i2 = | x3 -» i = ±/2^73

alors : • 6 pour x > 0 x = — —y < t < T ^ (T - t) • 6 pour x < 0 x = ——;——y -T < t < +°° ^ (T + t)

Comme on peut choisir la date T = 0

Donc la solution homothétique :

b)

pour h = a3/3 > 0

3^

V O On obtient : x - (.x + a ) t '/ " ' \ 3 -a il faut donc : x3 + a3 > 0 c'est-à-dire x > - a

c)

pour h = - a3/3 < 0

On a : x2 = -j (x3 - a3) > 0

c'est-à-dire x > a

En tenant compte de 1'invariance pour les 2 solutions on a donc

par exemple, pour h = 0, les trois solutions homothétiques représentées

(•£ î g Y )

SOLUTIONS HOMOTHETIQUES EN VARIABLES DE MAC GEHEE :

Le potentiel s'écrit : U(r,0) = r3c°sA6,

Donc :

M(0)

D'après le système B, les solutions homothétiques sont obtenues pour aM(e) _

30

= 0

Donc : sont : - 64 -30 = ± k7T, les 6 solutions CD II O 0' = TT 0 0 1 II H CD tt/3

_{0^ = 2TT/3}

CD to II 1 2TT/3

0^ = tt/3

D'après le système (B) , on a aussi :

o — zn

V2

= 2M(0)

+

1- Si h = 0 pour 0^ = 0 on trouve v2 = 2M(0^) = 2/3, d'où

(±/273)T

v = ± /2/3

et

r

=

r e

en tenant compte de dt = dT//r"

on retrouve la solution r = 6/t"

Pour 0q = ïï on a : v

- - 2/3 impossible.

2-

h < 0. On retrouve de même la solution étude directe pour 0^ = 0, mais

pour 6q =

tt , impossible.

3-

h > 0.

Soit h = a3/3.

2 a3

Pour 0Q = 0 on a : v2 = — (1 + —7) . Cette solution donne v

+°°

pour r

0

O 3

2 ^ â /

mais pour 0^ = tt on a v

= — (^-3-

- 1) . Cette solution est définie pour r < a

et v -> + 00 pour r ^ 0.

Donc ces solutions

(0^ = 0 et 0^ = ïï) sont en fait équivalentes

à la solution unique étudiée directement y = 0 et h = a /3.

Les variables de Mc Gehee introduisent une décomposition arti

ficielle de x > - a en :

0 = 0 et r > 0

{

0

LE FLOT SUR LA VARIETE h = 0 :

Le système (B) valable pour cette étude

d0

dT ” V1

dT 0M 5

90

2 VV1

dv _ _5 2 dT “ 2 V1 avec l'intégrale première :

v2

+ v2

= 2M(0)

Il faut satisfaire la condition cos30 ^ 0 ; comme nous l'avons expliqué pré

cédemment on se bornera à

101

^ tt/6

,

les deux autres régions

:

|0

-0l

VII 2tt 1 _{< 1}

3 1

“ 6 4tti _{< I}

3 1

" 6

se déduisant par les rotations 2tt/3 et 4TT/3.

Les points d'équilibre pour 0 = 0 et h = 0 sont :

E

:

(v = -J2/3

0=0

v

= 0)

E : (v = /2/3 0 = 0 v = 0)

Pour étudier leur nature, nous écrivons les équations aux variations.

Il suffit de considérer le cas de E+ ; pour E

il suffit de changer v en -v

et T en -T.

EQUATIONS AUX VARIATIONS AU VOISINAGE DE E

Posons : 0 = 60 = £

v = ôv + (/2/3)

vi = 6vi

66 Donc : dv avec M"(0) = - 3 On obtient :

V

+ Vê

+ 35 = 0

C’est une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients constants, l'équation caractéristique s'écrit :

p2 + 71 p + 3 = 0

Les racines sont complexes conjuguées et leur partie réelle est négative

Soient : p. = - a + ib et p = - a ib

> 0

OU a = 276

Les solutions sont de la forme :

= Ae aTcosbx

Ç2 = Ae aTsinbx

c'est-à-dire :

Ç = Ae aTcos(bx + (p)

Avec deux constantes arbitraires

A et (p.

Lorsque T -> + 00, Ç tend vers zéro en oscillant. Le point E est

un "puits”.

De même, le point E est une "source".

Pour compléter la description du flot sur la variété :

m

:

v2

+ v2

-

2M(0)

= 0

remarquons que v(t) est une fonction croissante, on peut déduire comme nous le montrerons dans le dernier chapitre que toutes les trajectoires de m

APPLICATION : LES TRAJECTOIRES DANS LE PLAN (x,y) :

1°- Les points E et E ont respectivement pour voisinages les solutions

homothétiques y = 0.

E

:

x = 6/t2

7 O A et A 8 + . 2 E : x = 6/tz r i8 A et A _O

Démontrons-le pour E+ :

On a 0 = 0 donc y = 0 x = r Or : dr + /—— — = rv = r/2/3 dT d'où :

(273)T

x = x . e o D'autre part :

dt = r 1//2dT

c'est-à-dire : -KT^ dt = e dT où K est > 0. __ K t Donc : K(T - t) = e

avec : T-^ + co->t->T date pour laquelle x 00

^->_co-> £ -> — oo

Par

le changement de date déjà expliqué on a donc x = 6/t2

-00 <

t <

0.

2°- Cherchons l'image d'une trajectoire quelconque issue de E et aboutissant

à E+.

VT

a)

On a r = rQe

avec

:

v variant de -/2/3 pour t -> -00

à +/2/3 pour t

+°°

Donc, r décroît de rQ à + 00, la valeur minimale r = rQ est atteinte pour

68

La relation dt = ^r- donne

(en choisissant t = 0 pour T = 0)

:

t = /J dT//r

1 -RT

Lorsque T -* 00, l'intégrale est convergente puisque ^ ^ e

; K > 0

donc t -* Tq ; le mouvement complet d1effectue dans l'intervalle

-T0 < t < T0.

b) On a y = r sin9, cherchons la limite de y lorsque

t -*To :

. (+/2/3)T -aT .

y ^ r^e

Ae

cosbx

d'où

|y|

se comporte comme e

((/273)-a)T

T -* + 00 c'est-à-dire

Or :

3 = 276 > 7571

donc y 0.

La trajectore est donc asymptote à l'axe des x.

En résumé : toutes les trajectoires sont asymptotes à la solution homothétique

y = 0 avec oscillation autour de cet axe. (Figure pour un cas particulier) :

n TT

Cas particulier : t = 0 0 = —

U o

et r = V

Pour préciser le dessin, il faut

calculer numériquement le nombre

de fois où 0 = 0.

CHAPITRE VI

REMARQUES GÉNÉRALES

Considérons le Lagrangien L dans les coordonnées polaires dans

le cas n = 2 :

L = -| (r2 + r202) + M(0)rk + h

On a déjà vu que le Lagrangien devient après le double changement :

r

= ep

dt = rl-k/2,' dT

L* = e(1+k/2)p[i(p•2 + 0.2} + M(ê) + he kP]

avec-1'intégrale de l'énergie :

| (p'2 + 6'2) = M(0) + he"kp

Nous allons traiter deux groupes de remarques :

^ R

1- Sur le rôle de l'exposant (1 + — = 0) ;

2- sur le rôle de k > 0 et k < 0

1°- L'exposant 1 + — :

a) il est nul pour k = - 2, le système est intégrable ; il

admet les deux intégrales premières :

1,2 , 2p , - p' = he + h_

avec h^ + h^ = 0

- 0'2 = M(0) + h2

- 70

-b) Considérons deux exposant

et k^ symétriques par rapport

à k = - 2, c'est-à-dire :

k + k k k

___ . - 2 <_> , +

. - a + f>

et bornons-nous au niveau d'énergie h = 0

avec l'intégrale : p (1+k /2)

Lx = e

[-(p^2 + 0'2) + M(0)]

- (p|2 + 0'2) = M(0)

-p (1+k /2)

L2 = e

[-(p’2 + 0'2) + M(0)]

avec l'intégrale

“ (P^2 + 0'2) = M (0)

Fi le potentiel Un = M(0)r, 1 , ,

1 1 admet les solutions :

px = fi(T)

e = g(T)

alors le potentiel 2 admet les solutions

P2 ” ” P1

f1^

9 = g(T) Or : Et :

Donc

:

r^r

Conclusion

r^

dT

P1 ^ ri = ri(0)e

piT

_1_ ^2

r2

dT

P2 = ” P2

r2 = r2(0)e

-piT

= constante.

A toute trajectoire d'énergie nulle du potentiel correspond

la trajectoire inverse par rapport à l'origine O, trajectoire

Exemples :

1- Dans le cas où = - 1, on trouve = - 3. Si l'on pose M(0) = M = Cste

on a pour k = - 1 la trajectoire d'énergie nulle une elliptique

r

=

2

1 1 + COS0

Donc le potentiel

= M/r3

admet comme trajectoire d'énergie nulle les

courbes

r2 = P1(1 + cos0)

ce sont des "cardioïdes".

2- Deuxième exemple : le cas k^ = 0. Alors k^ = - 4. On peut écrire le

potentiel = M = constante. Les trajectoires d'énergie nulle correspondant

à k^ = 0 sont des droites

r =

1 COS0

avec la vitesse :

v = ± /2M

Donc le potentiel U= M/r4

admet comme des

trajectores d'énergie nulle

l'inverse de r^ c'est-à-dire :

= p cos0

Ce sont des cercles passant par l'origine.

2° Rôle de k < 0 et k > 0 :

Nous avons déjà remarqué que pour k < 0 les mouvements qui

admettent la singularité r = 0 sont asymptotes à la variété h = 0, et pour

k > 0, les mouvements d'expansion r -> +6z sont asymptotes à la variété h = 0.

Nous allons revenir sur la stabilité du point d'équilibre r = 0