4. Potentiel d’un champ de forces conservatif 4.1. Champ de forces

4. Potentiel d’un champ de forces conservatif 4.1. Champ de forces

P(u, v, w)

F( u, v, w)

D = Ω

P(u, v)

F( u, v) D = Σ

P(u)

F(u) D = Γ

a) Champ de forces = vecteur force défini en tout point d’un domaine de l’espace : )

(

F P

D

P ∈ →

∀

b) Champs de forces particuliers

D F

F

F

F 9 Champ de forces uniforme (ou constant)

: ∀ P ∈ D F

⇔ indépendant de P

ex. : champ uniforme de la pesanteur terrestre : F = m g

mg D

mg

mg mg

Terre

9 Champ de forces central :

D P ∈

∀

⇔ le support de passe par un point O F

ex. : champ de gravitation terrestre : T OP

OP m G m

P

F ( ) = −

1

O

D

9 Champ de forces d’un ressort linéaire :

kx

F = − 1

O x

D

F Γ A B

D

4.2. Champ de forces conservatif

4.2.1. Travail d’une force lors d’un déplacement quelconque de son point d’application

P(s)

F(s)

P’(s + ds)

O

r(s)

Γ A B

D ^{1°) Rappel :}

r d . ) s ( F

) OP '

OP .(

) s ( F ' PP . ) s ( F τ d

=

−

=

=

Travail de lors d’un déplacement de son point d’application entre A et B le long de Γ D :

F

⊂

u u u

u r F

r s

F

uB

u

( )) d

d . d ) ( (

d

. ) ( d

∫

∫

∫

=

=

=

τ

τ

2°) Définition :

[ ] ^{ML T}

τ =

Si F ( P ) = F

( x , y , z ) 1

+ F

( x , y , z ) 1

+ F

( x , y , z ) 1

τ s'écrit sous la forme ) z d F y d F x d F

(

AB x

+ +

= ∫ τ

L'arc de courbe AB étant l'hodographe d'une fonction vectorielle

z y

x

y ( u ) 1 z ( u ) 1

1 ) u ( x ) u ( r

r = = + +

L’intégrale curviligne se ramène à une intégrale de Riemann sur la variable u :

∫ 



 



 + +

=

d u

u d

z ) d u ( u F

d y ) d u ( u F

d

x

) d

u

(

τ F

O A

B x y

R

y

x

k y x

ky

F = 1 + ( − ) 1

a)Travail de entre Aet B le long de l’arc de cercle b)Travail de entre Aet B le long de AOB

c)Travail de entreA et B le long du segment rectiligneAB

?

F F F

( ¹ )

2

2

−

= π

τ ^kR

2 kR

− τ =

2 kR

+ τ =

Ex.

y

O A

B x R

a)

O A

B x y

R

b) y

O A

B x R

c)

⇒

En général :

Le travail τ effectué par un champ de forces entre deux points A et B dépend du chemin suivi entre A et B !

Remarque :

Le travail τ effectué par un champ de forces uniforme est indépendant du chemin suivi.

A

mg

mg B ex. :

) ( z

z

mg −

− τ =

z

O

4.2.2. Champ de forces conservatif

défini dans D est conservatif P

F ( )

d . ) (

: ,

^{∀ ∈} ∫

⇔ A B D

F P r est indépendant du chemin suivi entre A et B

Cas particulier :

Un champ de forces uniforme est conservatif

4.3. Potentiel d’un champ de forces conservatif

= différence de potentiel entre A et B D

P

F ( )

d . ) (

: ,

A B D f(P) F P r f(B) f(A)

AB

= −

∃

∈

∀

⇔ ∫

défini dans est conservatif

D P

F ( )

d . ) ( -

: ,

A B D V(P) F P r V(B) V(A)

AB

= −

∃

∈

∀

⇔ ∫

défini dans est conservatif ou

4.3.1. Définition équivalente d’un champ de forces conservatif

= différence de potentiel entre le point P et un point O arbitraire : Potentiel d’un champ de forces conservatif en un point P

d .

V(P) F r

∫

−

= , O arbitraire

4.3.2. Potentiel d’un champ de forces conservatif en un point P

Le potentiel en un point est donc défini à une constante près.

∇

= (nabla)

où grad = opérateur (vectoriel) gradient s’appliquant à une fonction scalaire conservatif ( ) “dérive d’un potentiel” (scalaire) V(P)

)

( P F P

F ⇔

V V

F = − = − ∇

⇔ grad

∂

∂

∂

z d F y d F x d F r

d . F V

d = − = −

−

−

z z d y V

y d x V

x d V V

d ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

les composantes cartésiennes du champ de forces sont donc

 





 







∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

z F V

y F V

x F V

z y x

4.3.3. Critère mathématique de conservativité d’un champ de forces

où rot = opérateur (vectoriel) rotationnel s’appliquant à une fonction vectorielle 0

rot

grad ⇔ =

−

=

∃ V F V F

1 1

1

rot

z y x

F = ∂ ∂ ∂

⇔

−

= grad V F

 





 







∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

z F x

F

y F z

F

x F y

F

z x y z x y

Bases des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques

O x y

θ

1_θ (

θ

1r (

θ

P(r,

θ

Base des coordonnées polaires : ( ¹

^{( θ ) , 1}

^{( θ )} )

θ ¹

1 1

grad

∂

+ ∂

∂

= ∂

∇

=

⇒ r

r

r F rF

F

∂

= ∂

∂

⇔ ∂

= ( )

0

rot

θ

θ 1

d 1

d '

d r = PP = r

+ r Soit P' ( r + d r , θ + d θ ) :

θ rdθ F r d F V

d =− _r −

.

θ ^dθ r V

r d V

∂ + ∂

∂

= ∂

Base des coordonnées cylindriques :

1_z

x

y z

1_r(

θ

θ

θ

P(x,y,z)

z

r O

( ¹

^{( θ ) , 1}

^{( θ ), 1}

)

z

r

r z

r 1 1 1

1

grad

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

=

⇒

θ

⇔

= 0

rot F

F rF

r F z

F

r F rF

z r z r

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

) (

) (

θ θ

θ θ

z

r

r z

r PP

r ' d 1 d 1 d 1

d = = + θ

+

Soit P' ( r + d r , θ + d θ , z + d z ) :

x O y z

ϕ θ

1_θ 1_r

1_ϕ P(r,

θ

ϕ

r

Base des coordonnées sphériques : ( ¹

^{( θ , ϕ ) , 1}

^{( θ , ϕ ), 1}

^{( ϕ )} )

Soit P' ( r + d r , θ + d θ , ϕ + d ϕ ) :

ϕ

θ

θ ϕ

θ 1 sin d 1 d

1 d '

d r = PP = r

+ r + r

ϕ

θ

θ ϕ

θ sin ¹

1 1 1 1

grad

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

=

⇒ r

r r

⇔

= 0

rot F

θ

θ ϕ

θ

ϕ θ

∂

∂

= ∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

) sin

(

) sin

( ) (

F r

r F F r

r F rF

r r

4.3.4. Cas particuliers

9 Champ uniforme de la pesanteur terrestre F = m g

mg P

z mg V =

z mg - V =

z

O

mg P

z O

!

9 Champ central de gravitation terrestre :

O

(-

)

P

1_r

r

r V = − mK

r

K P m

F ( ) 1

−

=

T2

T

g R

m G

K = =

OP r

OP r

1

1 =

où

=

O

D

P

F(P)

9 Champ d’un ressort linéaire :

kx

P

F ( ) = − 1

2 kx

V = +

P(x) F

P_o l^o

F

P(x)

O x

5. Stabilité d’une position d’équilibre

¾ Position d’équilibre stable

∀

⇔

¾ Position d’équilibre instable

∃

⇔

¾ Position d’équilibre indifférent

∀

⇔

5.1. Définitions

5.2. Critère de stabilité

(cas où toutes les forces dérivent d’un potentiel)

Lj

B_j C_m F_mn F_i

Ai

F_nm = -F_mn C_n

oùV = somme des potentiels de toutes les forces appliquées au corps considéré

Théorème de Lejeune-Dirichlet

Une position d’équilibreeststable ⇔ dans cette position : V estminimum

δ δ τ = − V

•

∀

cas d’un syst. à 1 degré de liberté 1 coordonnée généraliséeθ :

⇒ ( θ )

θ ^f

V = −

∂

⇒ ∂ θ θ

θ θ τ

δ δ

δ ) ( δ

∂

= ∂

= V V

f N.B. :

• les n’interviennent pas dansV si elles ne travaillent pas dans un

déplacement compatible avec les liaisons

L

F

P(u^*) F

F

P(u^*+δu) P(u(^*δ+u<0)δu) (δu>0)

(u^*+δu) dr

du

(u^*+δu) dr

du











<

>

⋅

>

<

⋅

∀

+ +

0 u si u 0

d r F d

0 u si u 0

d r F d : u

u

* u

u

* u

δ δ δ

δ δ

u u d

V u d

u d

r F d

V δ δ

δ

δτ = − ⇔ ⋅ = −

u 0 u u

d V d

u

* u

δ δ

δ

∀

>

+

Point lié à une courbe polie, hodographe d'une fonction vectorielle et plongé dans un champ de forces dérivant d'un potentiel V(u).

) u ( r r =

Si est la résultante des forces d’action, la position d'équilibre F correspondant à la valeur u* de u est stable si et seulement si

La condition de stabilité de P(u*) devient donc Or

u 0 d

V d

* u

= puisque u* correspond à une position d'équilibre de P

( ) ( )

u d

V d

! n ... u u

d V d

! 2

u u

d V ud u

d V d u

d V d

* u 1 n 1 n n

* u 3 2 3

* u 2 2

* u u

* u

+ +

+ +

+

= ⁺ ₊

+

δ δ δ

δ

Par développement en série

u 0 d

V d

* u 2

2 > V(u) est minimum en u=u* et l’équilibre est stable

u 0 d

V d

* u 2

2 <

u 0 d

V d

* u 2 2

=

V(u) est maximum en u=u* et l’équilibre est instable

V(u) est constante et l’équilibre est indifférent

On sait que, pour tout déplacement virtuel δq₁,...,δq_k,...,δq_l

compatible avec les liaisons, la somme des travaux virtuels s’écrit sous la forme

k k i n

1

i i

1 k

q q

F r δ

δτ _



 





∂

⋅ ∂

=

∑ ∑

=

= l

Mais on a aussi

∑

= ∂

− ∂

=

−

= ^l

1

k k

k

q q

V V δ

δ δτ

Travaux virtuels

A

C

B G₁

G2

l/2

l/2

l/2

l/2 k , l/2

Ex.

AB ,BC : tiges homogènes (masse m, longueurl ), dans un plan vertical

G₁G₂: ressort linéaire (masse négligeable,

constante de rappel k, longueur libre l /2 )

? Position(s) d’équilibre du système+ stabilité

4

stable θ

l k < mg

⇔ A θ

C

B G

G

F F

mg L

mg

L

L

A θ

C

B G

G

F F

mg L

mg

L

L

B’

C’

x

y

l l

k mg k

mg 4

si 2

2 arcsin 1

2 /

2 1

 >



 

  +

=

= θ

π θ

(

)

δτ  = ∀



 



 − −

= 2sin 1 cos 0

2 mg kl

2 l

θ θ 2 ^(2sinθ ^{1) cos}

mg k d 2

V

d l l



 



 − −

−

=

Sens physique

h R

N G mg

N Gmg

N Gmg

Equilibre stable Equilibre instable Equilibre indifférent