HAL Id: jpa-00241417
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241417
Submitted on 1 Jan 1908
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Sur la position d’équilibre d’un ellipsoide anisotrope dans un champ uniforme
Georges Meslin
To cite this version:
Georges Meslin. Sur la position d’équilibre d’un ellipsoide anisotrope dans un champ uniforme. J.
Phys. Theor. Appl., 1908, 7 (1), pp.861-872. �10.1051/jphystap:019080070086100�. �jpa-00241417�
861
SUR LA POSITION D’ÉQUILIBRE D’UN ELLIPSOIDE ANISOTROPE DANS UN CHAMP UNIFORME ;
Par M. GEORGES MESLIN.
Considérons un ellipsoïde anisotrope placé dans un champ magné- tique et supposons que les directions des trois axes a,à et c coïncident
avec les directions magnétiques principales, pour lesquelles les va-
leurs des coefficients d’induction seront K~, K2, K3.
On sait que, si le champ, dont la valeur est F, fait avec les axes
des angles u, ;3, Y, l’énergie de cet ellipsoïde polarisé dans le champ
est représenté par
où v est le volume de l’ellipsoïde et oa Ha, Hb, H ont respective-
ment pour valeurs
K désigne le coefficient d’induction du milieu dans lequel l’ellip-
soïde est plongé,et L, M, N sont les intégrales connues :
et N étant obtenues par permutation des lettres cc, b, c, de telle
sorte que si :
On sait que la position d’équilibre stable,qui est donnée par le mini-
mum de la fonction ’1’/, correspond en général au cas où l’un des axes
est dirigé dans le sens du champ.
Si l’on suppose d’abord que les trois coefficients K1, Ii3 varient
dans le même sens que les axes qui leur correspondent, c’est-à-dire (1) Rappelons, enfin, que L, 1I et N sont toujours inférieurs à 4n, puisque ces grandeurs, toujours positives, satisfont à l’équation :
L + 1B1 + 1Br
=4n.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019080070086100
862 si l’on a :
alors il en résulte
et ces inégalités subsistent toujours, quelle que soit la valeur de K,
c’est-à-dire quel que soit le signe des numérateurs et par conséquent
des grandeurs H.
C’est donc toujours Ha qui est la plus grande de ces quantités, qu’elles
soient positives ou négatives, et le minimum de l’énergie correspond
au cas où le grand axe est parallèle au champ, l’énergie étant néga-
tive pour le paramagnétisme et positive pour le diamagnétisme apparent.
On peut encore exprimer ce résultat d’une autre façon et dire que, si l’on imagine que K augmente graduellement, de façon à rendre
successivement négatif un, puis deux, puis les trois coefficients H, l’ellipsoïde garde son orientation pour laquelle le champ se confond
avec la ligne de plus grand paramagnétisme ou de plus petit diama- gnétisme, ligne qui coïncide avec le grand axe ; cette fixité tient, en
somme, à ce que et l’effet-cristal sont ici en concor-
dance, et le résultat est indépendant du milieu extérieur.
Supposons maintenant que les trois coefficients Ki , K2, K3 ne varient
pas dans le même sens que les axes c~, ~, c, et que l’on ait, par
exemple,
alors les deux effets ne seront plus concordants, et il ne serait plus
exact de dire que l’on a toujours,quel que soit K,
bien que cette inégalité soit satisfaite encore pour les valeurs de K suffisamment petites, puisqu’alors Ha et H6 se réduisent sensible- ment à :
En réalité, on peut constater que, si le milieu extérieur varie, on
passe du cas où l’inégalité (1) est satisfaite à celui où elle ne l’est
plus, et comme ce changement se produit au moment où ces deux
863 coefficients sont égaux, il suffit de considérer l’équation
qui détermine les valeurs de K correspondantes.
Elle s’écrit :
Cherchons la condition de réalité des racines
qui s’écrit
en posant
L’inégalité sera satisfaite, pourvu que l’on ait :
Or ,1 est un nombre compris entre zéro et l’unité, puisque
il en est donc de même de est une fraction proprement dite.
864
Et, d’ailleurs, en vertu de l’hypothèse fondamentale, la première
condition est toujours satisfaite.
De plus, on peut s’assurer que dans ce cas l’équation (3) a ses deux
racines positives, et, en se reportant à la forme (2), on reconnait que l’une d’elles est inférieure à KI tandis que l’autre est supérieure à désignons cette dernière racine par P, il en résulte que, lorsque K est compris entre K2 et P (alors que le solide se comporte comme diama- gnétique), c’est l’axe b de plus grande induction magnétique absolue
et de moyenne longueur qui se dirigera dans le sens du champ ; lorsque K dépassera la valeur P, on aura :
comme cela était réalisé pour les valeurs sulfisammentpetites de K, et alors, comme pendant cette phase, c’est le grand axe cc, correspon- dant à une moindre induction, qui s’orientera dans le champ ; il y
aura donc change1nent d’orientation de par va>»iation (lit 1nilieu extérieur lorsque le bÙ1/ô11ze Ji - P changera de signe, Pétant
une fonction connue des coefficients KI et Ce changement d’orien-
tation ne correspondra pas d’ailleurs, dans le cas général, à une simple permutation des propriétés suivant les deux droites de symétrie principale ; car dans l’un des cas, l’axe a coïncidant avec le champ,
le plan perpendiculaire à ce champ contient les différentes droites du
plan des bc, tandis que dans le second cas, si l’axe b se dirige dans
le champ, le plan qui lui est normal contient les diverses directions du plan des (te.
En outre, la théorie précédente prévoit deux changements possibles
dans l’hypothèse’ :
.dont l’un correspond au paran1agnétisn1e,etrautre au diamagnétisme
apparent.
La condition de réalité des racines pouvait également être satis-
faite en dehors de
si Ii~ est inférieur à Ii, et tel que :
865 On peut alors se demander s’il n’est pas possible d’avoir de iel s
changements d’orientation même dans le cas où
,
Il est facile de voir qu’il n’en est rien, bien que les racines soient alors réelles ; car elles sont négatives et ne fournissent pas de solu- tion au problème: d’une part, elles sont de même signe, parce que leur produit est égal à K, K, ; d’autre part, leur somme est donnée par
qu’on peut écrire
ou, à un facteur positif près,
or, u. étant une fraction positive, si on a
on a et fortiori,
d’où il résulte que la somme des racines est négative et que les deux solutions sont inacceptables, à cause de leur signe.
La théorie que nous venons de développer montre en même temps le rôle que peut jouer le troisième axe, si la valeur de n’est pas
.inférieure à celles de K, et de K~.
_On pourra prévoir, en effet, de semblables changements d’orienta- tion, toutes les fois que deux des coefficients Ha, FII., H, deviendront
égaux, à condition que, pour la valeur correspondante de k, le troi-
sième coefficient leur soit inférieur, de façon qu’il ne joue pas le
rôle de coefficient maximum.
La discussion générale sera grandement facilitée par une inter-
prétation géométrique qui nous permettra de rechercher la solution
866
des équations :
par l’intersection des courbes qui représentent H en fonction de ha
L’équation
--
est celle d’une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux
axes; cette hyperbole coupe l’axe des II à une distance1 i de l’origine,
l’axe de K à une distance K,, et enfin son asymptote parallèle à l’axe
des K est à une distance de cet axe égale à
FiG.i.
,Pour ces trois hyperboles, les points d’intersection avec l’axe
’
des H, qui ont pour ordonnées l’ 1 Mi N 2013? s’étagent .n donc comme les
asymptotes qui sont à des distances
DitTéreiites circonstances se présenteront suivant la distance à
laquelle ces courbes rencontrent l’axe des F~, c’est-à-dire suivant
l’ordre des quantités K, , K,, K3*
867
Premier cas (fy. 1) :
Fic. 2.
_
Les hyperboles ne se coupent pas, du moins dans cette région du plan, à cause de la remarque faite plus haut au sujet du signe des racines; Ha est toujours le plus grand des coefficients, et l’axe a est
FIG. 3.
toujours dirigé dans le champ ; c’est le cas où l’effet-forme et l’effet- cristal sont en concordance.
Deuxième cas (fig. 2) :
868
Les deux hyperboles les plus élevées se coupent; si K croît à partir
des valeurs très faibles, l’ellipsoïde oriente dans le champ d’abord
FIG. i.
l’axe a ; puis l’axe b, et enfin de nouveau l’axe a; c’est le cas envisagé plus haut.
Troisième cas 3) :
FiG. 5.
Il y a encore deux changements d’orientation comme précédem-
ment, les axes dirigés dans le champ étant successivement l’axe c~,
l’axe c et, enfin, l’axe a; les deux autres intersections (marquées
869
d’une croix n’interviennent pas (celles qui sont efficaces sont entou- rées d’un petit cercle).
Quatrième cas (ftg. 4) :
..
Les apparences présentées sont les mêmes que dans le second cas, les deux autres intersections étant inefficace.
Cinquième cas (fi g. 5 j :
C’est le cas le plus complexe où les coefficients sont ranges dans
l’ordre inverse des axes ; on a trois intersections efficaces ; l’ellipsoïde
’
FIG. 6.
oriente d’abord dans le clianip l’axe a, puis l’axe b, puis l’axe c, et
enfin de nouveau l’axe ct.
Sixième cas (fig. 6) :
Les intersections de lli et H, sont inefficaces, car Ha est toujours
.
le plus grand, et le grand axe est constamment dirigé dans le champ comme dans le premier cas.
Lorsque l’équation
-lIa
-Ho,
.. de Phys., 4- série, t. (Novembre 1908.) 57
870
est satisfaite, l’énergie garde une valeur constante, quelle que soit la droite du plan de (tb qui soit dirigée suivant le champ et, si .l’on a
l’équilibre est réalisé dans ces conditions, c’est-à-dire pour un
nombre infini de directions autour desquelles l’ellipsoïde peut d’ail- leurs être orienté d’une infinité de manières.
On a en efl’et :
dont le minimum correspond à cos y ._-_ o qui implique que le champ
est dans le plan de ab.
Ainsi, cette condition, qui ne serait réalisée ni pour un milieu
anisotrope, dans le cas d’un ellipsoïde de révolution autour de Oc,
ni pour un milieu isotrope, dans le cas d’un ellipsoïde à axes inégaux,
est remplie lorsque l’ellipsoïde est à la fois à axes inég aux et anisotrope
pour une valeur convenable de la constante du milieu extérieur; c’est d’ailleurs cette circonstance qui assure les variations continues de l’orientation entre les deux positions correspondant aux axes a et h. Si Ha et 11b étaient inférieur à H~, rien ne serait changé aux conditions
habituelles d’équilibre, qui correspondrait à la coexistence de Oc et du champ.
Enfin, si la relation entre les paramètres K, , K,, K3, a, b et c était
telle qu’au moment où H,.
=Hb on ait aussi :
alors l’énergie serait constante, quelle que soitl’orientation du champ, etl’ellipsoïde serait en équilibre indifférent dans toutes les positions
comme une sphère isotrope.
On peut d’ailleurs s’assurer que, pour un ellipsoïde à axes inégaux
et anisotrope, cette condition ne peut être remplie à la fois pour les.
deux valeurs qui satisfont à :
871 car les deux équations
auraient alors leurs deux racines communes, ce qui entraînerait les deux relations
d’où l’on tire immédiatement :
qui signifient: l’ellipsoïde est de révolution autour de Occ, tant au point de vue géométrique qu’au point de vue magnétique.
La façon même dont le calcul a été conduit écarte le cas où l’une
des quantités M - L ou N - L serait nulle ; si l’on adopte succes-
sivement l’une de ces deux hypothèses, on trouve encore :
Pour et pour
qui impliquent comme plus haut que l’ellipsoïde est de révolution autour d’un des axes et que l’induction est constante pour toutes les directions du plan perpendiculaire à cet axe.
Cette fois, deux des quantités Ha et Hb sont identiques, et les
trois courbes hyperboliques se réduisent à deux; enfin, pour une valeur convenable de K, les trois coefficients Hb, H,, deviennent égaux.
Supposons, par exemple, que l’on ait identiquement :
l’ellipsoïde étant de révolution autour du petit axe Oc ; alors,
si .K3 K, on a toujours :
l’ellipsoïde s’oriente de façon qu’une droite quelconque du plan de
ccb soit dirigée suivant le champ.
Si, au contraire, on a K3 > K,, on constate alors que, pour les valeurs de K suffisamment petites, l’ellipsoïde s’oriente comme il
vient d’être dit; mais, lorsque K atteint une valeur pour laquelle
872
il est alors en équilibre dans toutes les directions comme une sphère isotrope, puis l’axe de révolution Oc s’oriente dans le champ jus- qu’au moment où, pour une valeur convenable de K, il y a un nouvel
équilibre indifférent auquel succèdent des orientations semblables à celles observées au début, autour d’une droite quelconque du plan
de ab qui se dirige suivant le champ.
Si, au contraire, l’ellipsoïde est de révolution autour de son
,
