PanaMaths Mars 2002
Résoudre le système :
2
ln ln 4 3ln 2 6
x y
x y e
⎧⎪⎨
⎪⎩
+ = +
+ = (E)
Analyse
Après avoir défini l’ensemble dans lequel on recherche les solutions, il convient d’utiliser la propriété fondamentale du logarithme népérien afin de pouvoir travailler avec la somme et le produit des inconnues.
Résolution
Les logarithmes népériens de x et y sont définis si, et seulement si, les inconnues sont strictement positives. On va donc rechercher les couples solutions
( )
x y, dans \+*×\+*.On note, par ailleurs, que les deux inconnues jouent des rôles symétriques : si
(
x y0, 0)
est un couple solution de (E) alors(
y x0, 0)
est également un couple solution de (E).Dans ces conditions, on a :
( )
4 3ln 2
4 ln 8
4
ln ln 4 3ln 2
ln 4 3ln 2
8
x y
xy xy e xy e e xy e
+
+ = +
⇔ = +
⇔ =
⇔ =
⇔ =
Le système (E) est donc équivalent au nouveau système :
2
4
0, 0 6 8
x y
x y e
xy e
> >
⎧⎪ + =
⎨⎪ =
⎩
On va donc rechercher les éventuelles racines strictement positives de l’équation du second degré suivante :
2 2 4
6 8 0
X − e X+ e = (E’)
PanaMaths Mars 2002
Son discriminant réduit vaut :
(
3e2)
2 8e4 9e4 8e4 e4( )
e2 2Δ = − − = − = =
On en tire les deux solutions distinctes de (E’) :
2 2 2
1
2 2 2
2
3 2
3 4
X e e e
X e e e
= − =
= + =
Ces deux racines sont strictement positives et, de fait, nous fournissent les deux couples solutions de (E) :
(
2 , 4e2 e2)
et(
4 , 2e2 e2)
Résultat final
L’ensemble des solutions du système (E) est :
( ) ( )
{
2 , 42 2 , 4 , 22 2}
S = e e e e
