Soient (E) l’équation différentielle y’ + y = 2(x + 1)e−−−−x et (E’) l’équation différentielle y’ + y = 0 1. Montrer que la fonction u définie par u(x) = (x² + 2x)e−−−−x est une solution de (E).
u est solution de (E) ⇔ u’(x) + u(x) = 2(x+1)e−x
u’(x) + u(x) = (x²+ 2x)’e−x + (x²+ 2x)(e−x)’ + (x²+ 2x)e−x
= (2x + 2)e−x − (x² + 2x)e−x + (x² + 2x)e−x = (2x + 2)e−x = 2(x + 1)e−x .
ce qui prouve que u est solution de (E).
2. Montrer que : f est solution de (E) ⇔⇔⇔ f ⇔ −−−− u est solution de (E’).
f − u est solution de (E’) ⇔ (f − u)’ + f − u = 0
⇔ f’ − u’ + f − u = 0
⇔ f’ + f = u’ + u
⇔ f’ + f = 2(x+1)e−x car u est solution de (E)
⇔ f est solution de (E) donc l’équivalence est démontrée.
3. Résoudre (E’)
(E’) : y’ + y = 0 ⇔ y’ = −y : (E’) a pour solutions les fonctions définies sur IR par x → k e−x avec k ∈ IR et en déduire :
a. les solutions de (E)
f est solution de (E) ⇔ f − u est solution de (E’) d’après 2.
⇔ (f − u)(x) = k e−x avec k ∈ IR, d’après 3.
⇔ f(x) = u(x) + k e−x
⇔ f(x) = (x² + 2x + k)e−x avec k ∈ IR.
les solutions de (E) sont les fonctions définies par x → (x² + 2x + k)e−x avec k ∈ IR.
b. la solution f de (E) telle que f(0) = 1.
f(0) = 1 ⇔ (0² + 2×0 + k)e−0 = 1 ⇔ k = 1
La solution de (E) cherchée est f définie sur IR par f(x) = (x + 1)²e−x .
4. Etudier la fonction f obtenue en 3.b. f(x) = (x + 1)²e−x . Limites :
quand x →−∞, −x → +∞ donc e−x → +∞ et (x+1)² → +∞ donc par produit lim
x→-∞f(x) = +∞
quand x → +∞, −x → −∞ donc e−x → 0 et (x+1)² → +∞ donc f(x) prend la forme indéterminée « 0× ∞ » mais f(x) = x²
ex + 2x ex + 1
ex et on sait que, avec n ∈ IN, lim x→+∞ex
xn = +∞ donc lim x→-∞x²
ex = 0 et lim x→-∞2x
ex = 0 on en déduit que limx→+∞ f(x) = 0
variations :
f est dérivable sur IR comme produit des fonctions x → (x+1)² et x → e−x dérivables sur IR f’(x) = 2(x+1)e−x − (x+1)²e−x = e−x [2(x+1) − (x+1)²]
= e−x (1 − x)(1 + x)
∀ x ∈ IR, e−x > 0 donc f’(x) a le signe du trinôme (1−x)(1+x)
dans ]−∞ ; −1[ et dans ]1 ; +∞[, f’(x) < 0 donc f est
dans ]−1 ; 1[, f’(x) > 0 donc f est
f(−1) = 0 est un minimum et f(1) = 4/e est un maximum.
sont tracées : les fonctions f : x → (x² + 2x + k)e−x avec k ∈ {−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}
