Cas d’un second membre constant

C2. S

’

2

Julie Scholler - Bureau B246

février 2020

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R^∗

Exemple :

(H) u_n+2 − 2u_n+1 − 3u_n = 0, ∀n ∈ N, (CI) u₀ = 3,u₁ = 1

Recherche de suites usuelles solutions de (H)

• constantes ?

• arithmétiques ?

• géométriques ?

Recherche de suites solutions de (H) et (CI)

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

(H) : ∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 +bu_n = 0 ⇐⇒ ∀n ∈ N, U_n+1 = AU_n

avec U_n =





 u_n+1

u_n





 et A =







−a −b

1 0







(H) ⇐⇒ ∀n ∈ N, U_n = AⁿU₀ Équation caractéristique

équation du second degré : x² + ax +b = 0

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions réelles distinctes r₁ et r₂, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, u_n = αr₁ⁿ + βr₂ⁿ

• Si l’équation caractéristique associée possède une unique

solution r₀, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que

∀n ∈ N, u_n = (α+ nβ)r₀ⁿ

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

Cas où le discriminant de l’équation caractéristique est négatif

Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions complexes non réelles r₁ et r₂, alors il existe un unique couple de complexes (Z,T) tels que

∀n ∈ N, u_n = Z r₁ⁿ + T r₂ⁿ Le terme général des suites vérifiant (R) peut s’écrire

ρⁿ (αcos(nθ) +βsin(nθ)) avec

• α et β deux paramètres réels

• ρ est le module des racines de l’équation caractéristique (ρ 6= 0)

• θ un de leurs arguments (θ /∈ {kπ | k ∈ Z})

I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre

Structure de l’ensemble des solutions de (H)

L’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel.

Plus précisément c’est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectoriel des suites réelles R^N.

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = c_n (R) avec a ∈ R, b ∈ R^∗ et (c_n)_n∈N suite à coefficients réels

Équation homogène associée à (R)

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 + bu_n = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R^∗

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Solutions de (R)

Soit u^p est une suite solution particulière de (R).

Alors toute suite (u_n)_n∈N vérifiant (R) peut s’écrire de la façon suivante :

∀n ∈ N, u_n = u_n^p +u_n^h où u^h est une suite vérifiant (H).

Exemple











∀n ∈ N, u_n+2 − 2u_n+1 − 3u_n = −4 u₀ = 4

u₁ = 2

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Cas d’un second membre constant

∀n ∈ N, u_n+2 + au_n+1 +bu_n = c (R) avec a ∈ R, b ∈ R^∗ et c ∈ R^∗

Recherche de solutions particulières

• pour a + b 6= −1 : u_n^p = c 1 +a + b

• pour a + b = −1 et a 6= −2 : u_n^p = c a + 2n

• pour a = −2 et b = 1 : u^p_n = c 2n²

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Cas d’un second membre constant

Comportement asymptotique quand a + b 6= −1

• pour ∆ > 0 : u_n = αr₁ⁿ +βr₂ⁿ + c 1 + a +b si α 6= 0 et β 6= 0 et

• si max (|r₁|,|r₂|) < 1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b

• si max (|r₁|,|r₂|) > 1, la suite diverge.

• pour ∆ = 0 : u_n = (α+ βn)r₀ⁿ + c 1 + a + b si α 6= 0

• si |r₀| <1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b

• si |r₀| >1, la suite diverge.

• pour ∆ < 0 : la suite oscille.

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Exemple

∀n ∈ N, u_n+2 − 2βu_n+1 + βu_n = 2 (R) avec β > 0

II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre

Multiplieur-accélérateur de Samuelson

Avec retard

C_t = cY_t−1 0 < c < 1 I_t = v (Y_t−1 − Y_t−2) 0 < v Y_t = C_t +I_t + A

Sans retard

C_t = cY_t 0 < c < 1 I_t = v (Y_t−1 − Y_t−2) 0 < v Y_t = C_t +I_t + A