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ORDRE2
Julie Scholler - Bureau B246
février 2021
I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R∗
Exemple :
(H) un+2 − 2un+1 − 3un = 0, ∀n ∈ N, (CI) u0 = 3,u1 = 1
Recherche de suites usuelles solutions de (H) (et (CI))
• constantes ?
Recherche de suites usuelles solutions de (H) (et (CI))
• arithmétiques ?
I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre
Recherche de suites usuelles solutions de (H) (et (CI))
• géométriques ?
Recherche de suites usuelles solutions de (H) (et (CI))
• et si on change u0 et u1 ?
• et si le discriminant avait été nul ? négatif ?
I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre
(H) : ∀n ∈ N, un+2 + aun+1 +bun = 0 ⇐⇒ ∀n ∈ N, Un+1 = AUn
avec Un =
un+1
un
et A =
−a −b
1 0
(H) ⇐⇒ ∀n ∈ N, Un = AnU0
Équation caractéristique
équation du second degré : x2 + ax +b = 0
I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (H) Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2
• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions réelles distinctes r1 et r2, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que
∀n ∈ N, un = αr1n + βr2n
• Si l’équation caractéristique associée possède une unique
solution r0, alors il existe un unique couple de réels (α, β) tels que
∀n ∈ N, un = (α+ nβ)r0n
Cas où le discriminant de l’équation caractéristique est négatif
Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions complexes non réelles r1 et r2, alors il existe un unique couple de complexes (Z,T) tels que
∀n ∈ N, un = Z r1n + T r2n Le terme général des suites vérifiant (R) peut s’écrire
ρn (αcos(nθ) +βsin(nθ)) avec
• α et β deux paramètres réels
• ρ est le module des racines de l’équation caractéristique (ρ 6= 0)
• θ un de leurs arguments (θ /∈ {kπ | k ∈ Z})
I. SRLO2 à coefficients constants sans second membre
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (H)
Structure de l’ensemble des solutions de (H)
L’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel.
Plus précisément c’est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectoriel des suites réelles RN.
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = cn (R) avec a ∈ R, b ∈ R∗ et (cn)n∈N suite à coefficients réels
Équation homogène associée à (R)
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 + bun = 0 (H) avec a ∈ R et b ∈ R∗
II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre
Solutions de (R)
Soit up est une suite solution particulière de (R).
Alors toute suite (un)n∈N vérifiant (R) peut s’écrire de la façon suivante :
∀n ∈ N, un = unp +unh où uh est une suite vérifiant (H).
Exemple
∀n ∈ N, un+2 − 2un+1 − 3un = −4 u0 = 4
u1 = 2
Cas d’un second membre constant
∀n ∈ N, un+2 + aun+1 +bun = c (R) avec a ∈ R, b ∈ R∗ et c ∈ R∗
Recherche de solutions particulières
• pour a + b 6= −1 : unp = c 1 +a + b
• pour a + b = −1 et a 6= −2 : unp = c a + 2n
• pour a = −2 et b = 1 : upn = c 2n2
II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre
Exemple
∀n ∈ N, un+2 − 2βun+1 + βun = 2 (R) avec β > 0
Cas d’un second membre constant
Comportement asymptotique quand a + b 6= −1
• pour ∆ > 0 : un = αr1n +βr2n + c 1 + a +b si α 6= 0 et β 6= 0 et
• si max (|r1|,|r2|) < 1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b
• si max (|r1|,|r2|) > 1, la suite diverge.
• pour ∆ = 0 : un = (α+ βn)r0n + c 1 + a + b si α 6= 0
• si |r0| <1, la suite converge vers ` = c 1 +a +b
• si |r0| >1, la suite diverge.
• pour ∆ < 0 si α 6= 0 ou β 6= 0, la suite oscille et
• si |ρ| < 1, la suite converge vers ` = c 1 +a+b
• si |ρ| > 1, la suite diverge.
II. SRLO2 à coefficients constants avec second membre
Multiplieur-accélérateur de Samuelson
Avec retard
Ct = cYt−1 0 < c < 1 It = v (Yt−1 − Yt−2) 0 < v Yt = Ct +It + A
Sans retard
Ct = cYt 0 < c < 1 It = v (Yt−1 − Yt−2) 0 < v Yt = Ct +It + A
