Cas d’une équation homogène à coefficient constant

(1)

D

’

ORDRE

1

Julie Scholler - Bureau B246

mars 2021

I. Introduction

Équation différentielle ordinaire

• les solutions sont des fonctions

• relation entre la fonction et un certain nombre de ses dérivées

Exemple

K⁰(t) = I(t)− δK(t) avec 0 < δ < 1

(2)

Équation « primitive »

Soient I un intervalle et g une fonction de I dans R.

∀t ∈ I, y⁰(t) = g(t) Les solutions sont les primitives de g sur I.

Exemples

• ∀t ∈ R^∗+, y⁰(t) = 1

t² ⇒ ∃C ∈ R, ∀t ∈ R^∗+, y(t) = −1 t + C

• Coût marginal : C⁰(Q) = 2e^−0.2Q et C(0) = 90

• Taux de formation du capital : ∀t ∈ R+, K⁰(t) = I(t) Par exemple avec I(t) = 3t¹² et K(0) = 0

III. Équation différentielle linéaire d’ordre 1

∀t ∈ R+, K⁰(t) = I(t)− δK(t) avec 0 < δ < 1

(3)

Équation différentielle linéaire d’ordre 1 Toute équation de la forme

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E) avec a et b deux fonctions continues sur I.

• b : second membre

• si a est constante, l’équation est dite à coefficients constants

Solution d’une équation différentielle linéaire

f : I → R est une solution de l’équation y⁰ +ay = b sur I si et seulement si

• la fonction f est dérivable sur I

• la fonction f vérifie

∀t ∈ I, f⁰(t) + a(t)f(t) = b(t).

Soient δ ∈]0; 1[ et I la fonction constante égale à i

∀t ∈ R⁺, K⁰(t) = I(t)− δK(t)

⇔ ∀t ∈ R⁺, K⁰(t) +δK(t) = i La fonction t 7→ e^−δt + i

δ est une solution.

Est-ce la seule solution ?

(4)

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E)

Équation homogène associée

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = 0 (E_H)

Solutions d’une équation différentielle homogène

L’ensemble des solutions de (E_H) : y⁰ + ay = 0 sur l’intervalle I est

S_H :=







I → R

t 7→ λe^−A(t)

; λ ∈ R







où A désigne une primitive sur I de la fonction a.

Exemple

Élasticité constante

Soit α ∈ R.

∀x ∈ R^∗+, y⁰(x) x

y(x) = α

(5)

Cas d’une équation homogène à coefficient constant

(E_H) : y⁰ + ay = 0, avec a est un réel

S_H :=







R → R t 7→ λe^−at

; λ ∈ R





 .

Représentation graphique de courbes représentatives de différentes solutions de (E_H) avec a > 0

Résolution de l’équation avec second membre

∀t ∈ I, y⁰(t) +a(t)y(t) = b(t) (E)

Soit f₀ une solution de l’équation différentielle linéaire y⁰ + ay = b.

Alors l’ensemble S des solutions de l’équation y⁰ + ay = b est S = ⁿf₀ + f ; f ∈ S_H^o

où S_H désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène y⁰ +ay = 0.

(6)

Soient δ ∈]0; 1[ et I la fonction constante égale à i.

∀t ∈ R+, K⁰(t) +δK(t) = i (E)

∀t ∈ R+, K⁰(t) +δK(t) = 0 (E_H)

Solutions de (E_H) :







R → R t 7→ λe^−δt

; λ ∈ R







Une solution particulière : t 7→ i δ

Solutions de (E) :







R → R

t 7→ λe^−δt + i δ

; λ ∈ R







Cas à coefficient constant et second membre constant

Soient a et b dans R^∗.

∀t ∈ I, y⁰(t) +ay(t) = b (E) Alors l’ensemble des solutions de (E) est

S :=







R → R t 7→ b

a +λe^−at

; λ ∈ R







(7)

∀t ∈ R, y⁰(t) +y(t) = e^2t (E) La fonction t 7→ 1

3e^2t est une solution de (E).

Cas à coefficient constant et second membre exponentiel Soient a et m dans R^∗.

∀t ∈ I, y⁰(t) +ay(t) = e^mt

Alors la fonction







t 7→ 1

m+ ae^mt si m 6= −a t 7→ te^mt si m = −a

est une solution

particulière.

Exemple

∀t ∈ R^∗+, y⁰(t)− 1

ty(t) = 1

Cherchons une solution particulière f₀ de la forme f₀(t) = g(t)t.

(8)

Méthode de la variation de la constante

Consiste à rechercher une solution f₀ sous la forme f₀(t) = λ(t)e^−A(t),

où λ est une fonction dérivable sur I et où A désigne une primitive de a.

Principe de superposition Soient

• b₁ et b₂ deux fonctions continues sur I

• f₁ une solution de y⁰ + ay = b₁

• f₂ une solution de y⁰ + ay = b₂

Alors pour tout réel λ, la fonction λf₁ + f₂ est une solution de l’équation différentielle y⁰ + ay = λb₁ + b₂.

(9)

Problème de Cauchy

Soient t₀ et y₀ deux réels. On appelle problème de Cauchy de (E) de condition y(t₀) = y₀ le système

(E_t₀_,y₀) :







y⁰ +ay = b y(t₀) = y₀

Le problème de Cauchy (E_t₀_,y₀) admet une unique solution.

Exemple avec a < 0 constant

(t₀,y₀)×

Modèle d’ajustement du prix

Demande Q^d(t) = α− βP(t) (α, β > 0) Offre Q^s(t) = −γ +δP(t) (γ, δ > 0) Ajustement P⁰(t) = q(Q^d(t) −Q^s(t)) (0 < q < 1)

P⁰(t) +q(β +δ)P(t) = q(α +γ)

Solutions : S =







R+ → R

t 7→ λe^−q(β+δ)t + α+ γ β + δ

; λ ∈ R







Comportement asymptotique : lim

n→+∞P(t) = α+ γ β + δ

(10)

ED non linéaire d’ordre 1 autonomes

Soient deux intervalles I et J, une fonction y : I → J et une fonction continue f : J → R.

y⁰(t) = f y(t), ∀t ∈ I

IV. ED non linéaire d’ordre 1 autonomes

Exemples

(E₁) y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R y(t) = t² ×1[0;+∞[(t) est solution

y(t) = (t −k)² × 1[k;+∞[(t) est solution pour tout réel k

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R et y(0) = 0

Les fonctions t 7→ 0 et t 7→ t² × 1[0;+∞[(t) sont solutions y(t) = (t −k)² × 1[k;+∞[(t) est solution pour tout réel k > 0

• y⁰(t) = 2 q

y(t) pour tout t ∈ R et y(0) = 1 y(t) = (t + 1)² ×1[−1;+∞[(t) est solution

(11)

Problème de Cauchy

(P_t₀_,y₀) :







y⁰(t) = f (y(t)) y(t₀) = y₀

avec y₀ ∈ J, t₀ ∈ I

Unicité de la solution

Si f est de classe C¹ sur J, alors il existe un intervalle ouvert

contenant t₀ (]t₀ −ε;t₀ +ε[) tel qu’il existe une unique solution au problème de Cauchy (P) définie sur cet intervalle.

On considère le problème de Cauchy suivant

(P_t₀_,y₀) :







y⁰(t) = f (y(t)) y(t₀) = y₀

avec y₀ ∈ J, t₀ ∈ I

avec f est C¹ sur J. Conséquence

Soient deux solutions de (P) : y et z.

S’il existe τ tel que y(τ) = z(τ), alors on a y(t) = z(t), pour tout réel t.

« Deux courbes de solutions ne peuvent pas s’intersecter. » Exemple

(E₂) y⁰(t) = y²(t)

(12)

y⁰(t) = f y(t), ∀t ∈ I (E) Point d’équilibre

Un point y^∗ ∈ J est appelé point d’équilibre de (E) si f(y^∗) = 0.

Remarque

Si f admet un point d’équilibre y^∗,alors la fonction constante égale à y^∗ est une solution de (E) (définie sur R).

• Un point d’équilibre de f est un état d’équilibre de (E).

Exemples

• (E₃) y⁰(t) = y(t) et y(0) = 1 y(t) = e^t définie sur R

• (E₂) y⁰(t) = y²(t) et y(0) = 1 y(t) = 1

1−t définie sur ]− ∞; 1[

(13)

Unicité de la solution

Il existe un intervalle maximal T contenant t₀ tel que (P) admet une unique solution sur T.

Solution maximale

On appelle solution maximale au problème de Cauchy (P) une fonction de T dans R, solution de (P), qui ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand que T .

Exemples

• (E₃) y⁰(t) = y(t) et y(0) = 1 : y(t) = e^t définie sur R est une solution maximale

• (E₂) y⁰(t) = y²(t) et y(0) = 1 : y(t) = 1

1−t définie sur ]− ∞; 1[ est une solution maximale

Proposition

Soit y une solution maximale de (E).

On suppose que f est de classe C¹ sur J.

S’il existe t ∈ T tel que y(t) = y^∗, alors y(t) = y^∗, pour tout t ∈ T .

Conséquence sur y⁰

• soit y⁰ ne s’annule jamais

• soit y⁰ est identiquement nulle

Conséquence sur y

Toute fonction solution est monotone car sa dérivée ne peut pas changer de signe.

Toute fonction solution admet une limite en bordure d’intervalle de définition T .

Exemple (E₄) : y⁰ = y(1− y) et y(0) = 1 2

(14)

Théorème d’existence globale

Soit y une solution maximale de (P) définie sur T . Si y(T ) est bornée, alors T = R.

Différentes situations

Avec t₋ ∈ R∪ {−∞} et t₊ ∈]t₋; +∞[

• T =]t₋; +∞[ et lim

t→+∞y(t) = ` ∈ R

• T =]t₋; +∞[ et lim

t→+∞y(t) = ±∞

• T =]t₋;t₊[ et lim

t→t+

y(t) = ±∞

Dans le dernier cas, on dit que la solution explose en temps fini.

Exemples

• (E₃) : y⁰(t) = y(t) et y(0) = 1 : y(t) = e^t définie sur T = R

• (E₂) : y⁰(t) = y²(t) et y(0) = 1 : y(t) = 1

1−t définie sur ]− ∞; 1[

• (E₄) : y⁰ = y(1− y) et y(0) = 1 2 et...

Limites finies possibles

Soit y une solution maximale de (E) définie sur ]t₋; +∞[.

Si y admet une limite finie, alors elle tend vers un point d’équilibre.

(15)

Exemple d’étude qualitative complète

y⁰(t) = y(t)(1− y(t)) (E₄)

0 1

→

← ←

Modèle d’ajustement de prix

Demande Q^d(t) = p(t)⁻² Offre Q^s(t) = 8p(t)

Ajustement p⁰(t) = α(Q^d(t)− Q^s(t)) (α > 0) p⁰(t) = αp(t)⁻² − 8αp(t)