second membrepremier membre

(1)

1

TS Équations différentielles (2)

I. Recherche d’une solution particulière d’une forme donnée 1°) Exemple

' 2 2 3

y y x (E)

Déterminer deux réels m et p tels que la fonction affine u définie par u(x) = mx + p soit une solution de (E).

u est dérivable sur .

x   ^{u x}^'

 

^^m

u est solution de (E)  x   ^{u x}^'

 

^²^{u x}

 

^²^x^³

 x   ^m²



^mx^p



²^x³

 x   2m xm2p  2x3

 ² 2 coefficient de

 

2 3 (coefficient constant)

m x

m p

 



 



 1 1 m p

 

 



Conclusion : La fonction affine u définie par ^{u x}

 

^^x^¹ est une solution particulière de (E).

Attention : on n’a pas résolu l’équation différentielle (E).

2°) Point-méthode : méthodes pour solutions particulières

 Vérifier qu’une fonction donnée est une solution particulière d’une équation différentielle (cf. chapitre 3).

 Déterminer une solution particulière de forme donnée (méthode par identification des coefficients).

II. Résolution d’une équation différentielle à second membre variable 1°) Exemple



second membre premier membre

' 2 2 3

y y  x

 (E)

' 2 0

y y (E₀) équation homogène associée

2

 Résolution de (E0) (E0) s’écrit : 'y  2y.

On reconnaît une équation différentielle de la forme 'y ay avec a = – 2.

Les solutions de (E0) sont les fonctions f définies sur  par ^{f x}

 

^^k^e^²^x



^k^



^.

 Solution particulière de (E)

D’après le I 1°), la fonction affine u définie par ^{u x}

 

^{ }^x ¹ est une solution particulière de (E).

 Lien entre les solutions de (E) et de (E0) Soit v une fonction définie et dérivable sur .

Démontrer que v est solution de (E)  v – u solution de (E0)

solution particulière de (E) équation différentielle y' 2 y0 fonction affine u : x  x + 1

v–u est solution de (E₀)  x  



^{v u}^

  

^' ^x ^²



^{v u}^

 

^x ^⁰

 x   ^{v x}^'

 

^{u x}^'

 

²^{v x}

 

²^{u x}

 

⁰  x   ^{v x}^'

 

²^{v x}

 

^{u x}^'

 

²^{u x}

 



u est solution particulière de (E)  x   ^{v x}^'

 

²^{v x}

 

²^x³

 v est solution de (E)

 Solutions de (E)

v est solution de (E)  v–u est solution de (E0)

 v–u est définie par



^{v u}

 

^x ^k^e^²^x



^k^



  x ^{v x}

 

^^{u x}

 

^^k^e^²^x



^k^



  x ^{v x}

 

^^{u x}

 

^^k^e^²^x



^k^^



u est la solution particulière de (E) trouvée précédemment

  x ^{v x}

 

^^x^{ }¹ ^k^e^²^x



^k^



Conclusion : Les solutions de (E) sont les fonctions v définies sur  par ^{v x}

 

^^x^{ }¹ ^k^e^²^x



^k^^



^.

(2)

3 2°) Vocabulaire

 

'

yayb x (E) : équation différentielle avec second membre (a constante et b une fonction).

' 0

yay (E₀) : équation différentielle homogène (associée à (E)).

' y  ay

4