PRIMITIVES ET éQUA DIFF – Feuille d’exercices
Besoin d’un point sur le cours ? Les Formats Cours t’attendent sur www.mathsentete.fr ou sur Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet Terminales https://padlet.com/mathsentete Ü Dérivées et primitives
Exercice 1 : montrer que la fonction 𝐺 définie par 𝐺(𝑥) = 2𝑥 −)*+( est une primitive de 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) =2𝑥-+ 12𝑥 + 19
(𝑥 + 3)- Exercice A : VERIFIER UNE PRIMITIVE
Vérifier que 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ln 𝑥 définie sur ℝ*∗ est une primitive de 𝑓(𝑥) = 3(1 + ln 𝑥).
Exercice 2 : deux fonctions 𝐹 et 𝐺 sont définies sur 8(+; +∞; par 𝐹(𝑥) =<)=+)>(>?)*@ et 𝐺(𝑥) =<)=>(A)*(-+)>( . Ces fonctions 𝐹 et 𝐺 sont-elles des primitives de la même fonction 𝑓 sur 8(+; +∞; ?
Exercice B : DEUX PRIMITIVES
Montrer que 𝐹((𝑥) =+)>(<)*B et 𝐹-(𝑥) =>-?)>-<
<)*B définies sur ℝ\ D−B<E sont deux primitives d’une même fonction.
Ü Recherche de primitives
Exercice 3 : déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes définies sur l’intervalle 𝐼 :
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥-+ 2𝑥 − 1 𝐼 = ℝ 9) 𝑓(𝑥) =B)*(B 𝐼 = ]0; +∞[
2) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − sin 𝑥 𝐼 = ℝ 10) 𝑓(𝑥) =-)*<( 𝐼 = ]0; +∞[
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥++ 3𝑥-+(B𝑥 − 1 𝐼 = ℝ 11) 𝑓(𝑥) = 2(2𝑥 − 3)< 𝐼 = ℝ
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥B+ 𝑥++(
-𝑥-− 2 𝐼 = ℝ 12) 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥) 𝐼 = ℝ 5) 𝑓(𝑥) =)(=+-) 𝐼 = ]0; +∞[ 13) 𝑓(𝑥) = 3 cos(2𝑥 − 7) 𝐼 = ℝ
6) 𝑓(𝑥) =√)-)>(=>) 𝐼 = ]1; +∞[ 14) 𝑓(𝑥) = sin P2𝑥 +QBR 𝐼 = ℝ
7) 𝑓(𝑥) =√B)>(- 𝐼 = ]1; +∞[ 15) 𝑓(𝑡) = +-P(-𝑡 −(+R+ 𝐼 = ℝ 8) 𝑓(𝑥) =((*-)B)=)= 𝐼 = ℝ 16) 𝑓(𝑡) = − sin 𝑡 cos+𝑡 𝐼 = ℝ
Exercice 4 : déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes définies sur 𝐼.
1) 𝑓(𝑥) = 6𝑥-+ 𝑥(𝑥 − 1) 𝐼 = ℝ 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥-− 4)+ 𝐼 = ℝ
2) 𝑓(𝑥) =√-)*(( 𝐼 = [0; +∞[ 6) 𝑓(𝑥) =)V*B))==>- 𝐼 = ]0; +∞[
3) 𝑓(𝑥) =)-W 𝐼 = ]0; +∞[ 7) 𝑓(𝑥) =Z[\XYZ )=) 𝐼 = ]0; 𝜋[
4) 𝑓(𝑥) =(+)*()( = 𝐼 = [0; +∞[ 8) 𝑓(𝑥) =-)+)^*(= 𝐼 = [0; +∞[
Ü Recherche d’une primitive particulière
Exercice 5 : déterminer la primitive 𝑀 de la fonction 𝑚 définie sur ℝ par : 𝑚(𝑥) = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
vérifiant 𝑀(𝜋) = −2.
Exercice 6 :
1) Montrer que la fonction 𝐹 définie par 𝐹(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 est une primitive sur ]0; +∞[ de la fonction 𝑓 définie par𝑓(𝑥) = ln 𝑥.
2) Déterminer la primitive de 𝑓 qui s’annule en 1.
Exercice C : PRIMITIVES PARTICULIERES
a) Déterminer la primitive 𝐹 de la fonction 𝑓(𝑥) =)=*-)*()*(
définie sur ℝ\{−1} telle que 𝐹(0) = 1.
b) Déterminer la primitive 𝐺 de la fonction 𝑔(𝑥) =h\ )) définie sur ℝ∗ telle que 𝐺(1) = −2.
c) Déterminer la primitive 𝐻 de la fonction ℎ(𝑥) =√-))=*(
définie sur ℝ qui s’annule en 0.
Exercice 7 : déterminer la primitive 𝐹 de 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑡) = cos P3𝑡 −QAR telle que 𝐹(0) = 2.
Exercice 8 : soit 𝑓 la fonction définie sur ]1; +∞[ par 𝑓(𝑥) =((>))->)= 1) Vérifier que pour tout 𝑥 ∈ ]1; +∞[, 𝑓(𝑥) =((>))( =+(>)(
2) Déterminer la primitive 𝐹 de f sur ]1; +∞[ qui s’annule pour 𝑥 = 2.
Exercice D : DECOMPOSER POUR MIEUX PRIMITIVER Soit 𝑔 la fonction définie sur ]2; +∞[ par :
𝑔(𝑥) =3𝑥-+ 12𝑥 − 1 (𝑥 + 2)- 1) Vérifier que pour tout 𝑥 > −2, 𝑔(𝑥) = 3 −()*-)(+ =.
2) En déduire la primitive de 𝑔 qui vaut 4 pour 𝑥 = 1.
Exercice 9 : déterminer la fonction 𝐹, primitive de𝑓f sur l’intervalle 𝐼, qui vérifie la condition indiquée.
1) 𝑓(𝑥) =()^)*-)= = 𝐼 = m3
2; +∞n 𝐹(1) = 2 2) 𝑓(𝑥) = cos P2𝑥 −Q+R 𝐼 = ]0; 𝜋[
3) 𝑓(𝑥) =√-))=*( 𝐼 = ℝ 𝐹(2) = 3
4) 𝑓(𝑥) =XYZZ[\ )=) 𝐼 = 8−𝜋 2;𝜋
2; 𝐹(0) = 1
5) 𝑓(𝑥) =)=*-)*()*( 𝐼 = ℝ 𝐹(0) = 0
6) 𝑓(𝑥) =h\ )) 𝐼 = ]0; +∞[ 𝐹(𝑒) = 1
Exercice 10 :
1. Déterminer une primitive de : a) 𝑓: 𝑥 ⟼()*r(*rss)= sur ]0; +∞[
b) 𝑔: 𝑥 ⟼ 𝑒+)>- sur ℝ c) ℎ: 𝑦 ⟼u(=𝑒wv sur ]0; +∞[
2. Déterminer la fonction F primitive de f sur l'intervalle I et qui vérifie la condition indiquée.
a) 𝑓: 𝑥 ⟼()^)*-)= = sur 𝐼 = ]0; +∞[ avec 𝐹(1) = 2 b) 𝑔: 𝑥 ⟼ XYZZ[\ )^) sur 𝐼 = 8−Q-;Q-; avec 𝐹(0) = 1
Exercice 11 : soit 𝑔 la fonction définie sur ]−2; +∞[ par :
𝑔(𝑥) =3𝑥-+ 12𝑥 − 1 (𝑥 + 2)-
a) Déterminer 𝑎 et 𝑏, constantes réelles, pour que pour tout 𝑥 > −2 : 𝑔(𝑥) = 𝑎 + 𝑏
(𝑥 + 2)- b) En déduire les primitives de 𝑔.
c) Déterminer la primitive de 𝑔 qui vaut 4 pour 𝑥 = 1.
Exercice 12 : soit 𝑓: 𝑥 ⟼((>))->)=
a) Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que pour tout 𝑥 ∈ ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ : 𝑓(𝑥) = 𝑎
(1 − 𝑥)-+ 𝑏 1 − 𝑥 b) Déterminer la primitive 𝐹( de f sur ]−∞; 1[ telle que 𝐹((0) = 3.
c) Déterminer la primitive 𝐹- de f sur ]1; +∞[ qui s'annule pour 𝑥 = 2.
4÷=1 ø ç ö è Fæ p
Ü Équations différentielles du 1er ordre Exercice 13 :
a) Résoudre les équations différentielles suivantes :
𝑦| + 3𝑦 = 0 𝑦|− 2𝑦 = 0 4𝑦|+ 4𝑦 = 0 b) Résoudre les équations différentielles suivantes :
𝑦| − 3𝑦 = 5 𝑦| = −6𝑦 + 4 𝑦|− 5𝑦 − 3 = 0
c) Déterminer la fonction 𝑓 solution de l’équation différentielle 𝑦|+ 𝑦 = −2 telle que 𝑓(0) = 5
d) Résoudre l’équation différentielle 𝑦|− 5𝑦 = 3 puis déterminer la solution 𝑔 telle que 𝑔(ln 4) = 50.
Exercice 14 : résoudre les équations différentielles suivantes dans lesquelles 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ, et 𝑦’ désigne la dérivée de 𝑦 :
a) 𝑦| − 2𝑦 = 0 b) 𝑦| = −uB c) 𝑦|+ 𝑦 = 0 d) 𝑦| − 4𝑦 = 9 e) (-𝑦| = 𝑦
Exercice 15 : dans chacun des cas suivants, déterminer, en justifiant la réponse, la seule proposition correcte : 1) On considère l’équation différentielle 𝑦||+ 9𝑦 = 0 où 𝑦 désigne une fonction deux fois dérivable sur
ℝ. Une fonction 𝑓 solution de cette équation est définie par :
a)𝑓(𝑥) = 3 b)𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 c)𝑓(𝑥) = 𝑒+) d) 𝑓(𝑥) = 𝑥-− 4 2) On considère l’équation différentielle 𝑦| + 2𝑦 = 0 où 𝑦 désigne une fonction dérivable sur ℝ.
La représentation graphique d’une solution de cette équation dans un repère orthonormé est : a) b) c) d)
Exercice 16 :
1) Résoudre l’équation différentielle 𝑦|− 3𝑦 = 0 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ, et 𝑦′ désigne la dérivée de 𝑦.
2) Déterminer la solution particulière 𝑓 de cette équation différentielle vérifiant 𝑓(0) = 1.
Exercice E : « solution générale et particulière »
Déterminer la fonction 𝑓 solution de l’équation différentielle 5𝑦| = 10𝑦 + 12 qui vérifie 𝑓(ln 2) = 0.
Exercice 17 : une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique.
La puissance du son émise, initialement de 100 watts, diminue avec le temps 𝑡, mesuré en second. On modélise par 𝑓(𝑡) la puissance du son émis, exprimée en watt, 𝑡 secondes après le pincement de la corde.
On considère l’équation différentielle (𝐸) suivante où 𝑦 est une fonction de la variable 𝑡 définie et dérivable sur [0; +∞[ et où 𝑦′ est la fonction dérivée de 𝑦 :
(𝐸) ∶ 25𝑦| + 3𝑦 = 0 1. Résoudre l’équation différentielle 25𝑦| + 3𝑦 = 0.
2. Déterminer la fonction 𝑓 solution de l’équation différentielle (𝐸) qui vérifie la condition initiale 𝑓(0) = 100.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? On arrondira au watt près.
Exercice 18 : dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10>- près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d’être un conducteur de lumière et sert dans la transmission d’un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s’atténue au cours de la propagation.
On note 𝑃ƒ et 𝑃„ les puissances respectives du signal à l’entrée et à la sortie d’une fibre.
Pour une fibre de longueur 𝐿 exprimée en kilomètres (km), la relation liant 𝑃ƒ, 𝑃„ et 𝐿 est donnée par : 𝑃„ = 𝑃ƒ× 𝑒>‡ˆ
où 𝑎 est le coefficient d’atténuation linéaire dépendant de la fibre.
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d’atténuation différents.
Dans tout l’exercice :
• La puissance du signal à l’entrée de la fibre est de 7 mW ;
• A la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d’au moins 0,08 mW ;
• Pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à 0,08 mW.
Partie A : le premier type de fibre de longueur 100 km utilisé par l’entreprise a un coefficient d’atténuation linéaire 𝑎 = 0,046.
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?
Partie B : la puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction 𝑔 de la variable 𝑥, où 𝑥 est la distance en km parcourue par le signal de la fibre. On admet que cette fonction 𝑔 est définie et dérivable sur l’intervalle [0; +∞[ et qu’elle est solution sur cet intervalle de l’équation
différentielle :
𝑦| + 0,035𝑦 = 0 1. Résoudre l’équation différentielle 𝑦|+ 0,035𝑦 = 0
2. a. Sachant que 𝑔(0) = 7, vérifier que la fonction 𝑔 est définie sur [0; +∞[ par 𝑔(𝑥) = 7𝑒>‹,‹+<). b. En déduire le coefficient d’atténuation de cette fibre.
3. a. Étudier le sens de variations de la fonction 𝑔.
b. Déterminer la limite de la fonction 𝑔 en +∞.
4. a. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?
b. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
Exercice F : « Fonte GS et équation différentielle du 1er ordre ».
Sujet Ti2D Métropole 2017
La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proche de celle des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l’industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de 1400°C à la sortie du four.
Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de 30°C. Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à 650°C.
La température en degrés Celsius d’une pièce de fonte est une fonction du temps 𝑡, exprimé en heures, depuis sa sortie du four.
On admet que cette fonction 𝑓, définie et dérivable sur l’intervalle [0; +∞[, est une solution sur cet intervalle de l’équation différentielle : 𝑦|+ 0,065𝑦 = 1,95
1. a. Résoudre sur [0; +∞[ l’équation différentielle 𝑦| + 0,065𝑦 = 1,95.
b. Donner 𝑓(0) et vérifier que la fonction 𝑓 est définie sur [0; +∞[ par : 𝑓(𝑡) = 1370𝑒>‹,‹A<Œ+ 30
2. a. Étudier mathématiquement le sens de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0; +∞[.
b. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
3. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local ? 4. a. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce
pourra être démoulée. Arrondir le résultat à la minute près.
b. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint 325°C.
Dans ce cas, faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650°C ? Justifier la réponse.
Exercice 19 : en 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l’un situé à Clermont-Ferrand et l’autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.
Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand.
Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa).
On rappelle que la pression atmosphérique vaut 1013,25 hPa au niveau de la mer.
Partie A : une règle simplifiée.
Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hPa quand l’altitude augmente de 1m. »
1. Compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :
2. Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑢Ž la pression atmosphérique en hPa à l’altitude de 𝑛 mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsi 𝑢‹ = 1013,25.
a) Calculer 𝑢( et 𝑢-.
b) Justifier que la suite (𝑢Ž) n’est pas géométrique.
c) On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢Ž = 𝑢‹− 0,11𝑛
En déduire l’altitude, exprimée en mètres, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.
Partie B : la formule barométrique.
On considère l’équation différentielle (𝐸) :
𝑦|+ 0,12𝑦 = 0
où 𝑦 est une fonction de la variable réelle 𝑥, définie et dérivable sur ℝ et 𝑦′ la fonction dérivée de 𝑦.
Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction 𝑓 qui, à l’altitude 𝑥 en kilomètres, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (𝐸) qui vérifie 𝑓(0) = 1013,25.
1. a. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (𝐸).
b. Démontrer que la solution 𝑓 de l’équation différentielle (𝐸) qui vérifie la condition initiale 𝑓(0) = 1013,25 est la fonction définie sur [0; +∞[ par :
𝑓(𝑥) = 1013,25𝑒>‹,(-) 2. En utilisant la fonction 𝑓 ∶
a. Calculer une valeur approchée à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d’altitude.
b. Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa.
3. On pose 𝑣Ž = 𝑓(𝑛), pour tout entier naturel 𝑛. Justifier qu’avec ce modèle, la suite (𝑣Ž) est géométrique.
Exercice 20 : dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps 𝑡 en heures.
Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets.
A l’instant 𝑡 = 0, les ailerons, à une température de 5°C, sont placés dans le tunnel.
Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à −24°C.
Partie A : la température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps 𝑡 par la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0; +∞[ par 𝑓(𝑡) = 35𝑒>(,AŒ− 30.
1) Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes.
2) Étudier le sens de variations de la fonction 𝑓.
3) Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
4) Résoudre dans ℝ l’équation 𝑓(𝑡) = −24 et interpréter le résultat trouvé.
Partie B : pour moderniser son matériel, l’entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction 𝑔 définie et dérivable sur l’intervalle [0; +∞[ qui est solution de l’équation différentielle
(𝐸): 𝑦|+ 1,5𝑦 = −52,5 1) Résoudre l’équation différentielle (𝐸).
2) a) Justifier que 𝑔(0) = 5.
b) Vérifier que la fonction 𝑔 est définie par 𝑔(𝑡) = 40𝑒>(,<Œ − 35.
3) Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
