TD 9 : Primitives Exercice 1

(1)

MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

TD 9 : Primitives

Exercice 1 Calculer les primitives des fonctions suivantes.

(a) 1

1 + x

²

, (b) 1

1 − x

²

, (c) 1

x

²

− 1 ,

(d) 1

√ 1 − x

²

, (e) 1

√ 1 + x

²

, (f) 1

√ x

²

− 1 ,

(g) cos x, (h) sin x, (i) tan x,

(j) cosh x, (k) sinh x, (l) tanh x,

(m) 1

cos

²

x , (n) 1

sin

²

x , (o) 1

cosh

²

x ,

(p) 1

sinh

²

x , (q) a

^x

, (r) ln x,

(s) x

^a

, avec a ∈ R , a 6= −1, (t) 1

x , (u) 1

x

ⁿ

, avec n ∈ N \ {0, 1}.

Exercice 2 Calculer les primitives suivantes : (a)

ˆ

sin

²

(x)dx, (b) ˆ

cos

²

(x)dx, (c) ˆ

sin(2x) sin(3x)dx,

(d) ˆ

cos(2x) cos(3x)dx, (e) ˆ

x cos(x)dx, (f) ˆ

x

²

sin(x)dx,

(g) ˆ

arcsin(x)dx. (h) ˆ

x ln xdx, (i) ˆ

x arctan(x)dx,

Exercice 3 Exprimer les fractions rationnelles suivantes en ´ el´ ements simples.

(a) x

³

x − 1 , (b) x

²

− x + 1

(x − 2)(x

²

+ 1) , (c) x

³

+ 3 x

³

− x , (d) x

²

+ 3x + 1

x

³

− 1 , (e) x

³

(x − 1)

²

(x + 1) , (f) 3x

²

+ 2x − 1 x

²

(x − 1)

²

,

(g) x

⁵

− 12x

(x

²

+ 2x + 4)(x

²

− 2x + 4) , (h) x

³

− 2x + 1 (x − 1)

³

(x + 1) . (i) 3x

²

− 4

x

³

− 4x + 3 .

Exercice 4 Calculer une primitive des fonctions rationnelles de l’exercice pr´ ec´ edent.

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

(2)

MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

Exercice 5 Calculer les primitives suivantes : (a)

ˆ arctan

²

(x)

1 + x

²

dx, (b)

ˆ

sin(sin(x)) cos(x)dx,

(c) ˆ

cos(x) sin(x)dx, (d)

ˆ

cos

²

(x) sin

²

(x)dx,

(e) ˆ √

1 − x

²

dx, (f)

ˆ √

1 + x

²

dx,

(g) ˆ √

2x − x

²

dx, (h)

ˆ ln(tan(x)) cos

²

(x) dx, (i)

ˆ e

^2x

e

^3x

− e

^x

dx, (j)

ˆ 1

x

^q

1 − ln

²

(x) dx,

(k)

ˆ 1

1 + e

^2x

dx.

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