ds2-term-STL-PH-avec correction-complexes-probabilités

(1)

DS2 MATHEMATIQUES TERM PH 2009-2010 Exercice 1 5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v 

d’unité graphique 1 cm.

On désigne parⁱest le nombre complexe de module 1 et d’argument π /2.

1. Pour tout nombre complexe z on pose _{p z}_{( )}__z³_₇_z²_₁₁_z_₁₂₃. a. Calculer P(−3).

b. Vérifier que _{p z}_{( ) (}_ _z_₃₎₍_z²_₁₀_z_₄₁₎.

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : ^{P z}^{( ) 0}^ .

2. Soit I, A, B et C les points d’affixes respectives : ^z_I ^² ; ^z_A^{ }³ ; ^z_B ^{ }^{5 4}ⁱ et ^z_C ^{ }^{5 4}ⁱ Soit C l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^z^{ }² ⁵.

a. Montrer que les points A, B et C sont dans l’ensemble C . b. Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan.

c. Montrer que l’ensembleC est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

d. Représenter l’ensemble C .

3. SoitRla transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe_z_'__ze^ⁱ^^{/ 4} a. Donner les éléments caractéristiques de la transformationR.

b. Quelle est la nature de l’ensembleC ′, image du cercle C par la transformation R. On pourra calculer z_A_' z e_A ^ⁱ^^{/ 4} par exemple, puis l’image de I , B et C parR. Justifier la réponse et représenter l’ensembleC ′ sur la figure.

Exercice 2 : 6 points

Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6. On tire au hasard deux billets successivement et sans remise. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. Chaque tirage peut être modélisé par un couple (a ; b) de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté (3 ; 5).

(a) A l’aide d’un arbre ou d’un tableau, justifier qu’il y a 30 couples possibles.

(b) Soit A l’évènement : « les deux numéros tirés sont pairs ».

Vérifier que la probabilité de A est égale à 1 5.

(c) Calculer la probabilité de l’évènement B : « au moins l’un des numéros est impair ».

2. Soit D la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit Des deux nombres du couple. Ainsi au couple (3 ; 5) comme au couple (5 ; 3) la variable aléatoire D associe le réel 5 3 2  .

(a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire D ? (b) Calculer les probabilités ^{p D}⁽ ^¹⁾ et ^{p D}⁽ ^³⁾.

(c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire D.

(d) Calculer l’espérance mathématique la variance et l’écart-type de la variable aléatoire D.

Exercice 3 :4 points

Un jeu consiste à miser d’abord meuros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s’allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s’allumer.

On convient que :

Rdésigne la couleur rouge Jla couleur jaune

Bla couleur blanche V la couleur verte.

• Si une case rouge s’allume, l’organisateur du jeu ne rend rien au joueur.

• Si une case blanche s’allume, l’organisateur du jeu rend la mise de m euros au joueur.

• Si une case jaune s’allume, l’organisateur du jeu donne 5 euros au joueur.

R B R J R B

R J B R J R

B R R V R B

R R B R J R

R R V R R R

(2)

• Si une case verte s’allume, l’organisateur du jeu donne 8 euros au joueur.

1. On considère dans cette question que m1. SoitX la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale.

a. Déterminer les valeurs prises parX .

b. Déterminer la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireX à l’aide d’un tableau.

d. calculer l’espérance mathématique, puis conclure

2. On considère dans cette question que m est un nombre positif quelconque.

Quelle devrait être la mise m pour que le jeu soit équitable ?

Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 4 : 5 points

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule rouge, 3 boules jaunes et n boules noires.

(n désigne un entier naturel strictement positif). Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5 euros, si la boule est jaune, il reçoit 2 euros et si la boule est noire, il reçoit 1 euro. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant 1,70 euros.

On note X_nla variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c’est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet.

1. Dans cette question seulement, on suppose n6.

(a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire ^X₆? (b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire ^X₆. (c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire ^X₆.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que l’entier naturel n est quelconque.

2. Étude de la variable aléatoire Xn.

(a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Xn.

(b) Déterminer en fonction de n l’espérance mathématique de la variable aléatoire Xn.

(c) Le club souhaite que l’espérance de Xn soit strictement négative. Quel doit être le nombre minimal De boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?

(3)

Exercice 2

a.

1 2 3 4 5 6

1 D  2 1 1 2 3 4 5

2 1 1 2 3 4

3 2 1 1 2 3

4 3 2 1 1 2

5 4 3 2 1 1

6 5 4 3 2 1

Il y a donc bien 30 cas possibles

b. Soit A l’évènement : « les deux numéros tirés sont pairs ». donc il y a 6 cas favorables

donc : 6 1

( ) 30 5 p A  

c. Soit l’évènement B : « au moins l’un des numéros est impair »

B est l’événement contraire de A C’est-à-dire aucun numéros est pair Donc B A ^et

1 4

( ) ( ) 1 ( ) 1

5 5

p B  p A  p A    2. a Soit D la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 1 3 4 5 6

2 2

2

2 3 3

3 1

1 1 4

5 5 6

6 6 5

4

4 1

...D=1 ...D=2

...D=2 ...D=3

...D=3 ...D=4

...D=4

...D=4 ...D=5 ...D=5

...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1 ...D=1

...D=2

...D=2 ...D=2

...D=2

...D=2 ...D=3

...D=3 ...D=3 ...D=3

(4)

du couple, alors D peut prendre les valeurs : 1, 2, 3, 4 et 5

b. 10 1

( 1)

30 3

p D   et 6 1

( 3)

30 5

p D  

c. Loi de probabilité de la variable D :

di ¹ ² ³ ⁴ ⁵

( _i) p D d 1

3 4 15

1 5

2 15

1 15

d. ⁵

 

1

1 4 1 2 1 35 7

( ) 1 2 3 4 5

3 15 5 15 15 15 3

i i

i

E D d p D d





             

e.

5 4 3 2 1 49

( ) 1² 2² 3² 4² 5²

15 15 15 15 15 9

5 16 27 32 25 49 105 49 315 245 70 14

15 9 15 9 45 45 9 1,56

V X           

    

      

( )X 14 / 9 1, 25

   ^.

Exercice 3.

1.

Boules R B J V

X xi m 0 5m 8m ( _i)

p X x 18 30

6 30

4 30

2 30 Dans le cas où m1 , on obtient : ^X ^{ }



^{1;0; 4;7}



X xi 1 ⁰ 4 7

( _i) p X x 18

30 6 30

4 30

2 30

18 6 4 2 18 0 16 14 12

( ) 1 0 4 7 0, 4

30 30 30 30 30 30

E X    

            .

2.

18 6 4 2

( ) 0 (5 ) (8 ) 0

30 30 30 30

18 0 20 4 16 2 24 36

30 30 0

24 36 0 1,5

E X m m m

m m m m

m m

           

       

 

    

Exercice 4

1. (a) ^X₆peut prendre les valeurs ^^0,70 ; 0,30 et 3,30.

(b) Loi de probabilité de la variable a aléatoire ^X₆: xi 0,70 0,30 3,30

( 6 _i)

p X x 0,6 0,3 0,01

c) 6 ⁵



6



1

( ) _i _i 0,70 0,6 0,30 0,30 3,30 0,14 0

i

E X x p X x





         

2. (a) Loi de probabilité de la variable aléatoire X_n : xi 0,70 0,30 3,30

( _n _i) p X x

4 n n

3 4 n

1 4 n

b) ⁵

 

1

3 1 0,7 4, 2

( ) 0,70 0,30 3,30

4 4 4 4

n i n i

i

n n

E X x p X x

n n n n



 

          

   



(c) On doit avoir 0,7 4, 2

0 0,7 4, 2 0

4

n n

n

 

    

 puisque n + 4 est positif.

(5)

4, 2

0,7 4, 2 6

n n 0,7

      Ce qui donne n > 6. Donc, le club doit mettre au moins 7 boules noires pour que l’espérance soit négative.

Exercice 1

1. p^{( 3)}  

 

³ ³ ^{7 3}

 

²   ¹¹

 

³ ¹²³  27 63 33 123   123 123 0  Donc -3 est une solution de l’équation ^{p z}^{( ) 0}^ .

_{p z}_{( ) (}_{ }_z ₃₎₍_z²_₁₀_z_₄₁₎ est immédiate

p z( ) 0 (z3)(z²10z41) 0   z 3ou z²10z41 0 . _z²_₁₀_z__{41 0}_ :  b^{² 4} ac 



¹⁰



²  4 1 41 100 164   64 64 i² _{ }_8i et on a : ₁ 10 8

2 2 5 4

b i

z i

a

   

    et ₁ 10 8

2 2 5 4

b i

z i

a

   

   

S  



3 ; 5 4 ; 5 4 i  i



2. ^z_A      ² ^{3 2} ⁵ ⁵ ; z_B     2 5 4i 2 3 4i  3² 4²  9 16  25 5 zC     ² ^{5 4}i ² ^{3 4}i  ^3² 

 

^{4 ²} ^{9 16}  ^{25 5}

Par conséquent les points A, B et C sont dans l’ensemble C .

Par définition l’ensemble définie par ^{z a}^{ }^r est un cercle de centreId’affixe ^aet de rayon ^r. Donc l’ensemble définie par ^z^{ }² ⁵ est un cercle de centreI d’affixe 2et de rayon 5.

3. _z_'__ze^ⁱ^^{/ 4}est par définition la rotation de centre O et d’angle / 4 et ^z^'  ^z  , puisque ^e^ⁱ^^{/ 4} ^¹

_' ^{/ 4} ^{/ 4} ^{/ 4} ^{3 / 4} 3 2 3 2

3 3 3

2 2

i i i i i

A A

z z e^^   e^^  e e^ ^^  e ^    i

' ^{/ 4}

 

^{/ 4}

 

2 2 5 2 5 2 4 2 4 2 9 2 2

5 4 5 4

2 2 2 2 2 2 2 2

i i

B B

z z e^^ i e^^ i  i i i i

             .

   

/ 4 / 4

'

2 2 5 2 5 2 4 2 4 2 2 9 2

5 4 5 4

2 2 2 2 2 2 2 2

i i

C C

z z e^^ i e^^ i  i i i i

             .

/ 4 / 4

' 2 2 2 2

2 2 2

2 2

i i

I I

z z e^^  e^^   i  i.

On sait de plus que l’image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon Voir la construction sur la figure .

(6)

2 3 4 5 6 7 -1

-2 -3

-4 -5

-6

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

A I

B

C I'

O B'

C' A'