1/2
Contrôle n°6
Exercice n°1
Le service commercial d’un journal a constaté que chaque année, il enregistre /t{1;3} 000 nouveaux abonnés mais 50% des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement. On note a le nombre de nouveaux abonnés.
L’objet de cet exercice est d’étudier l’évolution du nombre d’abonnés si cette situation perdure sachant qu’au cours de l’année écoulée, le journal comptait /t{3;4;5} 000 abonnés.
Dans ce but, on considère la suite (un) définie par : u0 est le nombre d'abonnés au cours de l'année écoulée. Pour tout entier naturel n, un+1= 0,5 un + a, a étant le nombre de nouveaux abonnés.
On admet que, pour tout entier n0, la suite (un) est une approximation du nombre d’abonnés au bout de n années.
1) Calculer les cinq premiers termes. La suite (un) est-elle arithmétique ? Est- elle géométrique ? Justifier.
2) Soit (vn) la suite définie sur IN par vn = un – 2a.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de (v0).
b. En déduire l’expression de (vn) en fonction de n.
3) a. En utilisant le résultat de la question précédente, trouver l'expression de (un) en fonction de n.
b. Quel est le nombre d’abonnés au bout de vingt ans ? Exercice n°2
Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et n boules noires (avec n un entier naturel non nul). Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard.
Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit /t{4;5;6} € ; si la boule tirée est jaune, il reçoit /t{2;3} € ; et si la boule est noire, il reçoit 1 €. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant /t{2;3} €.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur après le prélèvement d’une boule, c'est-à-dire la somme reçue diminuée du prix du billet.
1/2
2/2
1- Dans cette question, on suppose qu’il y a /t{5;6;7} boules noires.
a- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b- Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
c- Le jeu est-il favorable au joueur ?
2- Dans cette question, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
a- Déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b- Calculer, en fonction de n, l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
c- Le club souhaite gagner 0,50 € en moyenne par partie. Quel doit être le nombre n de boules noires contenues dans le sac pour que cette conditions soit remplie ?
Exercice n°3
Les deux questions sont indépendantes.
1. Exprimer en fonction de sin(x) : A = /t{;2;3}cos( π
2 + x) + /t{;2;3}cos( π
2 – x) + /t{;2;3}sin( + x) + /t{;2;3}sin( – x) ; 2. a. Résoudre dans IR l'équation suivante :
cos(x)=/t{ /f{1;2} ; /f{sqrt{2};2} ; /f{sqrt{3};2} } b. Donner les solutions situées dans [0;2].
2/2
