TABLE DES MATI` ERES
XIX. Groupes r´eductifs - G´en´eralit´es, parM. Demazure . . . 1
1. Rappels sur les groupes sur un corps alg´ebriquement clos . . . 1
2. Sch´emas en groupes r´eductifs. D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . 8
3. Racines et syst`emes de racines des sch´emas en groupes r´eductifs . . . 12
4. Racines et sch´emas en groupes vectoriels . . . 15
5. Un exemple instructif . . . 20
6. Existence locale de tores maximaux. Le groupe de Weyl . . . 23
Bibliographie . . . 25
XX. Groupes r´eductifs de rang semi-simple1, parM. Demazure . . . 27
1. Syst`emes ´el´ementaires. Les groupes Uα et U−α . . . 27
2. Structure des syst`emes ´el´ementaires . . . 35
3. Le groupe de Weyl . . . 44
4. Le th´eor`eme d’isomorphisme . . . 51
5. Exemples de syst`emes ´el´ementaires, applications . . . 53
6. G´en´erateurs et relations pour un syst`eme ´el´ementaire . . . 58
XXI. Donn´ees radicielles, parM. Demazure . . . 63
1. G´en´eralit´es . . . 63
2. Relations entre deux racines . . . 67
3. Racines simples, racines positives . . . 71
4. Donn´ees radicielles r´eduites de rang semi-simple 2 . . . 84
5. Le groupe de Weyl : g´en´erateurs et relations . . . 86
6. Morphismes de donn´ees radicielles . . . 90
7. Structure . . . 101
Bibliographie . . . 108
XXII. Groupes r´eductifs : d´eploiements, sous-groupes, groupes quotients,parM. Demazure . . . 109
1. Racines et coracines. Groupes d´eploy´es et donn´ees radicielles . . . 109
ii TABLE DES MATI`ERES
2. Existence d’un d´eploiement. Type d’un groupe r´eductif . . . 114
3. Le groupe de Weyl . . . 116
4. Homomorphismes de groupes d´eploy´es . . . 118
5. Sous-groupes de type (R) . . . 128
6. Le groupe d´eriv´e . . . 168
Bibliographie . . . 175
XXIII. Groupes r´eductifs : unicit´e des groupes ´epingl´es, par M. Demazure . . . 177
1. ´Epinglages . . . 177
2. G´en´erateurs et relations pour un groupe ´epingl´e . . . 182
3. Groupes de rang semi-simple 2 . . . 190
4. Unicit´e des groupes ´epingl´es : th´eor`eme fondamental . . . 202
5. Corollaires du th´eor`eme fondamental . . . 206
6. Syst`emes de Chevalley . . . 209
Bibliographie . . . 213
XXIV. Automorphismes des groupes r´eductifs, parM. Demazure . . . 215
1. Sch´ema des automorphismes d’un groupe r´eductif . . . 216
2. Automorphismes et sous-groupes . . . 224
3. Sch´ema de Dynkin d’un groupe r´eductif. Groupes quasi-d´eploy´es . . . 228
4. Isotrivialit´e des groupes r´eductifs et des fibr´es principaux sous les groupes r´eductifs . . . 237
5. D´ecomposition canonique d’un groupe adjoint ou simplement connexe . . . . 243
6. Automorphismes des sous-groupes de Borel des groupes r´eductifs . . . 248
7. Repr´esentabilit´e des foncteurs HomS-gr.(G,H), pour G r´eductif . . . 250
8. Appendice : Cohomologie d’un groupe lisse sur un anneau hens´elien. Cohomologie et foncteurQ . . . 261
Bibliographie . . . 266
XXV. Le th´eor`eme d’existence, parM. Demazure . . . 267
1. ´Enonc´e du th´eor`eme . . . 267
2. Th´eor`eme d’existence : construction d’un morceau de groupe . . . 269
3. Th´eor`eme d’existence : fin de la d´emonstration . . . 274
4. Appendice . . . 276
Bibliographie . . . 277
XXVI. Sous-groupes paraboliques des groupes r´eductifs, par M. Demazure . . . 279
1. Rappels. Sous-groupes de Levi . . . 279
2. Structure du radical unipotent d’un sous-groupe parabolique . . . 285
3. Sch´ema des sous-groupes paraboliques d’un groupe r´eductif . . . 289
4. Position relative de deux sous-groupes paraboliques . . . 296
5. Th´eor`eme de conjugaison . . . 311
6. Sous-groupes paraboliques et tores d´eploy´es . . . 318
7. Donn´ee radicielle relative . . . 322
TABLE DES MATI`ERES iii
Bibliographie . . . 330
