2.Test d’ajout des variables

1.Test de contraintes linéaires 2.Test d’ajout des variables

3.Test de Stabilité

4.Test d’autocorrélation des erreurs

Le test de Fisher

Le test de Student s’applique aux hypothèses simples

0

:   0

Exemples:

H H

:     1 ^{ }

2 1

0 : 

H

Des hypothèses qui contiennent une seule égalité

 ^{0 1} 

0

:   ,   H

Pour des hypothèses composées, on utilise le test F de Fisher

L’idée de base: Si on écrit la relation avec les restrictions imposées la somme de carrés des résidus sera forcément plus élevée – car on contraint la valeur de certains paramètres

SCR_S

 ^ˆ 



SCR_C SCR

Exemple: H₀:β= β^R Le test F de Fisher est basé sur la différence

 0



C

SCR

SCR

Si

SCR

 SCR

 0

on accepterait l’hypothèse nulle la contrainte n’a pas beaucoup

d’incidence sur la SCR

La statistique F de Fisher est calculée de la manière suivante:

 

) 1 /(

'

* /







 

k n

SCR

k k

SCR F SCR

S

S C

•SCRc: modèle sous Ho; Modèle avec contrainte

•SCRs: Modèle complet; modèle sans contrainte

•Avec k = nombre de variables explicatives du modèle complet

•et k’ nombre de variables explicatives du modèle avec contrainte

• (k-k’= le nombre de restrictions précisées dans l’hypothèse nulle

• n = nombre d’observations

i. test de contraintes linéaires

Exemple : la fonction de production

la fonction de production Cobb-Douglas



 i i

i

AL K

Q  

i

i

AL K

L

Q 









i

AL K

Q ln ln 

i i

i

A L K

Q ln ln ln

ln     

i i i i

ln Q     ln L   ln K  

donc une relation linéaire donc une relation non linéaire



 



i i

L Q ln ln



 



i i

K

Q

ln

ln





k l A q 

Estimation des paramètres

k l

A

q ln ln ln

ln     



i i

i

i

A l k

q  ln   ln   ln   ln

Modèle économétrique

Fonction de production – Cobb-Douglas

L’échantillon

i =1, 2, …., 80 entreprises – Q, L, K

i i

i

i

A l k

q  ln   ln   ln   ln

80 138

, 1 96

, 0

) 013 ,

0 ( )

04 ,

0 ( )

19 , 0 (

ln ˆ 197 ,

0 ln

826 ,

0 86

, 3 ln

2

  









n SCR

R

k l

q

s

i i

i

i



Modèle complet sans contrainte:

SCRs=1,138

i i

i

i

A l k

q  ln   ln   ln   ln

1

0

:    

H H

:     1



  1  ^{ ln q}

^{ ln A }  ^{1  }  ^{ln l}

^{  ln k}

^{ }





i

i

l A k l

q  ln  ln   ln  ln   ln

i i

i i

i

l A k

l

q     

 



 

 



 



 ln  ln ln

Ho est la contrainte linéaire.

Nous voulons tester si la fonction de production est à élasticité constante

Le modèle sous contrainte

1

0

:     H

Statistique F de Fisher :

579 , ) 0

3 80 /(

138 , 1

1 / ) 138 , 1 147 , 1 ( )

3 80 /(

1 / )

* ( 



 



 

S

S C

SCR

SCR F SCR

80 147

, 1 81

, 0

) 011 ,

0 ( )

018 ,

0 (

ln ˆ 201 ,

0 01

, 4 ln

2

  

 



 



 

 



 





n SCR

R

l k l

q

c

i i

i i

i



SCRc: Somme des carrées des résidus du modèle sous Ho donc sous contrainte. SCRc=1,147 La contrainte

F. calculé

F. Fisher théorique; (5%;1;77)=3,97

ii. test d’ajout de variables

Test sur la nullité d’un sous-ensemble de (k-g ) paramètres 

Soit un modèle complet à k variables explicatives:

Y = 

 

X

 

X

... 

X

 ... 

X

 

On veut tester l’hypothèse nulle H

: 

= …= 

= 0 On doit aussi analyser le modèle réduit:

Y = 

 

X

 

X

...

X

  modèle avec contraintes)

La statistique du test = un F partiel:

   

   

SC Re s réduit SC Re s complet

k g

F SC Re s complet / n k 1 ~ F k-g, n-k-1

 

  

iii. Test de stabilité: le test de Chow

Deux groupes dans l’échantillon

 0

d

^d

^{ 1}

,...,

2 ,

1 n

i  i  n

 1 , 2 ,..., n

i i

i

i

β x β x β u

y 







Est-ce que les paramètres sont identiques pour les deux groupes?

i i

i

i

β x β x β u

y 







,...,

2 ,

1 n

i 

i i

i

i

β x β x β u

y 





 i  n

 1 , 2 ,..., n

La stratégie consiste à effectuer trois régressions : une première sur l’ensemble de la période,

et deux sur deux sous-périodes que l’on juge pertinente.

L’idée est de comparer la SCR (Somme des Carrées des Résidus )et la somme des deux SCR sur les deux sous-périodes.

S’il n’y a pas de changement structurel, il ne doit pas y avoir de différence entre SCR et SCR1+SCR2.

Autrement dit, le fait de scinder l’échantillon en deux n’améliore pas la qualité de la régression.

Le test est le suivant :

Ho: SCR=SCR1+SCR2 H1:SCR# SCR1+SCR2

1. Estimation de la régression sur la période totale et calcul de la SCR

2. Estimation de la régression sur les 2 sous-périodes et calcul de SCR1 et de SCR2, on en déduit SCR1+SCR2

3. On calcule la statistique :

i i

i

i

β x β x β u

y 







,...,

2 ,

1 n

i 

i i

i

i

β x β x β u

y 







n n

i 

 1 , 2 ,...,

Hypothèse nulle:

3 1

3 2

2 1

2 2

1 1

1

0

: β β , β β , β β

H   

0 ,

0 ,

0

:

0

β  β  β  β  β  β 

H

i i

i

i

β x β x β u

y 





 Avec les restrictions imposées, on a :

n i  1 , 2 ,...,

SCR

 SCR



 SCR

2

1

SCR

SCR

SCR   6 paramètres

ou

Test de stabilité se Chow :un exemple

0105 ,

0 0043 ,

0 0062 ,

2

0

1

 SCR   

SCR

0485 ,

 0

SCR

B A

B A

B A

B A

H

: 

 

, 

 

, 

 

, 

 

0105

, 0 0043 ,

0 0062 ,

2

0

1

 SCR   

SCR SCR  0 , 0485

 

   

 ^{68 8}  ^{54 , 3}

/ 0105 ,

0

4 / 0105 ,

0 0485 ,

0 8

68 / ) (

4 / (

2 1

2

1





 







 

SCR SCR

SCR SCR

F SCR

 ^{4 , 60}  ^{ 2 , 52}

F

2 1

1) L’ajout des variables explicatives x2 et x3 améliore-t-il significativement la qualité de

Ho: a2=a3=0 H1:a2#a3#0

SCRes de modèle sans contrainte 67,45

ddl du modèle (n=14;k+1=4) 10

SCRes du modèle avec contrainte 70,88

ddl(n=14;k+1=3) 11

F de Fisher = 0,5085

F_théorique (5%;1;10) 4,96

F_calculé < F_théorique donc accéotation de Ho;

l'ajout de la variable x3 n'ameliore pas la qualité du modèle

2) Un économiste suggère que dans ce modèle a1 = 1 et a2 = a3 , qu’en pensez-vous ?

Ho:a1=1 et a2=a3

H1:a1#1 et /ou a2#a3

SCRes de modèle sans contrainte 67,44767

ddl du modèle (n=14;k+1=4); k=3 10

SCRes modél sous contrainte linéaire donc sous Ho 108,79

ddl (14-(k+1); k=1 12

F_Fisher 3,065

F_théorique= 4,10

Fcalculé < F_théorique donc accéptattion de Ho;

Les contraintes linéaires sont compatibles avec les données

Test d’autocorrélation des erreurs d’ordre 1

Test de Durbin et Watson

Autocorrélation des erreurs (AC)

Définition: Les erreurs sont corrélées entre elles dans le temps.

Autocorrélation d’ordre un: les erreurs successives sont corrélées entre elles:

où: 

est l’erreur commise au temps t

r

est la corrélation entre les valeurs successives de 

:r

= cor(

, 

) u

est une erreur aléatoire indépendante. de u

t t

t

 r   u



Détection de l’ autocorrélation:

1- Graphique des résidus (e

) en fonction du temps (t)

Copyright 1996 Lawrence C. Marsh

AC > 0

AC = 0

AC < 0

e

0

.

e

0

e

0

t

t

t

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .. .

. . . .

. . .

.. .

. .

.

.

. . . .

. . .

.. . .

. . .

.

. .

.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

.

.

Test de Durbin et Watson

Coefficient de corrélation sérial r

d’ordre un entre résidus successifs:

-1  r

 1

pour un échantillon très grand: DW  2(1- r

)  0 DW  4

0 d_{L ?} d_U 2 4

–

-

+1 0 -1 =

r

AC>0 AC=0 AC<0

 

 









1 t

2 t n

2 t

2 1 t t

e

e

DW e

1.Si la valeur calculée de la statistique DW est inférieure à la valeur tabulée d1 alors il existe une auto-corrélation positive (ou p>0).

2.Si la valeur calculée de la statistique DW est comprise entre d2 et 4-d2 , il n’est pas possible de rejeter l’hypothèse nulle d’absence d’auto-corrélation des résidus (ou p=0). Cet intervalle est autrement dit l’intervalle pour il n’existe pas d’auto-corrélation des erreurs.

3.Si la valeur calculée de la statistique DW est supérieure à la valeur tabulée 4-d1 alors il existe une auto-corrélation négative (ou p<0).

Les autres situations correspondent à des zones d’indétermination. La figure qui suit résume l’interprétation du test de Durbin et Watson.

Règles de décision pour DW

• Modèle:

•

26

t t

t

  u





1

,





Xβ ε y

Hypothèses Règles de décision au niveau 

0

0 : 

H DW  d_U 

‘conserve’ H

.

0

1 : 

H DW  d_L 

rejette H

.

 

 d_L d_U

DW ,

on ne peut se prononcer.

0

0 : 

H 4  DW  d_U 

‘conserve’ H

.

0

1 : 

H 4  DW  d_L 

rejette H

.

 



 DW d_L, d_U

4

on ne peut se prononcer.

0

0 : 

H DW  d_U

et

‘conserve’ H

.

0

1 : 

H DW  d_L

ou

rejette H

.

Sinon on ne peut rien dire.

Exemple :

Soit le modèle suivant : yi=a₀+a₁x_i+e_i; avec yi : Consommation finale des ménages ; xi : le revenu national et ei un bruit blanc gaussien ; ei-N(0 ;σ).

L’estimation du modèle nous donne les résultats suivants : yi= 1176,08 + 0,78 xi ; n=10 ; La statistique de Durbin et Watson est égale à : 1,67

Tester l’existence d’une autocorrélation des erreurs

DW=1.67 ; d1=1.08 ; d2=1.36 ;

d1 et d2 sont lus dans la table de Durbin et Watson pour n=10 ;k=1 ;α=5%

0---d1=1.08---d2=1.36---DW=1.67---2---4-d2---4-d1---4 Ho : indépendance ;

H1 : autocorrélation des erreurs.

DW se trouve dans la région d’indépendance ;