Feuille d'exercices 20. Applications linéaires
Exercice I.
SoitA∈ M2(R).
L'applicationf dénie surM2,1(R)par f(u) =A.u est-elle linéaire ?
Exercice II.
Dans les cas suivants, l'applicationf est-elle linéaire ? Si oui, donner sa matrice.
1.
f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→
3z−2x 5y+x
2.
f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→
x2+ 3y 2x−4z
3.
f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→
x+y+z yz
4.
f : M3,1(R) −→ R
x y z
7−→ x+ 2y−3z+ 1
5.
f : M2,1(R) −→ M3,1(R) x
y
7−→
x+y
y
−2x−3y
6.
f : M3,1(R) −→ R
x y z
7−→ 3x
Exercice III.
Soitf un endomorphisme deM3,1(R), tel que les images des vecteurs de la base canonique de M3,1(R)sont respectivement
1
−1 2
,
−3 2
−1
et
−7 4 1
.
1. Donner la matrice def, puis donnerf(X), pour X ∈ M3,1(R). 2. Déterminer les antécédents de
−1
−1 8
et
−2 1 3
.
3. f est-elle injective ? Surjective ? 4. Déterminer le noyau et l'image def.
Exercice IV.
SoitA= 1 2
0 4
et f :M2(R)−→ M2(R) l'application dénie par f(M) =AM−M A. Montrer quef est linéaire, et déterminer son noyau et son image.
Exercice V.
Soit f :M3,1(R)−→ M3,1(R) l'endomorphisme de matrice A=
1 2 1
3 1 −1
1 −1 2
.
1. Pour
x y z
∈ M3,1(R), déterminerf
x y z
.
2. Déterminer son noyau et son image, et vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M3,1(R)). 3. f est-elle un automorphisme deM3,1(R)?
1
Exercice VI.
Soit f :M4,1(R)−→ M3,1(R) l'endomorphisme de matrice A=
3 1 −2 0
−1 1 −1 2
1 −3 0 −1
.
1. Pour
x y z t
∈ M4,1(R), déterminerf
x y z t
. 2. Déterminer son noyau et son image.
3. Vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M4,1(R)). 4. f est-elle injective ? Surjective ?
Exercice VII.
Soit l'application f :M3,1(R)−→ M3,1(R) dénie par f
x y z
=
x+y−z x+ 2y−3z 2x+ 3y−4z
. 1. Montrer quef est une application linéaire, et déterminer sa matrice associée.
2. Déterminer son noyau et son image, et vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M3,1(R)). 3. f est-elle un automorphisme deM3,1(R)?
Exercice VIII.
Soit l'application f :M3,1(R)−→ M3,1(R) dénie par f
x y z
=
x+y−z
−x+y+ 2z
−x−2y+ 3z
.
1. Montrer quef est une application linéaire, et déterminer sa matrice associée.
2. Déterminer son noyau et son image, et vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M3,1(R)). 3. f est-elle un automorphisme deM3,1(R)?
Exercice IX.
Soit l'application f :M3,1(R)−→ M2,1(R) dénie par f
x y z
=
y−x−z x−2z
. 1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Déterminer son noyau et son image.
3. Vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M3,1(R)).
Exercice X.
Soit l'application f :M3,1(R)−→ M4,1(R) dénie par f
x y z
=
y−x−z x−2z x−3y 2x+y+z
. 1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Déterminer son noyau et son image.
3. Vérier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M3,1(R)).
2
Exercice XI.
Soit l'application
g:M2,1(R) −→ M2,1(R) x
y
7−→
x+y x−y
.
1. Montrer queg est un endomorphisme deM2,1(R), et déterminer sa matrice associéeM. 2. Déterminer le noyau deg, et montrer queg est bijective.
3. Déterminer alorsg−1, puis la matrice associée deg−1. Calculer alorsM−1. Que remarque-t-on ? 4. Déterminerg2(=g◦g), puis la matrice associée de g2, et ennM2.
Exercice XII.
Soit l'application
f :M2(R) −→ M2(R) a b
c d
7−→
a−b b−d
a c
. 1. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R). 2. DéterminerKer(f), et donner une base deIm(f).
Exercice XIII.
Soit l'application D:R3[X] −→ R3[X] P 7−→ P0 . 1. Montrer queD est une application linéaire.
2. DéterminerKer(D)et Im(D). L'applicationDest-elle bijective ?
3. Quelle est la dimension deR3[X]? Calculer dim(Ker(D)) +dim(Im(D)).
Exercice XIV.
(HEC 2013)On noteE=R3[X]l'espace vectoriel polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à3. Soitf l'application dénie surE qui associe à tout polynômeP ∈E, le polynômef(P)déni par :f(P)(X) =−3XP(X) +X2P0(X), où P0 est la dérivée du polynôme P.
1. a. Rappeler la dimension de E.
b. Montrer quef est un endomorphisme deE.
c. Déterminer la matriceM def dans 1a base canonique deE.
d. La matriceM est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? CalculerMn, pour toutn∈N∗. e. Préciser le noyauKer(f)def ainsi qu'une base deKer(f).
f. Déterminer 1'imageIm(f)def.
2. On noteidE et 0E respectivement, l'endomorphisme identité et l'endomorphisme nul de E, et pour tout endomorphisme vdeE, on posev0=idE, et pour toutk∈N∗,vk =v◦vk−1.
Soituetg deux endomorphismes deE tels que :u4= 0E,u36= 0E etg=idE+u+u2+u3. a. SoitP un polynôme deE tel queP 6∈Ker(u3).
Montrer que la famille(P, u(P), u2(P), u3(P))est une base deE. b. Montrer quegest un automorphisme de E.
Déterminer l'automorphisme réciproqueg−1 en fonction deu. c. Etablir l'égalitéKer(u) =Ker(g−idE).
d. Montrer que 1 est la seule valeur propre deg.
3
