Analyse II, Exercices, 2007-2008 Liste 7, FB, November 6, 2007(V1: 04-11-06)
Analyse II
Liste “type” 7
Mardi 20 novembre 2007, mardi 27 novembre 2007 REMARQUES pour les s´eances de r´ep´etition
- A la r´ep´etition: exercices *
FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE, 2eme partie, suite EXERCICES
1. Soientf, gdeux fonctions holomorphes dans l’ouvert connexe Ω. Montrer que si la fonctionF=f g est holomorphe dans Ω, alorsf est constant dans Ω oug est identiquement nul dans Ω.
2. Soitf une fonction holomorphe dans Ω =R×]−δ, δ[ (δ >0). Montrer que sif(x)∈R pour tout x >0 alors f(x)∈Rpour tout r´eel x.
3. a) Soitf une fonction holomorphe dans Ω et soit un chemin ferm´eγ de Ω.
- On aR
γf(z)dz= 0 Vrai2 Faux2
- On aR
γDf(z)dz= 0 Vrai2 Faux2
b) Siz0∈Ω est un z´ero d’ordreppourf (holomorphe dans Ω) alors la fonctionF : z7→ (z−zf(z)
0)p se prolonge en une fonction holomorphe en z0 Vrai2 Faux2
de mˆeme que 1/F Vrai2 Faux2
c) Il existe une fonction holomorphe au voisinage de 0 (exclus) telle queDf(z) =1z Vrai2 Faux2 Justifier chaque fois les r´eponses.
4. (*) Soitz0une singularit´e isol´ee pourf.
a) Siz0est un pˆole d’ordreppourf, quel est le type de singularit´e dez0pour Df?
b) Siz0 est une singularit´e essentielle pour f, quel est le type de singularit´e dez0 pourDf? c) D´eterminer le coefficienta−1(le r´esidu) du d´eveloppement de Laurent deDf enz0.
5. Soient z1, . . . , zJ ∈ C, p ∈ N, C > 0 et f est holomorphe dans C\ {z1, . . . , zJ}. Montrer que si chacun deszj est un pˆole pourf et sif v´erifie|f(z)| ≤C|z|p pour|z|suffisamment grand alorsf est une fraction rationnelle.
6. (*) O`u les fonctions suivantes sont-elles holomorphes? Quelles sont leurs singularit´es isol´ees? De quels types sont-elles? (θ∈R)
f1(z) = z4+2z12+1 f2(z) = sinz−z+z
3 6
z7 f3(z) = sin(1z) f4(z) = sin(1/z)1 f5(z) = tanz f6(z) = z2−2z1cosθ+1 f7(z) = sinh(πz)z2+1 f8(z) = Ln(z+1)z f9(z) = z−z13 f10(z) = e1−z1/z f11(z) =ez+1/z f12(z) = sinhz2z. 7. (*) EK p707 : 1, 2, 6, 10, 13
8. (*) Soit la fonction
f(z) = z2 1 +z2e1/z. a) Quelles sont ses singularit´es isol´ees? De quels types sont-elles?
b) On poseγr(t) =reit, t∈[0,2π], avecr >0, r6= 1. D´eterminerR
γrf(1z)dz.
c) D´eterminer les coefficientsa0 eta−1du d´eveloppement de Laurent def en 0.
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AnalyseII, Exercices, 2007-2008 Solutions Liste 7, FB November 6, 2007(V1:20-11-06)
Analyse II
Liste “type” 7 Solutions
Les solutions sont disponibles en format pdf (par exemple sur le site web www.afo.ulg.ac.be) : rubrique
“solutions `a la liste 7 de 2006-2007”.
Remarque: les exercices 7 et 8 de la liste 7 2007-2008 sont respectivement les exercices 8 et 7 de la liste de 2006-2007.
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