245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.
Exemples et applications.
U un ouvert de C
I) Fonctions holomorphes [Tau]
1) Définition et propriétés Def, différentielle, Cauchy Riemann
2) Intégration complexe
Quelques notions sur les arcs et chemins Définition de l’intégrale sur un chemin
Même intégrale si les chemins sont équivalents Indice
Goursat Cauchy
3) Analycité Th d’analycité
Csq (les fonctions holo sont infiniment dérivables) Morera
Prolongement analytique
Ex : fonction gamma. Prolongement holomorphe sur un demi plan.
4) Propriétés Inégalités de Cauchy Liouville
D’Alembert Gauss Prioncipe du max
5) Suites et séries
Limite de suite de fct hlo, somme de série, dérivation terme à terme 6) Intégration
Dérivation sous l’intégrale
II) Fonctions méromorphes [Tau]
1) Singularités Essentielle, artificielle
2) Fonctions méromorphes
Fonction holomorphe sauf sur une partie fermée et discrète Ex : fonction Gamma
3) Th des résidus Th
Exemple
III) Applications [Tau]
Polynômes orthogonaux [BMP] + [Dem]
Bergman [B&M]
Développements :
1 - Prolongement de Gamma [BMP 82] + [ZQ 313] (***)
2 - Polynômes orthogonaux (base hilbertienne + appl à L²) [Dem] + [BMP] (***) 3 - Espace de Bergman [Bayen & Margaria – Espaces de Hilbert et opérateurs] (**)
Rapport du jury : les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation « intégrale de f sur gamma » a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe ! Dans ce domaine, les leçons sont en général d’un bon niveau. Le théorème de Cauchy est souvent énoncé sous une forme particulière en prenant l’intégrale le long du bord d’un disque, alors que, pour le théorème des résidus, on considère des compacts à bord régulier ; ceci est assez incohérent. La définition d’une fonction méromorphe est parfois erronée l’ensemble des pôles doit être une partie fermée et discrète. Des candidats ont montré une perception limitée des rapports entre holomorphie, conformité et différentiabilité. Ils ont eu alors des difficultés pour trouver que toute fonction holomorphe est ouverte dés que sa dérivée ne s’annule pas sur le domaine de définition.
