��� THÉORÈME D’INVERSION LOCALE, THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES. EXEMPLES ET APPLICATIONS EN ANALYSE ET EN GÉOMÉTRIE.
I. Théorèmes d’inversion
[Rou��, Ch�, p���] [Gou��, §�.�, p���]TIL : on veut généraliser le fait que sifestC1et monotone alorsf≠1estC1 Définition d’unCk-di�éomorphisme (local)
Théorème d’inversion locale (figure) : c’est une condition su�isante
Contre-exemple :f(u) =u+u2sin(fi/u)est dérivable de dérivée non nulle maisfn’est pas localement injective en0car elle n’est pasC1
Applications :M ‘≠æ Mpest unC1-di�éomorphisme local enInæexistence d’une racine p-ième matricielle,expest unC1-di�éomorphisme local enIn
Exemple [Gou��, exo�, p���]
Théorème d’inversion globale
Contre exemple sansfinjective [Rou��]
Application : changement de variables en coordonnées polaires, calcul des
Re≠x2dx Interprétation du rôle du jacobien comme limite d’un volume, en utilisant le TIL
II. Théorème des fonctions implicites
[Rou��, Ch�, p���] [Gou��, §�.�, p���]
TFIExemple en dimension�[Gou��, p���]
Exemple :f(h, x) = (x≠a)(b≠x) +hx3. Pourhsu�isamment petit, on a trois zéros defdont on donne un développement asymptotique
Paramètrage du cercle. Exemple d’application à la recherche de0 Théorème : TFI et TIL sont équivalents
T��������. [�������� ��� ������� ����]
Soitf, g1, . . . , gr:U µRn≠æRdes fonctions de classeC1définies surUouvert.
Notons ={xœU|g1(x) =· · ·=gr(x) = 0}. Sif| admet un extremum local enaœ et si les formes linéaires(dg1(a), . . . , dgr(a))sont libres, alors il existe des réels (uniques)
⁄1, . . . ,⁄r, appelés multiplicateurs deL�������, tels que df(a) =
ÿr i=1
⁄idgi(a)
Application à la diagonalisation d’un endomorphisme symétrique en base orthonormée
III. Changement de coordonnées
[Rou��, Ch�, p���]Changement de coordonnées, application pour une EDP [Rou��, Ch�, Ex.��]
Immersion, submersion, rang constant Remarque : tout cela généralise le TIL
T�������. [����� ��M����]
Soitf :U ≠æRune fonction de classeC3définie sur un ouvertUdeRncontenant0. On suppose quedf(0) = 0etd2f(0)est non dégénérée, de signature(p, n≠p).
Alors il existe unC1-di�éomorphismeÏentre deux voisinages de l’origine deRntel que
„(0) = 0etf(x)≠f(0) =Ï(x)21+· · ·+Ï(x)2p≠Ï(x)2p+1≠· · ·≠Ï(x)2nau voisinage de0.
IV. Sous-variétés de R
n [Rou��]Sous-variétés, exemples, vecteurs tangents, Exemples : ouvert deRn, espace discret, sphère interprétation géométrique des extrema liés
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
Agrégation – Leçons ���– Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.
������
Dessins des di�érents théorèmes et de quelques exemples
������������
Intérêt du TIL est de résoudre l’équationy =f(x)! Celui du TFI est de trouver une paramétri- sation def(x, y) = 0au voisinage d’un point annulateur. Faire un dessin pendant le speech!
Le [Rou��, Ch�] est bien adapté mais manque de certaines preuves.
���������
Q RésoudreX3+X2≠X =AoùAest une matrice deMn(R).
R On posef(X) =X3+X2≠X.fest di�érentiable et
df(X)H =X2H+XHX+HX2/XH+HX≠H
Doncdf(In)H = 4H. Sur un voisinage deInetAsu�isamment proche deIn, on aX = f≠1(A).
Q Calculer la di�érentielle deXœMn(R)‘≠æX3.
R Soit on fait le calcul à la main, soit on introduit l’application trilinéaire(X, Y, Z)‘≠æXY Z.
Q Soitf :]0,1[≠æR2injective sur son image etC1. Son image est-elle une sous-variété?
R Pas forcément! Penser au lasso.
�������������
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�èmeédition,����.
[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
