EC analyse complexe S4 MIAS Université de Cergy Pontoise 2001/2002
Révision sur les nombres complexes, application à la géométrie, fonctions élémentaires
Exercice 1 : Calculerz+z0,z,zz0,z00z000,z0z000,z00, zz00000 avec :
z = 2−3i z0 =i+ 2 z00 = 2eiπ7 z000 =√ 3eiπ3
Exercice 2 : Mettre sous forme polaire et représenter dans le plan les complexes : 1. z = 2 + 2i√
3.
2. z0 =−√ 6−√
2i.
Exercice 3 : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant : z = 1 +i√
√ 3 3−i
Exercice 4 : Montrer que |z| = 1 ssi z = 1z. En déduire que si z1 etz2 sont deux complexes de module 1, alorsAest réel lorsqu’il est défini :
A= z1+z2 1 +z1z2
Exercice 5 : Montrer que siαest racine d’un polynôme à coefficients réels alorsαaussi.
Exercice 6 : Résoudre dansC: 1. 2z+ 6z = 3 + 2i.
2. z2−100 = 0.
3. z2+ 100 = 0.
4. z2+z+ 2 = 0.
5. z2+ 2z−2−4i= 0.
6. 1 +z+z2+z3+z4 = 0.
7. iz2+ 4(2 +i)z+ 3i+ 8 = 0.
Exercice 7 : Soient trois points distincts du plan Mk d’affixe zk, montrer qu’ils sont alignés si et seulement si :
z3−z1
z2−z1 ∈R
Exercice 8 : Soient quatre points distincts du plan Mk d’affixe zk montrer qu’ils sont alignés ou cocycliques si et seulement si :
z4−z1 z3−z1
: z4−z2 z3−z2
∈R
Exercice 9 : Soientk, θ∈Reta, b, z0 ∈C, quelles transformations du plan sont associées à :
4. z 7−→az 5. z 7−→az+b 6. z 7−→z 7. z 7−→az+b
On dit qu’une transformation est conforme si elle conserve les angles orientés, parmi les transfor- mations précédentes lesquelles sont conformes.
Exercice 10 : Paramétrer à l’aide d’une fonction deR dansCle cercle de centre aet de rayon r, une fois dans le sens trigonométrique, une fois dans le sens horaire. De même paramétrer le segment [z0;z1]. A l’aide de l’exercice 8 : déterminer une paramétrisation du cercle passant par les trois points distincts et non alignész1, z2, z3.
Exercice 11 : On définit IA,k, l’inversion de centre A et de rapportk > 0 de la façon suivante : l’image d’un pointM est l’unique pointM0 tel queA, M, M0soient alignés et−−→
AM .−−→
AM0 =k.
1. Faire un dessin.
2. Déterminer l’affixe deM0 en fonction des affixes deM etAet dek.
3. Déterminer l’ensemble des points invariants parI0,k.
4. Montrer que l’image parI0,k d’une droite ne passant pas par 0 est un cercle passant par 0, et que l’image d’un cercle passant par 0 est une droite ne passant pas par 0.
Exercice 12 : Soit Q = {x+iy ∈ C|x ∈ Nouy ∈ N} déterminer l’image deQpar la fonction exponentielle, même question avec la fonction carrée.
Exercice 13 : On définit la fonction logarithme principale de la façon suivante : lnz = ln|z|+iarg]−π;π[(z)
1. Calculerln(3i)etln(√ 3−i).
2. Pour quelzcette fonction est-elle définie ?
3. Pour quelza-t-onelnz =z? Pour quelz a-t-onlnez =z? 4. Pourz0 =−(1 +√
3), comparerlnz2et2 lnz.
5. Pour quelles valeurs dez etz0 a-t-onlnzz0 = lnz+ lnz0? 6. Déterminer d’autres fonctions telles queelnz =z.
7. Montrer que l’on ne peut pas prolonger la fonctionlnen -1 par continuité, on déterminera pour cela deux suites complexes tendant vers -1 mais dont les images parlnne tendent pas vers la même valeur. Faire un dessin.
Exercice 14 : ∀t ∈ R, γ(t) = 4eit, on part dep
γ(0) = 2et de façon continue on définitp γ(t), calculer p
γ(π6), p
γ(π2), p
γ(π), q
γ(3π2 ), puis p
γ(2π), comparer avec p
γ(0). Continuer de la même façon pour calculerp
γ(3π)etp
γ(4π). Soit Q= {m+in/m, n∈ N}déterminer l’image
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C -dérivabilité, série entière, intégrale curviligne
Exercice 1 : Montrer en utilisant la condition de cauchy Riemann que la fonction exponentielle complexe est holomorphe. Avec comme définition de l’exponentielle
ex+iy =ex(cosy+isiny)
Exercice 2 : La fonctionf(z) =z est-elle holomorphe ? etg(z) = ez? Exercice 3 : Calculer la dérivée de la fonctionf(z) =e(z2).
Exercice 4 : Soit une fonctionf :C→C, on pose pourr >0etθ ∈]−π, π[,g(r, θ) =f(rcosθ+ irsinθ) =f(rcosθ, rsinθ).
1. Sif est le logarithme principal quelle est la fonctiong? 2. Montrer que ∂g∂r|z|z +i∂g∂θ|z|z2 = ∂f∂x +i∂f∂y.
3. Montrer que le logarithme principal est holomorphe surC−R−, et calculer sa dérivée.
Exercice 5 : On posef(z) = 2−z1 .
1. Écriref comme somme d’une série entière centrée en 0. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.
2. Écriref comme somme d’une série entière centrée en 3. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.
3. Écriref comme somme d’une série entière centrée eni. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.
Exercice 6 : On montrera plus tard que la fonction exponentielle est la somme d’une série entière.
Déterminer cette série entière.
Exercice 7 : Montrer que l’on peut prolonger les fonctionscos, sin,et arctan surCen des fonctions holomorphes, on pourra utiliser des séries entières. Montrer que ce prolongement est unique, les formules d’Euler sont-elles valable surC?
Exercice 8 : Écrire la fonctionf comme somme d’une série de Laurent en 0 puis en 1.
f(z) = 1 z−1ez
Exercice 9 : Écrire la fonctionf comme somme d’une série de Laurent en 2.
f(z) = z (z+ 1)(z−2)
Exercice 11 : Soient les deux fonctions deCdansCdéfinies par : f(z) =z2 etg(z) = <(z) Calculer les intégrales curvilignesR
γif etR
γigavec les chemins suivants :
Exercice 12 : Rappeler brièvement ce qu’est une somme de Riemann. Soientf une fonction conti- nue deCdansC,γ un chemin de classeC1 définie sur[a, b]ettnk =a+nk(b−a), montrer que(In) tend versR
γf, où :
In=
n
X
k=1
f(tnk) γ(tnk)−γ(tnk−1)
Exercice 13 : Soit C+ le cercle trigonométrique, parcouru une fois dans le sens trigonométrique, calculerR
C+zndz, pourn∈N, pourn =−1, et pourn∈Z.
Exercice 14 : Calculer pourn >1, l’intégrale curviligne dez 7→ z1n le long d’un chemin fermé ne passant pas par 0.
Exercice 15 : CalculerR
γz dz, avec :
γ : [0,2] → C t 7→ t2+it puis calculerR
δz dz, avec :
δ : [0,2] → C t 7→ t(2 +i) On représenteraγetδ.
Exercice 16 : Soient les chemins : γ1 : [0,2π] → C
t 7→ eit
γ2 : [0,4π] → C t 7→ reit
γ3 : [0,2π] → C t 7→ z0+eit γ4 est le chemin parcourant le bord du triangle(0; 2; 1 + 2i)dans le sens trigonométrique.
1. Calculer Ind(0, γ1).
2. Calculer Ind(0, γ2).
3. Calculer Ind(z0, γ3).
4. Calculer Ind(z0, γ1). On commencera par regarder le cas où z0 n’appartient pas au disque trigonométrique. Dans le cas où z0 appartient à ce disque, on fera un dessin, et on calculera Ind(z0, γ1)−Ind(z0, γ3)à l’aide du théorème de Cauchy .
5. Calculer Ind(1 +i, γ4)en utilisant la définition de l’intégrale curviligne.
6. Calculer Ind(1 +i, γ4) en utilisant le théorème de Cauchy ainsi que Ind(1 +i, γ5), où γ5
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Applications du théorème des résidus
Exercice 1 : Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : I =
Z 2π
0
dt 25−16 cos2t
1. Soitγle chemin fermé parcourant 1 fois le cercle unité dans le sens trigonométrique, montrer que :
Z
γ
dz
z 25−4(z+ 1z)2 =iI
2. Déterminer les pôles de la fraction rationnelle 4z4−17zz 2+4, lesquels se trouvent dans le disque unité ?
3. A l’aide du théorème des résidus calculerI.
Exercice 2 : Calcul de la transformée de Fourier de 1+t12, on pose :
F(x) = Z +∞
−∞
e−ixt 1 +t2 dt 1. Montrer que l’intégrale est convergente.
2. Montrer queF(−x) = F(x). Dans la suite on supposex <0.
3. SoitΓRle chemin constitué du segment[−R;R]et du demi cercleCRde centre 0 et de rayon R > 1, se trouvant dans le demi plan supérieur({x+iy|x ∈ R, y ∈ R+}), le tout parcouru dans le sens trigonométrique. Calculer à l’aide du théorème des résidus l’intégrale :
Z
ΓR
e−ixz 1 +z2 dz 4. Montrer quelimR→∞R
CR
e−ixz
1+z2 dz = 0
5. En déduire la valeur deF(x)pourx <0, puisx >0.
Exercice 3 : Calcul de la transformée de Fourier dee−t
2
2 , on pose : F(x) =
Z +∞
−∞
e−t
2
2e−ixtdt 1. Montrer que l’intégrale est convergente.
2. Montrer queF(−x) = F(x). Dans la suite on supposex >0.
Z
ΓR
e−z
2 2 dz .
4. En déduire la valeur deF(x)pourx >0. On pourra utiliser l’intégrale de Gauss : Z +∞
−∞
e−t
2
2 dt =√
2π
Exercice 4 : Soient γ le cercle unité décrit une fois dans le sens positif et a un réel strictement supérieur à 1.
1. Calculer :
I(a) = Z
γ
ln(z+a)
z dz
2. En déduire les intégrales : Z π
0
ln(a2+ 2acost+ 1)dtet Z π
0
ln(λ+ cost)dtpourλ >0 Exercice 5 : On se propose de calculer les intégrales de Fresnel :
I = Z +∞
−∞
sin(x2)dxetJ = Z +∞
−∞
cos(x2)dx
SoitΓRle chemin composé du segment[0, R], de l’arc de cercleCRde centre 0 allant deR àReiπ4 et enfin du segment[Reiπ4,0].
1. CalculerR
ΓRe−z2.
2. Montrer que pourθ ∈[0,π4], on acos 2θ≥1− 4θπ.
3. En déduire que l’intégrale dee−z2 surCRtend vers 0 lorsqueRtend vers l’infini.
4. Conclure queI =J =pπ
8.
Exercice 6 : Calculer les intégrales suivantes : I =
Z +∞
−∞
x(x+ 1)
x2+ 12 dxetJ = Z +∞
−∞
1 1 +x+x2
2
Exercice 7 : Calculer les intégrales : I =
Z +∞
−∞
eix
(x2+ 1)(x−π) dx,J = Z +∞
−∞
cosx
(x2 + 1)(x−π) dxetK = Z +∞
−∞
sinx
(x2+ 1)(x−π) dx Pour cela on pourra intégrer sur un chemin constitué d’un demi cercle centré en 0 et de rayonR et du segment[−R;R]que l’on déformera à l’aide d’un petit demi-cercle autour deπ.
Exercice 8 : Montrer en utilisant un secteur angulaire d’angle 2πn que pourn∈N∗− {1}on a : Z ∞
dx = π sinπ
